2023届陕西省汉中市西乡县第一中学高三上学期第一次检测数学（理）试题含答案

2023届陕西省汉中市西乡县第一中学高三上学期第一次检测数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，，则

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及．

【详解】由题意得，

，

∴，∴．故选C．

【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图．

2．f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是（    ）

A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)

C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)

【答案】D

【分析】由题意可得a＝x－(x＞0), 令g(x)＝x－，求出g(x)的值域为(－1，＋∞)即得解.

【详解】由题意可得a＝x－(x＞0).

令g(x)＝x－，

因为都是增函数，

所以该函数在(0，＋∞)上为增函数（增函数+增函数=增函数），

所以，

可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，

故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点.

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．在中，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题得，代入已知条件化简即得解.

【详解】由题得

所以,

所以.

故选：B

【点睛】方法点睛：解三角形时，遇到,要联想到和角的正切公式求解.

4．给出下列命题：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；

④若，则与的终边相同；

⑤若，则是第二或第三象限的角.

其中正确命题的序号是（    ）.

A．②④⑤ B．③⑤ C．③ D．①③⑤

【答案】C

【分析】由任意角的三角函数的定义，三角函数值与象限角的关系，即可得出结论．

【详解】解：①由于是第二象限角，是第一象限角，故第二象限角大于第一象限角不正确，即①不正确．

②直角不属于任何一个象限，故三角形的内角是第一象限角或第二象限角错误，即②不正确；

③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关，即③正确，

④若，则与的终边相同或终边关于轴对称，即④不正确．

⑤若，则是第二象限角或第三象限角或的终边落在轴的负半轴上，即⑤错误．

其中正确命题的序号是③，

故选：C．

5．已知函数，其图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用排除法，首先根据解析式判断函数的对称性，再确定时的符号，即可确定函数图象.

【详解】由，知：关于原点对称，排除B、D；当时，，排除C.

故选：A

6．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的性质判断即可.

【详解】因为，

显然，，且，即，

所以，

所以.

故选：C

7．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．

详解：由题可知

所以

由余弦定理

所以

故选C.

点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．

8．把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图像所对应的函数解析式是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用三角函数的图像变换的知识进行处理.

【详解】把函数的图像上所有的点向左平移个单位长度，

得，再把所得图像上所有点

的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得.

故A，B，C错误.

故选：D.

9．函数，，若对，都存在，使成立，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】原问题转化为，再根据二次函数的最值和指数函数的值域建立不等式，解之可得选项.

【详解】若对，都存在，使成立，则需，

又，，所以，

令，因为，所以，所以，

所以，解得，则m的取值范围是，

故选：B.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．

10．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表.规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人.那么，各村可推选的人数y与该村户数x之间的函数关系用取整函数(表示不大于x的最大整数)可以表示为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】用除以15所得余数分别为，其中当余数为时结果就是商，但当余数为时，函数值是商加1，因此可利用后除以15取整得．

【详解】解：根据规定15推选一名代表，当各班人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，也就是x要进一位，所以最小应该加4，

因此利用取整函数可表示为.

故选：.

【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是怎样确定人数除以15的余数大于10时再增加一名代表，即余数分别为11，12，13，14时可以增选一名代表，函数值要在商基础上加1．

11．已知函数对任意的都有.若函数的图象关于对称，且，则（    ）

A．0 B．4 C．6 D．8

【答案】D

【分析】由函数关于直线对称，得到函数为偶函数，再由题设条件，得到的最小正周期为2，即可求解.

【详解】由函数的图象关于直线对称，

所以的图象关于直线对称，即为偶函数，

因为，所以，，

可得，那么的最小正周期为2，

所以，，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的周期性的判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

12．已知函数的值域为，且，若关于的方程有三个不同的实数根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】函数的值域要为，则，又，故，画出函数图象，利用数形结合的方法即可求解

【详解】根据该分段函数的图象，函数的值域要为，则，

但，，

当时，函数图象如图2所示：

关于的方程有三个不同的实数根，

即有三个不相等的实数根，

由图象可知有两个实数根，则有一个实数根，

，

故选：A．

二、填空题

13．若函数在处取得最大值，则正数的最小值为________．

【答案】

【分析】首先将代入，利用正弦函数的最值，可得正数的最小值.

