2023届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考（八）数学试题含答案

2023届重庆市第八中学校高三下学期适应性月考（八）数学试题

一、单选题

1．已知复数（是虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】首先根据复数的运算得到，再求其模长即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B.

2．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据题意得到集合，集合，再求即可.

【详解】集合，集合，

所以，

故选：B.

3．圆与圆的公共弦恰为圆的直径，则圆的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，再由公共弦为直径得圆心在直线上，代入圆心坐标可求半径，进而求出圆的面积.

【详解】两圆方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，

因为公共弦为圆的直径，

所以圆的圆心在直线上，

由解得，

所以圆的面积为.

故选：D.

4．如图，在扇形及扇形中，，，动点在（含端点），则的最小值是（    ）

A． B．6 C． D．7

【答案】A

【分析】建立直角坐标系，根据向量的坐标运算，即可结合三角恒等变换求解最值.

【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则.

设，，

则,

则，

其中.所以，

当且仅当时，取“=”，

故选:A.

5．抛掷两枚骰子，向上一面的点数之和能被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用列举法求出概率作答.

【详解】记两次抛掷骰子向上一面的点数分别为，所有可能的结果有：

，

，

，共36个，

则向上一面的点数之和能被3整除的情形有：

，共12个，

所以向上一面的点数之和能被3整除的概率为.

故选：D

6．已知，则的值为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】从角入手进行三角恒等变换，将转化为，再用两角和的余弦公式展开整理，结合辅助角公式将已知等式变形为，解出角，代入可得.

【详解】由题意可得：

，

所以，，

故.

故选：A.

7．已知数列满足：若，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】B

【分析】利用裂项相消法求和，先根据已知将裂项为形式，再相加即可化简求解.

【详解】由条件得，且，，

则，.

所以；

；

；

.

各式相加可得，

又因为，

该数列显然从第二项起单调递增，

所以.

故选：B.

8．若函数对，，有，且，，则（    ）

A．0 B．1 C． D．2022

【答案】A

【分析】先根据赋值法得，，，由得，

故是以4为周期的周期函数，可得.

【详解】令，得，则

令，得，

由，得，

又，故.

令，知，得.

令得，

即，故存在，使得，

所以是周期函数，周期，

所以，

故选：A

二、多选题

9．设函数，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数

B．的周期是

C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称

【答案】BCD

【分析】根据函数性质，采取特值验证法即可判断ACD，由周期公式可判断B.

【详解】对选项A：由，所以函数不是奇函数，故A错误；

对选项B：由，知函数的周期为，故B正确；

对选项C，由，知点是函数的对称中心，故C正确；

对选项D，由，取得最小值，所以为函数的一条对称轴，故D正确.

故选：BCD.

10．在平面直角坐标系中，已知，过点可作直线与曲线交于，两点，使，则曲线可以是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据题意得到点为四个曲线的焦点，结合椭圆、双曲线和抛物线的焦点弦的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，根据选项可得，点恰为四个曲线的焦点，

A中，抛物线焦点弦弦长最小值为，故不存在弦长，所以A不正确；

B中，椭圆中，根据椭圆的性质，可得焦点弦弦长取值范围为，

即，而，所以B正确；

C中，若同在右支上，则焦点弦弦长取值范围为，即，

因为，所以C正确；

D中，若在异支上，则焦点弦弦长取值范围为，即，

因为，所以D正确.

故选：BCD.

