中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册3.3.1 抛物线的标准方程教学设计及反思

授课题目

3.3抛物线

选用教材

高等教育出版社《数学》

（拓展模块一上册）

授课时长

4课时

授课类型

新授课

教学提示

本课以“平南三桥”为例创设情境，帮助学生形成直观感受“生活中的抛物线”.然后通过一个实验展示里抛物线的形成过程，引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛物线的标准方程创造条件，通过建立合适的平面直角坐标系，推导了焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程. 最后，借助抛物线的图像，从抛物线的范围、对称性、顶点、离心率四个方面研究了抛物线的几何性质.

教学目标

知道抛物线的概念及形成过程，知道如何化简形成抛物线的标准方程，能区分不同焦点坐标对应的不同方程；会根据抛物线的方程说出抛物线的几何性质，能根据条件求出抛物线的标准方程；逐步提升直观想象、数学运算和数学建模等核心素养.

教学重点

抛物线的标准方程及性质.

教学难点

抛物线标准方程四种情形的区分和应用．

教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

平南三桥位于广西壮族自治区，是2020 年建成的世界上最大的跨径拱桥，多项技术填补了世界拱桥空白，成为“中国桥梁”建造的新名片. 观察下图，桥拱的轮廓线是什么图形？有什么特点？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

创设情境帮助学生直观感受“生活中的抛物线”

新知探索

可以看出，拱桥的轮廓线是一条形如彩虹的曲线，人们称之为抛物线．那么，如何画出抛物线呢？

我们可以通过一个实验来完成.

(1)将一把直尺固定在画板上，再取一个直角三角板,紧靠直尺 的一边l放置： 

(2)取一条拉链，把它的一端固定在三角板的顶点C处，另一 端固定在画板上的点F处；

(3)将笔尖(点 M)放在拉链锁扣处保持锁扣与C端的拉链部 分始终在 CA 上，让三角板靠紧直尺并沿直尺边缘滑动，笔尖随之移 动，就画出了一段曲线；

(4)当直角三角板的边 AC 经过点下时，向下翻转三角板．保持锁扣与 C端的拉链部分始终在 CA 上，让三角板靠紧直尺继续沿直尺边缘滑动，笔尖又画出一段曲线. 

显然,笔尖(即点M )始终保持到定点F的距离与到直尺边l的距离相等(|MF|=|MC|).

一般地，把平面内与一个定点F和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 定点F称为抛物线的焦点，定直线 l 称为抛物线的准线.

讲解

说明

展示图形

引发思考

说明

理解

思考

结合

图形

思考

问题

领会

引导学生分析抛物线上的点所满足的几何条件，为建立抛物线的标准方程创造条件

情境导入

3.3.1抛物线的标准方程

我们从椭圆和双曲线的定义出发，通过建立合适的平面直角坐标系，分别求出了椭圆和双曲线的方程. 那么，如何从抛物线的定义出发，建立恰当的平面直角坐标系来求出抛物线的方程呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

渗透类比的思想

探索新知

取过焦点 F且垂直于准线l 的直线为x轴；记x轴与准线l 的交点为 E，以线段 EF的垂直平分线为y轴，如图所示.

设焦点到准线的距离为 p(p>0)，即|EF|=p，则焦点F的坐标为，准线l的方程为.

设M(x,y)为抛物线上的任意一点，点M到l的距离为|MN|，则有

|MF|=|MN|.

于是，可得 .

将上式两边平方得

.

展开并整理得                 

y²=2px(p>0).

上面方程称为抛物线的标准方程.

类似地，通过建立不同的平面直角坐标系，可以得到抛物线其他三种形式的标准方程：y²=-2px，x²=2py，

x²=-2py. 它们的焦点坐标、准线方程及图形归纳见表:

讲解

说明

展示图像引发思考

讲解

指导总结

理解

思考

观察

图像

分析

问题

理解

分析

比较

注意强调抛物线方程中参数p的几何意义，引导学生观察图像与标准方程之间的联系，引导学生观察图像与标准方程之间的联系，正确区别四种标准方程.可归纳为“一次定轴，正负定向”．

典型例题

例1 根据条件，求抛物线的标准方程.

(1)焦点为F(0,-3)；

(2)准线方程为x=1；

(3)焦点在y轴的正半轴上，并且p=3.

解  (1)由于焦点在y轴的负半轴上，故抛物线有形如

x²=-2py的标准方程. 因为，所以p=6，从而抛物线的标准方程为x²=-12y；

(2)由准线方程为x=1可知，焦点在x轴的负半轴上，故抛物线有形如y²=2px的标准方程. 因为，所以p=2，从而抛物线的标准方程为y²=-4x；

(3)由于焦点在y轴的正半轴上，故抛物线有形如x²=2py的标准方程. 引起p=3，所以抛物线的标准方程为x²=6y.

例2 求下列抛物线的交点坐标和准线方程.

    (1)y²=8x；(2)x²+4y=0.

解  (1)由抛物线标准方程可知，抛物线的焦点在x轴的正半轴上，并且2p=8，因此p=4，.于是抛物线的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2；

(2)将抛物线的方程化为标准方程，为x2=-4y. 容易看出，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，并且-2p=-4，因此p=2，.于是，抛物线的焦点坐标为(0,-1)，准线方程为y=1.