【详解】由题意得，，解得

∵，∴当时，.

故答案为：.

14．化简＝________．

【答案】

【分析】分子可利用两角和的余弦化为，分母结合二倍角的正弦可化为，最后结合辅助角公式即可得结果.

【详解】∵原式=

故答案为.

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数间的平方关系、二倍角的正弦及辅助角公式的应用，属于中档题．

15．已知函数，若，且，则的取值范围是________.

【答案】

【分析】由已知中，，结合对数的运算性质可得，再由，结合基本不等式，可得的取值范围．

【详解】函数，

，

即，

即，

即，

，

，

故的取值范围为

故答案为：.

【点睛】本题考查的知识点是对数的运算性质，基本不等式的应用，其中根据已知分析出是解答的关键，本题易忽略而错解为，

16．关于函数有下述四个结论：

①是偶函数；

②在区间单调递减；

③在有4个零点；

④的最大值为2.

其中所有正确结论的编号是______．

【答案】①②④

【分析】利用函数奇偶性的概念即可判断①；

由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断②；

由函数是偶函数，则只需要考虑[0，π]上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断③；

由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断④．

【详解】①函数的定义域为R，又，

∴函数是偶函数，故①正确；

②当时，，在上单调递减，故②正确；

③∵函数是偶函数，∴只需要考虑[0，π]上的零点个数，

此时，在[0，π]上有2个零点，为x＝0和x＝π，

∴在[﹣π，π]有3个零点，为x＝0、x＝π和x＝﹣π，故③错误；

④∵函数是偶函数，∴考虑x≥0的情况即可，

当时，，

∴的最大值为2，故④正确．

故答案为：①②④

三、解答题

17．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.

【答案】（Ⅰ）B=（Ⅱ）

【详解】(1)∵a=bcosC+csinB

∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB     ①

在三角形ABC中，A=－(B+C)

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC         ②

由①和②得sinBsinC=cosBsinC

而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB

又B(0，)，∴B=

(2) S△ABCacsinBac，

由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，

整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，

则△ABC面积的最大值为（2）1．

18．已知函数.

(1)求的最小正周期及单调递增区间；

(2)求在区间上的值域.

【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间是

(2)

【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式化简函数即可求解；

（2）由的取值范围求出的范围，再借助正弦函数性质即可求解.

【详解】（1）因为

，

即

函数的最小正周期，

由，解得，

即在上单调递增，

所以，函数的最小正周期为，单调递增区间是.

（2）因为，则，所以，

所以，

所以在区间上的值域为.

19．如图，在三棱柱中，平面 ，，点分别在棱和棱 上，且为棱的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系.

（Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；

（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；

（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），

可得、、、、

、、、、.

（Ⅰ）依题意，，，

从而，所以；

（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，

，．

设为平面的法向量，

则，即，

不妨设，可得．

，

．

所以，二面角的正弦值为；

（Ⅲ）依题意，．

由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角与钝角的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知，点B的纵坐标是．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据三角形的面积求解出的值，再根据三角函数的定义求解出的值，最后根据两角差的余弦公式求解出的值；

（2）根据二倍角公式求解出的值，然后根据两角差的正弦公式求解出的值，结合角的范围求解出的值.

【详解】解：（1）由题意，．

，为锐角，

，．

又点B的纵坐标是且为钝角，

，．

．

（2），

，

，，．

又，

故．

21．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)见解析

【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；

（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.

【详解】（1）∵，∴,∴,

又∵是公差为的等差数列，

∴,∴,

∴当时，，

∴,

整理得：,

即,

∴

，

显然对于也成立，

∴的通项公式；

（2）

∴

22．已知函数为偶函数.

(1)求实数的值;

(2)解关于的不等式;

(3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值；

（2）判断时函数的单调性，根据奇偶性可得函数在各区间内的单调性，解不等式即可；

（3）由函数与图象有个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围.

【详解】（1）函数的定义或为，

函数为偶函数.

，即 ，

，

；

（2），

当时，，单调递增，

在上单调递增，

又函数为偶函数，所以函数在上单调递增，在上单调递减；

，

，

解得或，

所以所求不等式的解集为 ；

（3）函数与图象有个公共点，

，

即，，

设，则，即，

又在上单调递增，

所以方程有两个不等的正根；

，

解得，即的取值范围为.