专题04 分式与分式方程（62题）-学易金卷：2023年中考数学真题分项汇编（全国通用）

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专题04 分式与分式方程

一、单选题
1．（2023·湖南·统考中考真题）将关于x的分式方程去分母可得（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方程两边都乘以，从而可得答案．
【详解】解：∵，
去分母得：，
整理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，熟练的把分式方程化为整式方程是解本题的关键．
2．（2023·湖南郴州·统考中考真题）小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设原计划平均速度为km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．
【详解】解：设原计划平均速度为km/h，由题意，得：
，即：；
故选：B.
【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．
3．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的．在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运送货物，两车又共同运送货物天，运完全部货物．求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解．
【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程
，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
4．（2023·广东深圳·统考中考真题）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x吨，则小货车每辆运输吨，
则．
故选：B.
【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
5．（2023·云南·统考中考真题）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设乙同学的速度是米/分，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点，列出方程即可．
【详解】解∶设乙同学的速度是米/分，可得：

故选： D．
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
6．（2023·甘肃武威·统考中考真题）方程的解为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把分式方程转化为整式方程求解，然后解出的解要进行检验，看是否为增根．
【详解】去分母得，
解方程得，
检验:是原方程的解，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程的一般步骤，解题关键是熟记解分式方程的基本思想是“转化思想”，即把分式方程转化为整式方程求解，注意分式方程需要验根．
7．（2023·上海·统考中考真题）在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，则原方程可变形为，再化为整式方程即可得出答案.
【详解】解：设，则原方程可变形为，
即；
故选：D.
【点睛】本题考查了利用换元法解方程，正确变形是关键，注意最后要化为整式方程.
8．（2023·天津·统考中考真题）计算的结果等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可．
【详解】解：


；
故选：C．
【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算．
9．（2023·湖北随州·统考中考真题）甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，
依题意得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
10．（2023·四川内江·统考中考真题）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入x个数据，根据题意得方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据“甲比乙少用2小时输完”列出分式方程即可．
【详解】解：设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入个数据，
由题意得，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
11．（2023·湖北十堰·统考中考真题）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为元，
由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
12．（2023·湖南·统考中考真题）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，根据时间的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，
根据题意列方程为：，
故答案为：A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
13．（2023·四川·统考中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程．
【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
14．（2023·广东·统考中考真题）计算的结果为（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的加法运算可进行求解．
【详解】解：原式；
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
15．（2023·辽宁大连·统考中考真题）将方程去分母，两边同乘后的式子为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据解分式方程的去分母的方法即可得．
【详解】解：，
两边同乘去分母，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握去分母的方法是解题关键．
16．（2023·湖南张家界·统考中考真题）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，是宋元数学集大成者，也是我国古代水平最高的一部数学著作．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的总售价为文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？设元购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设元购买椽的数量为x株，根据单价总价数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【详解】解：设元购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键．
17．（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是非负数，
∴，且，
∴且，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键．
18．（2023·河南·统考中考真题）化简的结果是（    ）
A．0 B．1 C．a D．
【答案】B
【分析】根据同母的分式加法法则进行计算即可．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查同分母的分式加法，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．
19．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简的结果是（    ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案.
【详解】解：

.
故选：D.
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则.
20．（2023·湖北武汉·统考中考真题）已知，计算的值是（    ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后把代入原式即可求出答案．
【详解】解：
=
=
=，
∵，
∴，
∴原式==1，
故选：A.
【点睛】本题考查分式的混合运算及求值．解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则．
21．（2023·山东聊城·统考中考真题）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出来，排除掉增根，根据方程的解是非负数列出不等式，最后求出m的范围．
【详解】解：方程两边都乘以，得：，
解得：，
∵，即：，
∴，
又∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的解，根据条件列出不等式是解题的关键，分式方程一定要检验．

二、填空题
22．（2023·浙江台州·统考中考真题）3月12日植树节期间，某校环保小卫士组织植树活动．第一组植树12棵；第二组比第一组多6人，植树36棵；结果两组平均每人植树的棵数相等，则第一组有________人．
【答案】3
【分析】审题确定等量关系：第一组平均每人植树棵数＝第二组平均每人植树棵数，列方程求解，注意检验．
【详解】设第一组有x人，则第二组有人，根据题意，得

去分母，得
解得，
经检验，是原方程的根．
故答案为：3.
【点睛】本题考查分式方程的应用，审题明确等量关系是解题的关键，注意分式方程的验根．
23．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）方程的解是________．
【答案】
【分析】先去分母，左右两边同时乘以，再根据解一元一次方程的方法和步骤进行解答，最后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
化系数为1，得：．
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，正确找出最简公分母，注意解分式方程要进行检验．
24．（2023·上海·统考中考真题）化简：的结果为________．
【答案】2
【分析】根据同分母分式的减法计算法则解答即可．
【详解】解：；
故答案为：2．
【点睛】本题考查了同分母分式减法计算，熟练掌握运算法则是解题关键．
25．（2023·湖南·统考中考真题）已知，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】先通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算，然后代入数值即可．
【详解】解：原式=




故答案为：.
【点睛】本题主要考查了分式通分计算的能力，解决本题的关键突破口是通分整理．
26．（2023·江苏苏州·统考中考真题）分式方程的解为________________．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以，化为整式方程，解方程验根即可求解．
【详解】解：方程两边同时乘以，
解得：，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
27．（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
28．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：_______．
【答案】
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解．
【详解】解：


；
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
29．（2017·江西·南昌市育新学校校联考一模）分式方程的解是_____．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤计算即可．
【详解】去分母得：，
解得：，
经检验是方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查解分式方程，正确计算是解题的关键，注意要检验．
30．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）方程的解为___________．
【答案】
【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，
，
，
，
或．
经检验时，，故舍去．
原方程的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．

