江西省2022-2023学年高二数学下学期期中联合调研考试试题（Word版附解析）

2023年江西省高二年级联合调研考试数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 若等比数列满足，则（    ）

A. 4 B. 8 C. 16 D. 20

【答案】C

【解析】

【分析】根据等比数列的性质求解即可.

【详解】在等比数列中，，

所以，即，

所以.

故选：C.

2. 若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线标准方程列不等式求解.

【详解】方程表示双曲线,则，解得或，

故选：D

3. 设曲线在点处的切线与直线平行，则实数（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据导数求解，由两直线平行斜率相等即可求解.

【详解】由得，故，

由于点处的切线与直线平行，且直线的斜率为，所以，

故选：C

4. 已知是函数的导函数，，则（    ）

A.  B.

C. 0 D.

【答案】A

【解析】

【分析】对函数求导，求出，将代入导函数即可求解.

【详解】因为，则，

所以，

则，

所以，

故选：A.

5. 已知为函数的极值点，则在区间上的最大值为（    ）（注：）

A. 3 B.

C. 5 D.

【答案】B

【解析】

【分析】由以及极值点的知识求得，求得的单调区间，进而求得在区间上的最大值.

【详解】，由于是的极值点，

所以，

此时，

所以在区间递减；在区间递增.

所以是极小值点，符合题意.

，，

由于，

所以在区间上的最大值为.

故选：B

6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数或高次差数成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新的数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.已知一个二阶等差数列的前5项分别为2，5，10，17，26，则该数列的第50项为（    ）

A. 2401 B. 2402 C. 2501 D. 2502

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得，利用累加法求得，进而可求解．

【详解】设此数列为，可得：，，，，．

．，

故选：C

7. 一辆七座（含司机）旅游客车载着6名游客前往某地游览.6名游客返程时恰有2名游客坐的是出发时的座位的方法数为（    ）

A. 135 B. 150 C. 165 D. 180

【答案】A

【解析】

【分析】根据分步乘法计数原理,结合排列组合即可求解.

【详解】恰好有两个人的位置没有发生变化，则从6个人中选两个人使位置没有发生变化，有种，

剩下4个人均没有坐在出发时的位置上，设这四个人分别为,设他们出发时坐的位置分别为，返程时，若从三个位置中任选一个位置有3种选择，不妨假设选择则此时三个人需要安排到的位置，此时共有3种安排方法，

故总的安排方法由，

故选：A

8. 若函数对且都有，则称函数在区间上阶递增.已知函数在上2阶递增，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意可得对且都有成立，构造函数，可得函数在上单调递增，进而得到对于，恒成立，即得对于，恒成立，分离常数结合对勾函数的单调性即可求解.

【详解】由题意，对且都有成立，

不妨设，则，

设，则，

所以函数在上单调递增，

即对于，恒成立，

即对于，恒成立，

而，

令，则函数在上单调递增，

则，即，

所以，

所以，即，

所以实数的取值范围为.

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题关键在于构造函数，转化为对于，恒成立，进而得到对于，恒成立，进而利用恒成立问题求解即可.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 在棱长为2的正方体中，下列说法正确的是（    ）

A. 直线与平面所成的角为

B.

C. 三棱锥外接球的表面积为

D. 平面与平面的距离为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C.

【详解】

连接，与相交于点，因为平面，且平面，

所以，又因为，，所以平面，

即直线与平面所成的角为，且，故A错误；

连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，

则

设平面的法向量为，

则，解得，取，则

所以，则，所以平面，

且平面，则，故B正确；

因为三棱锥外接球就是正方体的外接球，

设其外接球的半径为，则，即，

所以，故C正确；

因为平面平面，由B选项可知，平面的法向量为，且，则两平面间的距离，故D正确；

故选:BCD

10. 若，则下列等式正确有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用赋值法即可求解AC,求导后结合赋值法可判断D，利用通项的特征可判断B.

