2023届广西壮族自治区防城港市高三下学期4月月考数学（文）试题含解析

这是一份2023届广西壮族自治区防城港市高三下学期4月月考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西壮族自治区防城港市高三下学期4月月考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．0【答案】C【分析】根据集合的交集运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.2．设为虚数单位，则复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的除法运算可得，即得.【详解】因为复数，则复数的虚部为.故选：D．3．下图是2010年—2021年（记2010年为第1年）中国创新产业指数统计图，由图可知下列结论不正确的是（    ）A．从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势B．2021年的创新产业指数超过了2010年—2012年这3年的创新产业指数总和C．2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大D．2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢【答案】B【分析】由统计图中对应年份的创业指数及走势，判断出四个选项的正误.【详解】从统计图可看出从2010年到2021年，创新产业指数一直处于增长的趋势，A正确；从统计图估计得到2021年的创新产业指数大约为350，而2010年—2012年这3年的创新产业指数总和大约为，故2021年的创新产业指数没有超过2010年—2012年这3年的创新产业指数总和，B错误；因为2021年的创新产业指数大约为350，2010年的创业指数小于150，，故2021年的创新产业指数比2010年的创新产业指数的两倍还要大，C正确；2010年到2014年的创新产业指数的折线倾斜程度小，而2017年到2021年的创业指数的折线倾斜程度大，故2010年到2014年的创新产业指数的增长速率比2017年到2021年的增长速率要慢，D正确.故选：B4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三视图还原直观图，易知几何体由一个圆柱和一个长方体组成，利用面积公式求几何体表面积即可.【详解】由三视图知该几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的．这个几何体的表面积．故选：A．5．已知数列满足，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据递推公式得到为周期为3的数列，从而得到.【详解】，则，，，……，故为周期为3的数列，因为，所以.故选：D6．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即：，列式可得结果.【详解】设圆方程为，∵直线与圆相切，圆心到直线的距离为，∴，∴圆的方程为：.故选：A.7．如图，在矩形中，是的中点，若，则（    ）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由向量的平行四边形法则以及三角形法则得出，进而得出.【详解】，∴，，∴，故选：C．8．若，化简：（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由先确定且，进一步确定，再利用同角平方关系化简即可.【详解】且，所以，所以故选：D9．在古代，斗笠作为挡雨遮阳的器具，用竹篾夹油纸或竹叶棕丝等编织而成，其形状可以看成一个圆锥体，在《诗经》有“何蓑何笠”的句子，说明它很早就为人所用.已知某款斗笠如图所示，它的母线长为，侧面展开图是一个半圆，则该斗笠的底面半径为（    ）A．4 B． C． D．2【答案】C【分析】侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长等于底面圆周长，由此求出底面半径.【详解】设底面半径为，底面圆周长，斗笠母线长，侧面展开图一个半圆，则此半圆的弧长， 所以，故选：C.10．在区间内随机取一个数，使得的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的单调性求出的范围，再根据几何概型的计算公式求解即可.【详解】因为单调递增，，所以，解得，由几何概型的定义可得在区间内随机取一个数，使得的概率为，故选：A11．对于函数f(x)＝，下列说法错误的有（    ）A．f(x)在x＝e处取得极大值 B．f(x)有两个不同的零点C．f(2)＜f(π)＜f(3) D．若f(x)＜k－在(0，＋∞)上恒成立，则k＞1【答案】B【分析】求出导函数，确定函数的单调性，极值，函数变化趋势画函数的大致图象，判断ABC，引入函数，由导数求得的最大值，得的范围，判断D．