2023届黑龙江省佳木斯市第八中学高三下学期开学考试数学试题含答案

这是一份2023届黑龙江省佳木斯市第八中学高三下学期开学考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将集合B整理为，再根据交集的概念求交集即可.
【详解】因为 ，，
所以.
故选：A
2．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求得，进而求得对应点的坐标，从而求得正确答案.
【详解】，
对应点的坐标为，在第三象限.
故选：C
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件求出，再求出其正切值即可得解.
【详解】因为，，
所以，所以.
故选：A
4．中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把用表示，把用表示，所以用表示，
也用表示，然后多项式展开即可.
【详解】由，
而，又由已知可得，所以
.
故选：D
5．现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12B．120C．1440D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
6．下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
A．14条B．12条C．9条D．7条
【答案】B
【分析】根据分步乘法计算原理即可求解.
【详解】由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径.
故选：B
7．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出直线与两坐标轴的焦点为，.根据，可设椭圆的方程为，求出即可.
【详解】令，可得；令，可得.
则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，.
因为，所以椭圆的焦点在轴上.
设椭圆的方程为，则，，
所以椭圆的方程为.
故选：C.
8．已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD//BC，AB=DC=AD=1，BC=PA=2，PD⊥平面ABCD，则球O的表面积为（ ）
A．6πB．7πC．4πD．8π
【答案】B
【分析】根据题意抽象出图形，根据已知条件分析和找出相应的等量关系，求出球的半径，利用球体的表面积公式计算即可.
【详解】如图：
由题可知，四边形为等腰梯形，取的中点，
连接，则
且，所以四边形为平行四边形
故
所以四边形为菱形，
连接，因为且
所以四边形为平行四边形，即
，
所以到的距离相等，
故为球小圆的圆心.
取的中点，作，且
又因为平面
所以四边形为矩形，
因为,
所以
在直角三角形中，球的半径为：

故球的表面积为：
故选：B.
二、多选题
9．某市为了更好的支持小微企业的发展，对全市小微企业的年税收进行适当的减免，为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业减免前和减免后的年收入进行了抽样调查，将调查数据整理，得到如下所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A．推行减免政策后，某市小微企业的年收入都有了明显的提高
B．推行减免政策后，某市小微企业的平均年收入有了明显的提高
C．推行减免政策后，某市小微企业的年收入更加均衡
D．推行减免政策后，某市小微企业的年收入没有变化
【答案】BC
【分析】根据减免前，减免后的频率分布直方图，逐个分析选项即可
【详解】对于A，从图中无法确定推行减免政策后，某市小微企业的年收入是否都有了明显的提高，故A错误；
对于B，从图中可以看出，减免前占比最多的平均年收入为万元，其次是万元及万元，减免后占比最多的为万元，其次是万元及万元，明显增多，所以平均年收入也有明显提高，所以B正确.
对C，从图中看出，推行减免政策后，年收入更加集中，所以减免后年收入更加均衡，所以C正确；
对于D，从图中看出，某市小微企业的年收入有明显变化，所以D错误.
故选:BC
10．已知圆的方程为，若圆上恰好有3个点到直线的距离为1，则的方程不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据圆的性质，结合垂径定理，可得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可得答案.
【详解】由题意，易知直线分割圆为一段优弧和一段劣弧，则在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为，且该点为劣弧的中点，
根据垂径定理，可得圆心到直线的距离为，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误.
故选：BCD.
11．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）
A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列
B．若数列的前项和，则数列为等差数列
C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列
D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列
【答案】ABD
【分析】当时，求出前三项验证可判断A； 根据与的关系求出通项，再由等比数列的定义即可判断B； 根据等差数列片段和性质可判断C；取特例可判断D.
【详解】A中：若数列的前项和，
可得，，
当时，显然
所以数列不是等差数列，A错误；
B中：若数列的前项和，
由可得，当时，
所以，所以数列是以2为首项和公比的等比数列，所以B错误；
C中：数列是等差数列，为前项和，则
即为 ，
可得（常数），仍为等差数列
，故C正确；
D中：数列是等比数列，为前项和，当时，若为偶数时，均为，不是等比数列，所以D错误；
故选：ABD
12．已知函数有两个零点，且，则下列选项正确的有（ ）
A．B．在上单调递减
C．D．若，则
【答案】AD
【分析】根据参变分离构造函数，根据的性质，即可判断A；求导得，结合即可判断B；构造函数，利用导数求解的范围，即可判断C，根据与的大小关系结合的单调性即可判断D．
【详解】对于A，由等价于，
令，
令，得，令，得，
所以在单调递增；在单调递减，
当时，取极大值，
当；当时，，，
则，故A正确．
对于B，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因为，则，所以在单调递增，故B错误；
对于C，由A可知，当时，，
当时，
令，
，
，
，
在上单调递增，，
，则，
又，，
又在上单调递增，，
，，
综上，故C错误；
对于D，在单调递增，在上单调递减，且，
，
，，
，，
，故D正确，
故选：AD．
三、填空题
13．函数y＝lg5(x2＋2x－3)的单调递增区间是 ．
【答案】(1，＋∞)
【分析】根据复合函数的单调性“同增异减”法则计算即可.