【详解】对于A,令，则，故A正确，

对于B,，因此，故B错误，

对于C,令，则，令，则，两式相加可得，故C正确，

对于D,对两边求导得，令得，故D正确，

故选:ACD

11. 已知数列满足，则下列说法正确的有（    ）

A.

B. 数列为等比数列

C. 若，则数列的前项和为

D. 若，则

【答案】AD

【解析】

【分析】当时，构造，相减可得，注意验证首项，由可以直接判断选项A、B；利用等比数列求和公式求得结果判断选项C；利用裂项相消求和法判断选项D.

【详解】已知，

当时，，相减可得，

所以，当时，.

综上可得.

对于A，正确，故A正确；

对于B，因为，，，所以，数列不是等比数列，故B错误；

对于C，若，则数列的前项和，故C错误；

对于D， 当时，，

则，故D正确.

故选：AD.

12. 已知函数，直线，则下列说法正确的有（    ）

A.

B. 若有两个不等实根，则

C. 若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方，则实数的取值范围为

D. 当时，在y轴右侧，直线恒在曲线上方

【答案】AD

【解析】

【分析】求导由单调性即可判断AB,结合函数图象可得即可判断C,利用相切时的切线斜率即可求解.

【详解】，故当时，,此时单调递减，

当时，,此时单调递增，故当时，取极大值也是最大值，

故，又，,画出的大致图象如图：

对于A,由于在上单调递减,故,故A正确，

对于B,若有两个不等实根，则，故B错误，

对于C,由于直线恒过定点，

若有且仅有2个整数，使得点在直线的上方,则只有2个整数解，

结合图象可知：这两个整数解只能是1和2，故解得，故C错误，

对于D,当直线与相切于第一象限时，设切点为，

所以切点为的切线方程为，在切线上，

此时，故，

故切点处的横坐标为，故当，

当时，即，此时，在y轴右侧直线恒在曲线上方，

故选：AD

【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的单调减区间为_________.

【答案】（答同样给满分）

【解析】

【分析】首先求出函数的定义域，再由对数型复合函数的单调性“同增异减”即可求解.

【详解】由得，因此函数的定义域为．

设，又是增函数，

在上是减函数，

因此的单调递减区间为．

故答案为：（答同样给满分）.

14. 已知随机事件，，若，，，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，由条件概率公式可得，再由，再结合条件概率的公式即可得到结果.

详解】由题意可得，，且，则，

又因为，则，

且，所以.

故答案为:.

15. 已知抛物线的焦点为，其准线为，过作直线交抛物线于点，，满足，又于点，则的面积为_________.

【答案】40

【解析】

【分析】由抛物线的定义结合题中的数据，可得直线AB的斜率为 tan∠BAE，从而得到直线AB的方程，再与抛物线联立，求得A点坐标，即可求得的面积.

【详解】如图，不妨设点A在第一象限，A、B在l上的射影分别是、D，

连接,BD，过B作于E

∵4，∴设||＝m，则||＝4m，

由点A、B分别在抛物线上，结合抛物线的定义，得

||＝||＝m，||＝||＝4m，

∴||＝3m

因此，Rt△ABE中，cos∠BAE，得tan∠BAE

∴直线AB的斜率为，

直线AB的方程为，代入y2＝8x，可得

即∴x＝8或x，

∵A在x轴上方，

∴A，

∴，

故答案为：40.

16. 已知数列，中，，，，，若对使得恒成立，则实数的取值范围为_________.

【答案】

【解析】

【分析】先利用递推公式求出，然后再利用累乘法得到，然后利用裂项相消法得到不等式，解之即可求解.

【详解】因为，则，所以，

又因为，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，

则，所以，

由可得，①，

由可得②，

①②可得，

当时，，则，

所以，

所以，则，

当时，也满足上式，所以，

则，

所以，

因为使得恒成立，

则，解得或，

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17. 某校为普及安全知识，随机抽取了400名学生开展一次校园安全知识答题活动.满分100分，计分分为两类：60分及以上为合格，60分以下为不合格.统计结果如下：

（1）判断能否有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”；

（2）现从答题不合格的学生中按性别分层抽样抽取7人，再从7人中任选4人进行安全知识学习，求恰好抽到一名女生的概率.