【详解】函数的导数f′(x)＝，x＞0，令f′(x)＝0得x＝e，则当0＜x＜e时，f′(x)＞0，函数f(x)为增函数，当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)为减函数，则当x＝e时，函数取得极大值，极大值为f(e)＝，故A正确，当x→0，f(x)→－∞，当x→＋∞，f(x)→0，则f(x)的图象如图所示，由f(x)＝0，得ln x＝0，得x＝1，即函数f(x)只有一个零点，故B错误，因为f(4)＝＝f(2)，f(3)＞f(π)＞f(4)，故f(2)＜f(π)＜f(3)成立，故C正确，若f(x)＜k－在(0，＋∞)上恒成立，则k＞，设h(x)＝，x＞0，则h′(x)＝－，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0，即当x＝1时，函数h(x)取得极大值同时也是最大值h(1)＝1，∴k＞1，故D正确．故选：B．12．A，B是椭圆上两点，线段AB的中点在直线上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（    ）.A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线AB的方程为，点，，联立直线与椭圆的方程，根据判别式与韦达定理求解的范围即可.【详解】由题意可知，直线AB的斜率必然存在，设直线AB的方程为，则直线AB与y轴的交点的纵坐标为m，设点，，将直线AB的方程与椭圆方程联立并化简得，，化简得，即.由韦达定理可得，所以，将等式两边平方得，所以.当且仅当时，等号成立，由于，解得或.因此，直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是.故选：A 二、填空题13．已知，的取值如表：01344.34.86.7若，具有线性相关关系，且回归方程为，则__________．【答案】【详解】将代入回归方程为，可得，应填答案．点睛：解答这类问题的常规方法就是先求出，再借助这个点的坐标满足回归方程为这一结论，将其代入回归方程可方程，然后通过解方程得到，使得问题获解．14．双曲线C： 的渐近线与直线交于A，B两点，且，那么双曲线C的离心率为____.【答案】【分析】由题可得，然后根据离心率公式结合条件即得.【详解】由双曲线的方程可得，且渐近线的方程为：，与联立可得，所以，由题意可得，解得，又，所以双曲线的离心率.故答案为：.15．数列的首项，且，令，则______．【答案】【分析】构造数列，并求得数列的通项公式；再代入对数中求得数列的通项公式，进而利用等差数列的求和公式即可求得数列的前n项和．【详解】因为所以所以 且所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列所以 即代入得 设数列的前n项和为 则则【点睛】本题考查了数列的综合应用，关键是构造出数列，并求得数列的通项公式，等差数列求和的应用也是重点，属于中档题．16．已知函数，，若函数与的图象有4个交点，则______________.【答案】16【分析】根据题意可知函数的图象关于点成中心对称，由函数图像平移变换可得的图象也关于点成中心对称，利用对称性即可计算出结果.【详解】由可知，函数满足，所以的图象关于点成中心对称；而，显然函数的图象是由先向右平移一个单位，再向上平移三个单位得到的，而的图象关于原点对称，所以的图象也关于点成中心对称；所以函数与的图象的4个交点两两关于点成中心对称，即.故答案为：16 三、解答题17．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分，面积是面积的2倍．(1)求；(2)若，，求的面积．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角形面积之间的关系结合正弦定理可得；（2）因为，分别在和中使用余弦定理，结合（1）中的，可解得，进而计算出△ABC的面积.【详解】（1）因为，，且，，所以，在中，由正弦定理可得．（2）因为，所以．在和中，由余弦定理得，．所以．由（1）知，所以．则为等腰三角形，所以CD边上的高，所以．18．德化瓷器是泉州的一张名片，已知瓷器产品T的质量采用综合指标值进行衡量，为一等品；为二等品；为三等品.某瓷器厂准备购进新型窑炉以提高生产效益，在某供应商提供的窑炉中任选一个试用，烧制了一批产品并统计相关数据，得到下边的频率分布直方图.根据陶瓷厂的记录，产品各等次的销售率（某等次产品销量与其对应产量的比值）及单件售价情况如下： 一等品二等品三等品销售率单件售价20元16元12元(1)求综合指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若该新型窑炉烧制产品的成本为10元/件，月产量为2000件，若未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完，在销售方案不变的情况下，根据以上图表数据，判断能否达到单件平均利润不低于4元?【答案】(1)6.84(2)能 【分析】（1）根据平均数等于每组区间的中点值与该组直方图面积之积的和求解即可；（2）以每组的频率作为总体概率可求得一、二、三等品的件数估计值，再根据题意计算总之即可.