湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一数学上学期开学考试试题（Word版附解析）

长郡中学2023级高一入学检测试卷

数学

时量：90分钟满分：100分

一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1. 已知a是的小数部分，则的值为（    ）

A.  B. 4 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先确定的范围，再表示出，然后代入中计算即可

【详解】因为，即，所以，

所以，

故选：B

2. 如果不等式的正整数解是1，2，3，4，那么m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先解出不等式的解，然后利用正整数解列不等关系，求解即可.

【详解】解不等式得，当在大于等于4小于5的范围之内时，

不等式的正整数解是1，2，3，4，所以，解得.

故选：A

3. 如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为（    ）

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】利用多边形内角和公式根据题意列方程求解即可

【详解】设这个多边形的边数为，

因为多边形的内角和是它外角和的4倍，

所以，解得，

故选：D

4. 如图，在中，与的平分线相交于DC边上的一点E，若，，则的面积为（    ）

A. 3 B. 6 C. 8 D. 12

【答案】B

【解析】

【分析】由平行四边形性质和角平角线的性质可得，则可求出的面积，从而可求出的面积

【详解】因为四边形为平行四边形，所以∥，

所以，

因为与的平分线相交于DC边上的一点E，

所以，

所以，

所以，所以,

所以的面积为，

故选：B

5. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ）

A. 或 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据解分式方程的步骤，结合分式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

，

当时，即时，方程无实根，符合题意；

当时，即时，，

要想方程无解，只需，

故选：A

6. 如图，一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是（    ）

A. 15 B. 20 C. 25 D. 27

【答案】C

【解析】

【分析】先将已知图形展开，三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为；再根据两点之间，线段最短可得蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长，然后运用勾股定理可完成解答．

【详解】如图所示：

三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，

则蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程为，

由勾股定理得：，

解得：，

即蚂蚁沿台阶面爬行到点的最短路程为．

故选：C

7. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形OABC的顶点A和C，已知点A的坐标为，则k的值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，易证，根据全等三角形的性质，求出点坐标，利用待定系数法求解即可．

【详解】过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

则有，

，

是正方形，

，，

，

，

，

，，

，

，，

，

将，点坐标代入，

得，

解得，

故选：C

8. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上，，连接OC，CA，OD，过点B作，交OD的延长线于点E.设的面积为，的面积为，若，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】过点作于点，根据，可得，再由得，设求出，再由可得答案.

【详解】如图，过点作于点，，，，

而，，

，

，即，

，

即，

设，则，

，

.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.

9. 设点在第二象限内，且，，则点P关于原点对称点为________.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知求出点的坐标即得解.

【详解】因为，，所以.

又因为点在第二象限内，所以.

所以点坐标为.

所以点P关于原点的对称点为.

故答案为：

10. 关于的二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，则________.

【答案】

【解析】

【分析】先解方程组，得到用表示的式子，再代入解出的值即可.

【详解】，得，解得，

再将代入①得，

将代入得，解得，

故答案为：

11. 二维码的图案主要由黑、白两种小正方形组成.现对由4个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，则恰好涂成两个黑色和两个白色的概率为________.

【答案】##0.375

【解析】

【分析】利用列举法计算古典概型即可.

【详解】把小正方形依次为标记A、B、C、D四个区域，则每个区域都有两种颜色可涂，共种涂色方法，而涂黑色的区域有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种可能，即恰好涂成两黑两白的概率为.

故答案为：

12. 如图，是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点.连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF.连接AF，EF，DF，则周长的最小值是________.

【答案】##

【解析】

【分析】由已知条件可得，则得，作点关于的对称点，连接，设交于点，则当三点共线时，取得最小值，再结合已知条件可求出周长的最小值

【详解】点为高上的动点.

将绕点顺时针旋转得到，且是边长为6的等边三角形，

，

，

点在射线上运动，

如图，作点关于的对称点，连接，

设交于点，则，

在Rt中，，则，

则当三点共线时，取得最小值，

即，

，

，

在中，，

周长的最小值为.

故答案为：.

三、解答题：本题共4小题，共52分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

13. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，点C是的中点，过点C作AD的垂线，分别交AB与AD的延长线于点E和点F.

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）若，，求的长.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）连接，则，，再结合已知可得，从而得，进而可得结论，

（2）设，在中利用勾股定理可求出，则可求出，所以，然后利用弧长公式可求得结果.

【小问1详解】

连接，

点是的中点，.

