江西省部分学校2022-2023学年高一数学下学期4月期中联考试题（Word版附解析）

高一数学试卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第四章第二节．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 在平行四边形ABCD中，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量加减法规则求解.

【详解】

如图，根据平面向量的加法规则有：  ；

故选：D.

2. 下列函数为偶函数且在 上为减函数的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据函数的性质逐项分析.

【详解】对于A， 奇函数；

对于B， 是奇函数；

对于C， 是偶函数，并且在 时是减函数；

对于D， 是偶函数，但在 时是增函数；

故选：C.

3. 已知、、三点共线，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出、，可知，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.

【详解】因为、、，则，，

因为、、三点共线，则，所以，即．

故选：C.

4. 已知一扇形的面积为8，所在圆的半径为2，则扇形的周长为（    ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

【答案】D

【解析】

【分析】根据扇形面积公式求弧长，进而求扇形的周长.

【详解】由题知：由扇形的面积，且，为弧长，

所以弧长，则扇形的周长为12．

故选：D

5. 已知分别为三个内角的对边，且，则是（    ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到，进而得到，得到，即可求解.

【详解】因为，由正弦定理得，

又因为，可得，

所以，

因为，可得，所以，

又因为，所以，所以为钝角三角形.

故选：D.

6. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角函数单调性结合中间值即可比较大小.

【详解】因为函数在上单调递增，

所以，

因为函数在上单调递减，

所以，

因为函数在上单调递增，

所以，

所以，即.

故选：A

7. 如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在处看灯塔在船的北偏东的方向上．1小时后，船航行到处，在处看灯塔在船的北偏东的方向上，则船航行到处时与灯塔之间的距离为（注：）（    ）

A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里

【答案】B

【解析】

【分析】借助正弦定理求解三角形.

【详解】由题意得，在中，，，．

由正弦定理有，代入数据得，解得．

因为，所以，（海里）．

故选：B

8. 彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化．如图1所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若以为始边，射线绕着点逆时针旋转，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，终边与重合时的角为，则的值为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 0

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得，然后结合余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.

【详解】由已知得，，，

所以

．

故选:D

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知函数，则（    ）

A. 的图象关于对称 B. 的图象关于直线对称

C. 为奇函数 D. 为偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可．

【详解】因为，，A错误；

，B正确；

，所以是奇函数，C正确；

易知，所以不是偶函数，D错误．

故选：BC

10. 在△ABC中，，，，，E为AC的中点，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】利用向量的线性运算可得AB选项正误；利用向量的数量积公式可得CD选项正误.

【详解】因为，所以，故A错误；

由向量加法的三角形法则，可得，

故B正确；

由数量积公式得：
，故C错误；

，故D正确．

故选：BD

11. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（    ）

A.  B. 2 C.  D. 3

【答案】ABC

【解析】

【分析】由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果.

详解】由正弦定理得，则，又，

且满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，所以，

故．

故选：ABC．

12. 已知函数，则（    ）

A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称

C. 既是周期函数又是奇函数 D. 的最大值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A，验证即可；对于B，验证即可；对于C，找反例即可判断；对于D，令，则原函数可化为，分结合基本不等式即可判断.

【详解】对于A，因为，

所以的图象关于直线对称．A正确．

对于B，因，

所以的图象关于点对称，B正确．

对于C，，

，则，

所以不是奇函数， C错误．

对于D，令，则，

当时，；当或时，，

当且仅当时，等号成立，此时函数取得最大值，D正确．

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．

13. 函数的最小正周期为__________，最小值为__________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用正弦函数的性质求解．

【详解】的最小正周期，最小值为－3.

故答案为：；．

14. 已知函数的图象关于点对称，则__________.

【答案】##

【解析】

【分析】由正切函数的图象关于点对称求解．

【详解】因为的图象关于点对称，

所以，所以，

因为，所以.

故答案为：．

15. 已知M为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，B关于点C的对称点为D，若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】以为基底，利用A，B，M三点共线求解.

【详解】

因为A关于点O的对称点为C，所以， ， ，

又B关于点C的对称点为D，所以，

又，所以，

因A，B，M三点共线，所以，即 ；

故答案为：

16. 如图，某公园内有一个边长为的正方形区域，点处有一个路灯，，，现过点建一条直路分别交正方形区域两边，于点和点，若对五边形区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】设和的长，使的面积最小，即可使五边形面积最大.

【详解】设，，（，），

∵， ，∴，

∴的面积为，

的面积为，

∵的面积，∴，即

∵，，

∴由基本不等式得，解得，即，

当且仅当，即，时，等号成立，

∴的面积的最小值为，

∴五边形面积的最大值．

故答案为：.

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在中，角A，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求角；

（2）若，的周长为，求．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由余弦定理计算即可；

（2）由正弦定理计算即可.

【小问1详解】

由余弦定理可得，

解得，因为C是的一个内角，故

小问2详解】

因为，的周长为，所以，

由正弦定理，可得

解得

18. 已知平面向量，，，且．

（1）求的坐标；

（2）求向量在向量上的投影向量的模．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义和坐标运算规则求解.

【小问1详解】

设，因为 ，所以，又，

解得，，所以；

【小问2详解】

，所以，

则向量在向量上的投影向量的模为；

综上，，向量在向量上的投影向量的模为5.

19. 已知角的始边为轴非负半轴,终边过点.

（1）求的值.

（2）已知角的始边为轴非负半轴,角和的终边关于轴对称,求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由三角函数定义得值,然后由诱导公式化简后代入计算;

（2）写出关系,求出的值,再代入两角差的正弦公式求解即可.

【小问1详解】

由题可知,则,

所以.

【小问2详解】

因为角和的终边关于轴对称,

所以,,

所以.

20. 赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知．

（1）证明：F为AD的中点；

（2）求向量与夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）由得，再根据全等三角形性质可得，从而可得，继而得出E为CF的中点，F为AD的中点，从而得证.

（2）设，由向量的线性运算可得，分别求出的值，由向量与夹角的余弦值为得出结论.

【小问1详解】

证明：因为，所以由正弦定理得．

又因为，所以，

所以，即E为CF的中点，所以F为AD的中点.

【小问2详解】

设，，

所以，则，

所以．

又，

所以向量与夹角的余弦值为．

21. 如图，在平面四边形ABCD中，，．

（1）若，，，求△ACD的面积；

（2）若，，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）先用余弦定理求出 ，再利用面积公式求解；

（2）设，运用正弦定理分别表示出 ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.

【小问1详解】

在中，，

因为，所以，

所以的面积；

【小问2详解】

设， ，则，．

在中，，则，

在 中，，则，

所以，

当时，取得最大值；

综上，的面积为 ，的最大值.

22. 已知函数的部分图象如图所示.

（1）求的解析式；

（2）将函数图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上无零点，求正数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据图中的点的坐标求出参数值即可求出函数解析式；

（2）先通过图象变换求出函数解析式，然后利用函数无零点建立不等式关系即可求解.

小问1详解】

因为，可得，

因为在处附近单调递增，所以，

所以，

因为，所以

因为在处附近单调递减，且当时，在处的第一次取值为，

所以，可得.

即.

【小问2详解】

将图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到的图象，

再把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，

则，

由在区间上无零点可得，解得，

因为，所以，

则，，解得，，

由，可得，即正数的取值范围为.