11．如图，三棱柱，点，分别在线段，上，点，，所确定的平面将三棱锥截成两部分的体积分别为和，下列说法正确的有（    ）

A．若为与的公垂线段，则

B．不存在，，使得平面

C．点，，所确定的平面截三棱柱，截面可能为梯形

D．若，，

【答案】ACD

【分析】利用线面垂直的判定定理，证得平面，可判定A正确；取分别为中点，证得平面平面，可判定B错误；连接交延长线于，连接，分别交于，得到截面为为梯形，可判定C正确；连接交延长线于，连接，分别交延长线于，证得，得到为中点，为靠近的三等分点，结合体积公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，由为与的公垂线段，可得，

因为，所以，

有因为，，且平面，所以平面

因为平面，所以，所以A正确；

对于B中，如图1所示取分别为中点，

可得，因为，所以，

因为平面，平面，所以平面，

同理可证平面，

又因为且平面，所以平面平面，

又因为平面，所以平面，即存在平面，

所以B错误；

对于C中，如图1，连接交延长线于，连接，分别交于，

此时点所确定的截面为，显然为梯形，要得到此种截面只需要连线与线段有交点，显然存在（例如取为中点，为中点），所以C正确；

对于D中，如图2所示，若，连接交延长线于，

连接，分别交延长线于，

设，则，由，可得，

又由，，故，

可得，即为中点，为靠近的三等分点，

由为中点，，，

，

不妨设三棱柱底面积为，高为，

则，

所以，所以D正确.

故选：ACD.

12．一个盒子中装有个黑球和个白球（，均为不小于2的正整数），现从中先后无放回地取2个球.记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据题意，得到第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，结合条件概率的计算公式，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，

第一次取黑球，第二次取黑球的概率；

第一次取黑球，第二次取白球的概率，所以A错误；

第一次取白球，第二次取黑球的概率，所以B正确；

第一次取白球，第二次取白球的概率，

；，

所以，所以C错误；

由，所以D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．的展开式中的系数为           （用数字作答）

【答案】

【分析】利用二项式定理，分别求得与的系数即可得解.

【详解】因为，

而的展开通项公式为，

所以在的展开式中，项的系数为，项的系数为，

所以的展开式中的系数为.

故答案为：.

四、双空题

14．曲线过坐标原点的两条切线方程为           ，           .

【答案】         

【分析】由对称性，只需先求当时，的切线方程.设切点，利用斜率相等建立方程求解即可.

【详解】当时，，

设切点为，则，即，解得，

则切线斜率为，切线方程为.

又因为为偶函数，所以当时，切线方程为.

故答案为：，.

五、填空题

15．已知，且，则的最小值为           .

【答案】

【分析】先由条件变形为正数乘积形式，再将所求配凑成正数和的形式，最后利用基本不等式求解最值即可.

【详解】由 ，得，

由得，

所以，

当且仅当时，等号成立.

故答案为：.

16．已知函数且，若，，则实数的取值范围是           .

【答案】或

【分析】根据和得到函数在上单调性，结合题中条件可得，即可将问题转化为求函数在的最值，即可求解.

【详解】，

若，由于单调递减，则在上单调递增；

若，由于单调递增，则在上单调递减，

又，故，

故不等式对恒成立，

即对恒成立，

当时，对恒成立，

由于对勾函数在单调递减，在单调递增，而当时，，

当时，，因此；

当时，对恒成立，当时，，得，

综上可知：或，

故答案为：或

六、解答题

17．在中，角、､所对的边分别为、、，为的中点，.

(1)求；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）推导出，利用平面向量数量积的运算性质、余弦定理化简可得出的值；

（2）由余弦定理求出角的值，然后在中，利用正弦定理可求得的长.

【详解】（1）解：因为为的中点，则，

所以，

所以，

由余弦定理得：，

所以，即.

（2）解：因为，即，

由余弦定理得，因为，所以，

又，在中，由正弦定理可得，

所以.

18．已知数列的前项和满足.

(1)求数列的通项；

(2)记，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意化简得到，由，求得，结合得到数列的通项公式；

（2）由（1）知，当时，得到，结合裂项法求和，得到，进而证得.

【详解】（1）解：由，可得，

两式相减得，

又由，可得，即，解得，

可得当时，

所以数列的通项公式为.

（2）证明：由（1）知，当时，.

当时，，

所以

，即.

19．在正常生产条件下，根据经验，可以认为化肥的有效利用率近似服从正态分布，而化肥施肥量因农作物的种类不同每亩也存在差异.