温馨提示

判断抛物线的焦点在哪个坐标轴上是解决有关抛物线问题的关键，为此可将抛物线方程化为标准方程，观察标准方程中的一次项，如果一次项含变量x，并且系数为正(或为负)，则焦点在x轴的正半轴(或负半轴)上；如果一次项含变量，并且系数为正(或为负)，则焦点在y轴的正半轴(或负半轴)上.

提问

引导

讲解

强调

指导

思考

分析

解决

交流

主动

求解

例1是利用定义直接解决问题

例2要引导学生先将抛物线方程化为标准形式

巩固练习

练习3.3.1

1. 根据条件，求抛物线的标准方程.

(1)焦点为F(2,0)；

(2)焦点为F(0,-1)；

(3)准线方程为y=-4；

(4)准线方程为.

2. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.

(1) y2=10x；

(2) x2-2y=0；

(3) 2y2+10x=0；

(4) x2+6y=0.

3.求抛物线y²=-12x上到焦点的距离等于9的点坐标.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

情境导入

3.3.2 抛物线的几何性质

    前面，我们利用双曲线的标准方程获得了双曲线的几何性质，是否可以利用抛物线的标准方程研究抛物线的几何性质呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

提示学生进行类比

探索新知

下面以抛物线的标准方程y²=2px为例，研究抛物线的几何性质.

1.范围

在方程y²=2px 中，由p>0，y²≥0，可知x≥0. 这表明，抛物线在y 轴的右侧，如图所示. 当x的值增大时，y²的值也随着增大，即|y| 的值增大. 这说明，抛物线向右上方和右下方无限延伸.这说明,抛物线向右上方和右下方无限延伸.

2.对称性

在方程中，将y换成-y，方程不改变.这说明抛物线关于x轴对称.一般地，把抛物线的对称轴称为抛物线的轴. 

3.顶点

在方程中，令y=0，得x=0. 因此,抛物线的顶点为原点.一般地，抛物线与它的轴的交点称为抛物线的顶点.

4.离心率

抛物线上的点M到焦点的距离与它到准线的距离的比称为抛物线的离心率，记作e. 由抛物线的定义知，e=1.

探究与发现

为什么拱桥的桥拱大多设计为抛物线的形状？

讲解

说明

展示

讲解

讲解

展示说明

理解

思考

领会

理解

理解

思考

领会

抛物线的性质与椭圆、双曲线比较起来差别比较大

探究与发现体现数学知识的应用

典型例题

例3 根据条件，求抛物线的标准方程.

     (1)关于y轴对称，且过点P(4,-2) ；

     (2)对称轴为坐标轴，且过点P(10,5).

解  (1)由于物线关于y轴对称，而点P为第四象限的点，故抛物线的焦点在y轴的负半轴上.

设拋物线的标准方程为x2=-2py(p>0).将点P的坐标(4,-2)代人方程，得42=-2p·(-2)，解得p=4. 

因此，抛物线的标准方程为x2=-8y；

(2)设所求抛物线的标准方程为：

y²=2p1x或x2=-2p2y，

将点P的坐标(10,5)分别代人上述两个方程，得5²=2p1×10或102=-2p2×5，解得

或p2=10.

故抛物线的标准方程为

或x2=20 y.

温馨提示

当问题中没有明确指出抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论.

例4  用“描点法”画出抛物线y²=4x的图形.

分析 抛物线具有对称性，因此只需先画出抛物线在第一象限内的图形,然后根据对称性画出全部图形.

解  当y≥0时,抛物线的方程可以变形为y²=2(x≥0).

在[0,+∞)上，选取几个整数作为x的值，计算出对应的y值，列表                                             

以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点(x,y)，用光滑的曲线顺次链接各点得到抛物线在第一象限内的图形. 然后利用对称性，画出全部图形.

例5 如图(1)所示，一条隧道的顶部是抛物线拱，拱高为2m，跨度为6m，求拱形纵截线所在的抛物线方程.

解 以拱形纵截线的顶点为坐标原点、拱高所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图(2)所示，则抛物线方程可设为x²=-2py. 

设拱形的两个端点分别为点A、B.则由拱高为2m和跨度为6m可得AB两点的坐标分别为(-3,-2)、(3,-2)．把点B的坐标代人方程x²=-2py，可得.

因此，拱形纵截线所在的拋物线方程为

(-3≤x≤3).

提问

引导

讲解

强调

提问

引导

讲解

强调

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

思考

分析

解决

交流

思考

分析

解决

交流

例3要强调不明确抛物线的焦点位置或对称轴时，一般需要分情况讨论

例4作图时，利用了抛物线的轴对称性，要注意直观想象素养的培养

例5是抛物线的实际应用问题

巩固练习

练习3.3.2

    1. 根据条件，求抛物线的标准方程.

    (1)准线方程为 x=4；

    (2)焦点为F(0,-3)；

    (3)关于x轴对称，且过点(5,-4)；

    (4)对称轴为坐标轴，且过点(6,3).

 2. 在直角坐标系中，画出下列拋物线的图像.

(1) y²=-6x ;  (2)x²=9y. 

3. 已知拋物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，抛物线上一点P(-3,m)到焦点的距离为5，求拋物线的标准方程. 

4.已知垂直于x轴的直线交抛物线 y²=6x于A、B两点，且|AB|=8，求直线AB的方程.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生掌握情况查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究

延伸学习