三、解答题
31．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）化简：．
【答案】
【分析】先计算同分母分式的减法，再利用完全平方公式约分化简．
【详解】解：



【点睛】本题考查分式的约分化简，解题的关键是掌握分式的运算法则．
32．（2023·辽宁大连·统考中考真题）计算：．
【答案】
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可．
【详解】解：




【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则和顺序是解题的关键．
33．（2023·广东深圳·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【详解】



∵
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
34．（2022·江苏南京·模拟预测）解方程：．
【答案】
【分析】方程两边同时乘以x﹣2，再解整式方程得x＝4，经检验x＝4是原方程的根．
【详解】解：方程两边同时乘以x﹣2得，
，
解得：
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，切勿遗漏对根的检验是解题的关键．
35．（2023·四川眉山·统考中考真题）先化简：，再从选择中一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】；1
【分析】先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：


，
∵，，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
36．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式…………第一步
…………第二步
…………第三步
……
(1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)一；(2)见解析
【分析】（1）根据解答过程逐步分析即可解答；
（2）根据分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：


故第一步错误．
故答案为：一．
（2）解：




．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，灵活运用分式的混合运算法则是解答本题的关键．
37．（2023·湖南怀化·统考中考真题）先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值．
【答案】，当时，原式为；当时，原式为．
【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果．
【详解】解：


，
当a取，1，2时分式没有意义，
所以或0，
当时，原式；
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简．
38．（2023·甘肃武威·统考中考真题）化简：．
【答案】
【分析】先将除法转化为乘法进行计算，再根据分式的加减计算，即可求解．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
39．（2023·山东烟台·统考中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数．
【答案】；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：



，
解不等式得：，
∵a为正整数，
∴，，，
∵要使分式有意义，
∴，
∵当时，，
∴，
∴把代入得：原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
40．（2023·江苏苏州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的乘法进行计算，然后计算减法，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：


；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
41．（2023·湖南永州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】

；
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
42．（2023·湖北随州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：

，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
43．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】根据分式的加法和乘法法则可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】解：原式


，

当时，
原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

44．（2023·山西·统考中考真题）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化为整式方程，求出方程的根并检验即可得出答案．
【详解】解：原方程可化为．
方程两边同乘，得．
解得．
检验：当时，．
∴原方程的解是．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
45．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】,
【分析】先利用分式除法法则对原式进行化简，再把代入化简结果进行计算即可．
【详解】解：


当时，
原式．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的除法运算法则和二次根式的运算法则是解题的关键．
46．（2023·湖南郴州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：



，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．
47．（2023·广西·统考中考真题）解分式方程：．
【答案】
【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：
去分母得，
移项，合并得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
48．（2023·四川·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：


，
当，时，
原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，二次根式的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解．
49．（2023·山东·统考中考真题）先化简，再求值：，其中x，y满足．
【答案】，6
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时将除法变为乘法，约分得到最简结果，将变形整体代入计算即可求解．
【详解】解：原式


；
由，得到，
则原式．
【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键熟练掌握分式混合运算的顺序以及整体代入法求解．
50．（2023·广东·统考中考真题）某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的倍，结果甲比乙早到，求乙同学骑自行车的速度．
【答案】乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【分析】设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，根据时间=路程÷速度结合甲车比乙车提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之并检验后即可得出结论．
【详解】解：设乙同学骑自行车的速度为x千米/分钟，则甲同学骑自行车的速度为千米/分钟，
根据题意得：，
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：乙同学骑自行车的速度为千米/分钟．
【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出分式方程求解即可．
51．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简，然后从，1，2这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】根据分式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：原式

，
∵，
当时
原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
52．（2023·四川遂宁·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则对原式进行化简，然后将代入化简结果求解即可．
【详解】解：

，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的运算法则是解题关键．
53．（2023·江西·统考中考真题）化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
  
解：原式
……

解：原式
……
  
(1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】(1)②，③；(2)见解析
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【详解】（1）解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
（2）解：甲同学的解法：
原式


；
乙同学的解法：
原式


．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
54．（2023·湖南常德·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先计算括号内的减法运算，再计算除法，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：原式

，
当时，原式.
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式运算法则和混合运算顺序是解题的关键．
55．（2023·山东枣庄·统考中考真题）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可．
【详解】解：原式

；
∵，
∴，
∵，
∴的整数解有：，
∵，
∴，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
56．（2023·山东滨州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中满足．
【答案】；
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解．
【详解】解：




；
∵，
即，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解．
57．（2023·湖南·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】；2
【分析】先将括号部分通分相加，相乘时，将两个分式的分子和分母因式分解，进行化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
，
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练将分式化简是解题的关键．
58．（2023·山东聊城·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】运用因式分解，约分，通分的技巧化简计算即可．
【详解】


；
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分的技巧是解题的关键．
59．（2023·湖北荆州·统考中考真题）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2
【分析】根据分式的运算法则，先将分式进行化简，再将和的值代入即可求出答案．
【详解】解：




，
原式．
故答案为：，2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键在于熟练掌握分式的运算法则、零次幂、负整数次幂．
60．（2023·福建·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后再将代入计算即可解答．
【详解】解：



．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质及其运算、分母有理化，正确的化简分式是解答本题的关键．
61．（2023·黑龙江·统考中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后求出，最后代值计算即可．
【详解】解：


，
∵，
∴原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，正确计算是解题的关键．
62．（2023·山东·统考中考真题）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
(2)该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
【答案】(1)A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元
(2)共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少．
【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解
【详解】（1）解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得：
,
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得：
，解得，
∵须为非负整数，
∴可取，，，
∴共有三种方案：
方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）；
方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元），
∵
∴方案三总费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．