【详解】由题意，函数满足，解得或，
即函数的定义域为，
令，
则函数在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
再根据复合函数的单调性“同增异减”法则，可得函数 的单调递增区间是 ；
故答案为： .
14．在的展开式中，的系数是 ．
【答案】160
【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
15．下列3个函数：①；②；③；其中最小正周期为的偶函数的编号为 .
【答案】①②
【分析】利用偶函数的定义判断各函数的奇偶性，再结合周期函数的定义判断各函数的周期，由此确定符合要求的函数的编号.
【详解】记，则函数的定义域为，且
，所以为偶函数，
因为，所以为函数的周期，
若为函数的周期，则，，矛盾，所以为函数的最小正周期，所以函数满足要求，
记，则，函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，又函数的最小正周期为，所以函数满足要求，
记，则，所以函数的定义域为，且，函数不满足要求，
故答案为：①②.
四、双空题
16．若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果，数列为牛顿数列，设，且，则 ；数列的前项和为，则 .
【答案】
【分析】（1）由定义可得，从而，
得出是以为首项，公比为2的等比数列，从而可求得；
（2）由等比数列前项和公式即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
，
则，，
则有，
则，
所以是以为首项，公比为2的等比数列，
所以，所以，
解得：.
（2），所以.
故答案为：；.
五、解答题
17．已知数列是等差数列，数列是等比数列，且,记数列的前项和为，数列的前项和为.
(1)若，求序数的值；
(2)若数列的公差， 求数列的公比及.
【答案】（1）；（2），.
【分析】（1）先设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，再由通项公式，得到，即可求出结果；
（2）先由题意求出，得到等比数列的公比，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得：；
又，所以，即，解得：；
（2）因为数列的公差，，
所以；
因此等比数列的公比为，
所以其前项和为.
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的综合，熟记通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求B；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；
（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
（2）解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
19．如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且是棱上一点.
(1)若平面，证明：是的中点.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，且O为的中点，则E是的中点；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，列出与相关的方程，解出即可.
【详解】（1）证明：如图，连接交于点O，连接，
因为是正方形，所以O是的中点，
又平面，平面，平面平面，
所以，
因为O为的中点，所以E是的中点.
（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
设（），设，，,
，则，
则，，，
由且，可知是平面的一个法向量.
设为平面的法向量，则，
即，取，，，则，
，解得，即.
20．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2022年的毕业生人数及自主创业人数(单位：千人)，得到如下表格：
(1)已知y与t具有较强的线性相关关系，求y关于t的回归直线方程；
(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．若该市E大学2022年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；
参考公式：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分为:,.
【答案】(1)
(2)万元
【分析】（1）首先求，再根据参考公式求,，即可求得回归直线方程；
（2）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额.
【详解】（1）由题意可得，
，
，
，
y关于t的回归直线方程.
（2）当时，代入，可得，
故市政府要给E大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额万元.
21．已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据点的个数可得基本量的关系，再根据距离的最大值可求基本量，从而可求椭圆的方程；
（2）设直线上动点的坐标为，则可求直线的方程为，联立直线方程和椭圆方程后可求，故可求其范围.
【详解】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，
动点到焦点的距离的最大值为，可得，即，
所以椭圆的方程是.
（2）圆的方程为，设直线上动点的坐标为.
设，连接OA，
因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线平行，
若，则，故，
故直线的方程为：，
整理得到：；
当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，
满足.
故直线的方程为，同理直线的方程为，
又在直线和上，即，
故直线的方程为.
联立，消去得，
设，．
则，
从而
，
又，从而，所以.
22．已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最值．
【答案】(1)
(2)最大值为 ，最小值为.
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解作答.
（2）利用（1）的函数解析式，利用函数在区间上的单调性，即可求解作答.
【详解】（1）依题意，，切点在切线上，则，
，
而的图象在点处的切线斜率为，，解得得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，，由得或，
当时，或，有，，有，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，，
所以在上的最大值为 ，最小值为.
A大学
B大学
C大学
D大学
当年毕业人数t(千人)
3
4
5
6
自主创业人数y(千人)
0.1
0.2
0.4
0.5