(1)假设生产条件正常，记表示化肥的有效利用率，求；

(2)课题组为研究每亩化肥施用量与某农作物亩产量之间的关系，收集了10组数据，并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为（单位：公斤），粮食亩产量为（单位：百公斤）

参考数据：

，，2，，.

（i）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为该农作物亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程（给出判断即可，不必说明理由）；

（ii）根据（i）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；并预测每亩化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量的值.

附：①对于一组数据，2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；

②若随机变量，则，.

【答案】(1)

(2)（i）适宜作为粮食亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程；（ii），（百公斤）

【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性，结合，即可求解；

（2）（i）由散点图可知与的关系不是线性关系，即可得到答案；

（ii）由，得到，令，得到，结合公式求得回归系数和的值，即可求解.

【详解】（1）解：由，根据正态分布曲线的对称性，

可得.

（2）解：（i）由散点图可知与的关系不是线性关系，所以适宜作为粮食亩产量关于每亩化肥施用量的回归方程；

（ii）因为，所以，令，则，

由表可得，所以，

所以，所以，所以，

当时，（百公斤）

20．如图，在五棱锥中，，，.

(1)证明：；

(2)若平面平面，平面平面，探索：是否为定值？若为定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)是定值，

【分析】（1）由线面垂直证线线垂直.

（2）由空间直角坐标系，设，根据面面垂直的向量表示可得，

即得.

【详解】（1）证明：取中点，连接，连接交于，

如图，由知为等腰梯形，，

又，故，

显然为中点，，

故 又，所以平面

又平面，故.

（2）若平面平面，

由为平面与平面的交线，知，，

如图，可以为原点，建立平面直角坐标系.

设，因，

如图，底面延长交于点，

由知为等边三角形，

又，可知也为等边三角形，

故，

又，

所以，又，所以为等边三角形，

所以也为等边三角形，故，

所以，故，

，，

，

设平面法向量为，则即

可令得，

，

设平面法向量为，则即

可令，

，有，

故.

21．如图，已知抛物线，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，抛物线上的点，设直线，的斜率分别为，.

(1)求的取值范围；

(2)过点作直线的垂线，垂足为.求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以点横坐标为自变量，用坐标表示，转化为函数值域求解即可；

（2）利用数量积的几何意义将转化为，再向量坐标化，转化为函数最值求解即可.

【详解】（1）直线的方程为，代入抛物线得：

，解得或，所以，

因为，

所以，，

则有，

又，则有，故的取值范围是.

（2）由（1）知，，

所以，，

，

令，，

则，

由于当时，，当时，，

故，即的最大值为.

22．设函数，其中.

(1)若，求不等式的解集；

(2)求证：，函数有三个零点，，，且，，成等比数列.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）两边同除以，将不等式等价与简化变形处理，构造函数，观察函数零点，利用函数单调性求解不等式；

（2）同（1），先将等式变形，构造函数，转化为新函数零点问题；再对求导，结合二次函数图象与零点存在性定理分析导函数符号及函数的单调性；最后在各区间通过放缩取点法“取点”，寻找端点函数值异号的区间，确定函数的零点存在，再结合性质得到三个零点的关系，问题得证.

【详解】（1）由，得，.

不等式等价于，

令，

又，则函数在上单调递增，

又，则不等式的解集为.

（2）令，则，.

设，因此的零点是的零点.

，

设，

由，则，对称轴，

故存在，使得.

故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

又因为，则，

当时，，

此时；

又当时，，

此时；

故由零点存在性定理知，有三个零点，，，其中.

又因为，所以，

即，即，，成等比数列.

【点睛】在研究函数的零点问题时，零点存在性定理是推理依据之一，应用它的关键在于寻找端点函数值异号的区间，这就需要适当“取点”，常用“取点”的方法有：直接取点法、局部为零取点法、插值取点法、放缩取点法等等.