是的直径，，

是的切线.

【小问2详解】

设，则，

，解得，

在中，，

.

的长.

14. 为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）.

根据上述信息，解答下列各题：

（1）该班级女生人数是________，女生收看“两会”新闻次数的中位数是________；

（2）对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”.如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班级男生人数；

（3）为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量（如表）.

根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两会”新闻次数的波动幅度大小.

【答案】（1）女生人数是20，中位数是3   

（2）男生人数为人   

（3）男生比女生的波动幅度大

【解析】

【分析】（1）根据题目数据及中位数的定义直接计算即可；

（2）先求出女生对“两会”新闻的“关注指数”，即可得男生对“两会”新闻的“关注指数”，列方程解答即可；

（3）利用方差公式求解女生收看“两会”新闻次数的方差，即可比较大小.

【小问1详解】

该班级女生人数是，女生收看“两会”新闻次数的中位数是3.

【小问2详解】

由题意：该班女生对“两会”新闻的“关注指数”为，

所以男生对“两会”新闻的“关注指数”为.

设该班的男生有人，则，解得.

【小问3详解】

该班级女生收看“两会”新闻次数的平均数为，

女生收看“两会”新闻次数的方差为，

因为男、女生收看“两会”新闻次数的平均数与中位数都相等，而方差，

所以男生比女生的波动幅度大.

15. 如图，矩形中，，，点H在线段OC上，将沿直线AH折叠得到.

（1）当AP经过CD的中点N时，求点P的坐标；

（2）在（1）的条件下，已知二次函数的图象经过A，D两点.若将直线AH右侧的抛物线沿AH对折，交轴于点M，请求出AM的长度.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）过点作，交轴于点，交的延长线于点，则，四边形是矩形，可得是等腰直角三角形，再由折叠的性质可得答案，

（2）设与抛物线的交点为点，连接，则，由已知可得，代入二次函数解析式中可求出，过点作轴于点，则得，设点，然后列方程可求得结果.

【小问1详解】

过点作，交轴于点，交的延长线于点，如图所示：

矩形中，，

则，

∴，∴，

，四边形是矩形，

，

经过的中点，

，

是等腰直角三角形，

，由折叠的性质可得，

，

.

【小问2详解】

设与抛物线的交点为点，

连接，根据折叠性质可知点与点关于对称，如图所示：

，

由可得点，

代入二次函数得，解得，

.

由（1）可知，过点作轴于点，

是等腰直角三角形，

，

设点，则，

，解得（不符合题意，舍去），

，

【点睛】关键点睛：此题考查抛物线的性质的应用，考查三角形相似，考查图形折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系.

16. 函数（为常数，）.

（1）求出此函数图象的顶点坐标（用含a的式子表示）；

（2）当时，此函数图象交轴于点A，B（点A在点B左侧），交轴于点C，点P为轴下方图象上一点，过点P作轴交线段BC于点Q，求线段PQ的最大值；

（3）点，，连接MN，当此函数图象与线段MN恰有两个公共点时，求出的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据抛物线方程直接求解即可，

（2）由二次函数解析求出三点的坐标，则可求出直线的方程，设，则，然后表示出，化简后利用二次函数的性质可求出其最大值，

（3）由题意可得轴，然后分和两种情况分析讨论即可

【小问1详解】

为常数，，

函数图象的顶点坐标为.

【小问2详解】

当时，，

当时，，即，

当时，，

即，解得或，

点在点的左侧，，

设直线表达式为，则，

解得

，

点为轴下方图象上一点，过点作轴交线段于点，设，则，其中，

，

，

二次函数图象开口向下，当时，函数有最大值为，

的最大值为.

【小问3详解】

点纵坐标相等，

连接后，轴，

根据题意，分两种情况：

①当时，抛物线开口向上，

∴，解得，

函数图象与线段恰有两个公共点

∴有两个不相等的实数根，

即有两个不相等的实数根，

，

，则，即，

此种情况不存在.

②当时，抛物线开口向下，

∴，解得，

函数图象与线段恰有两个公共点，

∴有两个不相等的实数根，

即有两个不相等的实数根，

，

，则，即，

综上所述，当此函数图象与线段恰有两个公共点时，的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线综合问题，考查二次函数最值的求法，第（3）问解题的关键是表示出线段的方程与抛物线方程联立，化简后再利用判别式大于零可求得结果，考查计算能力，属于较难题.