【详解】（1）先分析该窑炉烧制出的产品T的综合指标值的平均数：由频率分布直方图知，综合指标值的平均数（2）由频率分布直方图可知，该新型窑炉烧制的产品为一、二、三等品的概率估计值分别为0.36，0.54，0.1，故2000件产品中，一、二、三等品的件数估计值分别为720，1080，200.一等品的销售总利润为元；二等品的销售总利润为元；三等品的销售总利润为元；故2000件产品的单件平均利润值的估计值为，能满足单件平均利润值不低于4元.19．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，E为线段上一点．(1)当∥平面，求证：为的中点；(2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)存在，当时，平面平面. 【分析】（1）由题意可知为的中点，由线面平行的性质定理可得∥，即可得证；（2）由面面垂直的性质定理可得，只需满足，即可得平面，从而有平面平面，故只需找出成立时，的长度即可.【详解】（1）证明：因为为正方形，，所以为的中点，又因为∥平面，平面平面，平面，所以∥，又因为为的中点，所以为的中点；（2）存在，当时，平面平面，理由如下：设，因为为正方形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为在矩形中，，当时，在中，，在中，，所以，又因为，所以，则，所以，又因为，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.20．已知函数，.(1)求函数的极值；(2)若对任意，都有成立，求的取值范围.【答案】(1)的极大值为，无极小值(2) 【分析】(1)利用导数讨论函数的单调性即可求极值；(2)利用导数讨论单调性求出函数的最小值即可求的取值范围.【详解】（1），令，解得：，令，解得：，故在上递增，在上递减，∴的极大值为，无极小值.（2）若对任意，都有成立，则对任意恒成立，令，则，令，，则，∴在上递增，即，∴在上恒成立，∴在上递增，故，故，即的取值范围是.21．已知动圆经过点，且与直线相切，记动圆圆心的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知是曲线上一点，是曲线上异于点的两个动点，设直线､的倾斜角分别为，且，请问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由.【答案】(1)；(2)定点为，理由见解析 【分析】（1）设动圆圆心，由题意可得点的轨迹满足抛物线定义，即可求解；（2）讨论直线､中其中一条的斜率不存在和直线､的斜率都存在，当直线､的斜率都存在时，设，结合可得，设方程为，与抛物线进行联立可得，，代入上式即可求解【详解】（1）设动圆圆心，∵动圆经过点，且与直线相切，∴点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线，故其方程为，∴动圆圆心的轨迹方程是；（2）由（1）可得，当直线､中其中一条的斜率不存在，不妨设，，易得，直线的直线为，与联立可得，故直线的方程为；当直线､的斜率都存在时，故设直线､的斜率，设所以，同理可得，因为，所以，所以，即，所以，所以，即，由题意可设方程为，联立，消整理得，所以，，，所以即，所以，令得，，此时有定点，综上所述，直线经过定点【点睛】思路点睛:与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题22．如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．(1)当时，求B，C两点的极坐标；(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．【答案】(1)点B的极坐标为，点C的极坐标为(2) 【分析】（1）连接，可得到，通过数据可得到，即可得到点B的极坐标，再算出，即可得到点C的极坐标；（2）设，，通过题意可得到，通过求出曲线M的极坐标方程即可得到点B的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案【详解】（1）连接，因为是直径，所以，在中，，，∴，∴点B的极坐标为，在正方形OBCD中，，，∴点C的极坐标为；（2）设，，且①，由题意可得的直角坐标为，所以曲线M的普通方程为即将代入曲线M的普通方程得极坐标方程为，当时，O，B两点重合，不合题意，∴点B的极坐标方程为，将①式代入得点D的极坐标方程为23．若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数.如：(1)若，求的取值范围；(2)若对一切实数恒成立，设，，且，求的最大值.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）列出不等式，再分段讨论含绝对值的不等式作答.（2）利用绝对值三角不等式求出m，再利用柯西不等式求解作答.【详解】（1）依题意，，当时，，解得，于是，当时，，于是，当时，，解得，于是，所以的取值范围是.（2）对一切实数恒成立，而，当且仅当，即时取等号，则，因此，当且仅当时取等号，根据柯西不等式得，则，解得，当且仅当时等号成立，所以当时，取得最大值.