附：列联表参考公式：，其中.

临界值表：

【答案】（1）有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”   

（2）

【解析】

【分析】（1）列出校园安全知识答题合格与否与性别列联表，计算卡方，根据独立性检验判断即可；（2）根据分层抽样比可得男生抽取人，女生抽取人，然后利用古典概型公式计算恰好抽到一名女生的概率.

【小问1详解】

依题意有列联表

故有的把握认为“校园安全知识答题合格与性别有关”.

【小问2详解】

由分层抽样比得男生抽取人，女生抽取人，

人中任选人恰好抽到一名女生的概率为.

18. 已知多面体中，四边形和四边形均为棱长为2的菱形，.

（1）求证：；

（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）作出辅助线，得到与均为正三角形，由三线合一得到线线垂直，进而得到线面垂直，再由平行关系证明出结论；

（2）作出辅助线，结合第一问得到线面垂直，并求出各边长，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小

【小问1详解】

连接，

，.

与均为正三角形.

取中点，连接，则，，

∵，平面，

平面，

∵平面，

，

又，，

四边形为平行四边形，

，

.

【小问2详解】

由（1）知为二面角的平面角，.

又平面，平面，

∴平面平面，平面平面，

过作于，

平面，且，

，，.

过作.以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立如图直角坐标系.

则，，，.

，，.

设平面法向量为，

则，

令，则，得.

设平面的法向量为，

则，

解得，令，则，得.

，

设二面角的大小为，则.

19. 已知数列的前项和为，且满足，..

（1）求数列的通项公式；

（2）对于，将数列中落在区间内的项的个数记为，求数列的前项和.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由，可得为等差数列，求出公差，再根据等差数列的通项即可得解；

（2）解不等式，从而可得出数列的通项，再利用分组求和法求解即可.

【小问1详解】

当时，，为等差数列，设公差为，

又，，

；

【小问2详解】

，，

，，，，，

，

则其前项和为.

20. 已知函数.

（1）当时，求在上的最值；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，求导即可得，从而得到其最值；

（2）根据题意，求导可得，然后设，转化为对恒成立，然后列出不等式即可得到结果.

【小问1详解】

当时，.

在上单调递增.，.

【小问2详解】

对恒成立，

设，.即对恒成立.

设，

，，.

故的取值范围为.

21. 已知数列的首项，满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，将数列分组：，，，，，记第组的和为.

（i）求数列的通项公式；

（ii）证明.

【答案】（1）   

（2）（i）；（ii）证明见解析

【解析】

【分析】（1）把已知的式子变形，从而构造出一个等差数列，然后根据等差数列的通项公式求出数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.

（2）（i）先由（1）得出的通项公式，然后根据分组找出分组规律，进而求出数列的通项公式.

（ii）由（i）得出的通项公式，然后根据该通项公式的特点进行放缩，从而求出数列放缩后的前项和，从而证出结论.

【小问1详解】

依题意，又，

数列是以1为首项，2为公差的等差数列，

，

.

【小问2详解】

（i）由（1）知.设的前项和为，则.

显然数列分组后第组有项，前面组共有项，

当时，，

当时，，满足上式，

数列的通项公式为.

（ii），

当时，.

当时，.

当时，

，

故.

22. 已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若过点可作曲线的两条切线，求实数的取值范围.

【答案】（1）答案见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）首先求函数的导数，根据判别式，讨论的取值，求函数的单调区间；

（2）首先设切点，根据导数的几何意义求切线方程，化简后转化为方程有2个实数根，构造函数，利用导数求的取值范围.

【小问1详解】

，..

当时，，，在上单调递增；

当时，令，得，，

①当时，

②当时，

综上：当时，在上单调递增；

当时，在和递增，

在递减；

当时，在递增，在递减.

【小问2详解】

设切点为，则切线方程为，又过点，则，即，.①

依题意若有两条切线，则方程①有两个不同实数根，

设，，易知在上递增，在上递减，

.且时，时.

，.