2024届黑龙江省双鸭山市第一中学高三上学期开学考试数学试题含答案

2024届黑龙江省双鸭山市第一中学高三上学期开学考试数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则等于

A． B．或

C． D．

【答案】B

【分析】求解集合，按照补集的运算求出，计算交集即可.

【详解】解：或，，∴或，则或.

故选：B．

2．若，则“”是 “”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.

【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.

【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.

3．函数的零点位于区间（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据连续函数满足，，由此可得函数的零点所在的区间.

【详解】解：函数是连续单调增函数，

，，

所以，

可得，

，

，

.

故函数的零点位于区间内，

故选：D.

4．为了得到的图象，可以将函数的图象（    ）

A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

B．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

C．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度

D．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度

【答案】D

【分析】根据函数解析式判断图象平移过程即可.

【详解】将每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变得，

再向左平移个单位长度得.

故选：D

5．已知点在幂函数的图象上，则函数的单调减区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由幂函数的性质求得，把点的坐标代入幂函数解析式求得，再由复合函数的单调性求解.

【详解】因为是幂函数，所以，则，

又点在幂函数的图象上，所以，得，

函数化为.

令，由，得，

因为外函数为定义域内的减函数，

而内函数的对称轴为，且在上为增函数，

所以函数的单调减区间为.

故选：A.

6．已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由题干条件可知，函数表示以4为周期的周期函数，又因为为奇函数，所以，根据周期性和对称性将所求转到内求值，即可比较大小.

【详解】由题意得，因为，则，

所以函数表示以4为周期的周期函数，

又因为为奇函数，所以，

所以，，

，

所以.

故选：B.

7．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若函数为偶函数，则

A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称

C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递增

【答案】D

【解析】根据题意结合平移变换得，又函数为偶函数得，再结合三角函数的图像和性质逐一判定即可.

【详解】解：由题意得的图象向左平移个单位长度后得到函数

若函数为偶函数，则

因为，所以，所以

对于A，最小正周期，错误；

对于B，，错误；

对于C，，错误；

对于D，令得，

所以函数在上单调递增，正确；

故选：D.

【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:

（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角(或)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；

（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.

8．已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.

【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以.

故选：D.

二、多选题

9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，，，则有两解

C．若为钝角三角形，则

D．若，，则的面积是3

【答案】AB

【分析】利用正弦定理可以判断A正确；由正弦定理与三角形大角对大边的性质，可判断B正确；由余弦定理，可得C错误；由余弦定理和三角形面积公式可得D错误.

【详解】A.因为，由大角对大边得，

所以由正弦定理可得，故A正确.

B.由正弦定理得， ，

又，是锐角，，

所以角可以是锐角或者钝角，所以有两解，故B正确.

C.若为钝角三角形，若为钝角，为锐角，

则由余弦定理，此时，故C错误.

D.由余弦定理且，得；

又，所以；

又；故D错误.

故选：AB.

10．下列结论正确的是（    ）

A．当时，

B．当时，的最小值是5

C．当时，的最小值是2

D．设，，且，则的最小值是

【答案】AD

【分析】利用基本不等式研究最值即可做出判定，对于BC要注意正负的转化，对于D要注意常数的代换.

【详解】A选项：当时，，，当且仅当时等号成立， A选项正确；

B选项：当时，，则，

当且仅当即时等号成立，B选项错误；

C选项：当时，的最小值是2；

当时，的最大值是，

C选项错误；

D选项：当，，，

当且仅当时等号成立,D选项正确.

故选：AD.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 注意“一正二定三相等"的要求和灵活转化后利用基本不等式研究最值.

11．已知函数的部分图像如图所示，下列结论正确的是（    ）

A．的周期为

B．的图像关于点对称

C．将函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像

D．方程在上有3个不相等的实数根

【答案】ACD

【分析】根据图象，通过最值、最小正周期、代点，求得函数解析式，利用周期的定义、正弦函数的对称性、图象变换、三角函数运算，解得整体思想，可得答案.

【详解】由图象可知，，且，则，

，由，且，解得，

将代入，可得，

解得，由，则，

可得，

对于A，函数的最小正周期为，故A正确；

对于B，令，，故B错误；

对于C，由题意，平移后的函数解析式为，故C正确；

对于D，由方程，，，

则或，

化简可得或，

由，则或或，故D正确.

故选：ACD.

12．对于函数，下列说法正确的是（    ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．若方程有4个不等的实根，则

C．当时，

D．设，若对，，使得成立，则

【答案】BD

【分析】由函数定义域为且 可得A错误；因和都是偶函数，由对称性可知，只需要的图像与的图像有两个交点，考查的性质，可得B正确；考查的性质可得C错误；分别算出两函数的值域，由集合间的关系可得D正确.

【详解】A.，所以的定义域为且 ，故A错误

B. 如图所示

 因为偶函数，当时，考查函数的性质，

当时，，所以在上单调递减且，

当时，，所以在上单调递减且，

当时，，所以在上单调递增且，

所以当时，函数的极小值为

若方程有4个不等的实根，由偶函数的对称性可得，

当时有两个不等实数根，即与有两不同交点，

，即，故B正确

C.由B知，当时，，又，

所以，即，故C错误.

D.，当时，的值域为，

当时，由B知的值域为

若对，，使得成立，

 则，所以，即，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知扇形的面积为，该扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为          .

【答案】4

【分析】根据面积公式以及弧长公式即可求解.

【详解】设扇形的弧长为，半径为，

由已知可得，圆心角，面积，

所以有即

解得.

故答案为：4.

14．曲线在点处的切线与直线平行，则          .

【答案】/

【分析】由题意可得，从而可求出的值.

【详解】由，得，

因为曲线在点处的切线与直线平行，

所以，得，

故答案为：

15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度          ．

【答案】

【分析】根据已知，利用正弦定理以及直角三角形的性质计算求解.

【详解】  

如图，在中，，，所以，

又，由正弦定理有：，即，

解得，

又是直角三角形，且，所以，

所以此山的高度m.

故答案为：.

16．已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则        .

【答案】2023

【分析】根据题意分析可得，进而可得函数是以4为周期的周期函数，且，进而可得结果.

【详解】因为为偶函数，则，

又因为，则，，

即，可得，

因为为奇函数，则，且，

可得，即，则，

可得，

所以函数是以4为周期的周期函数，

由，可得，，

则，

即，

所以.

故答案为：2023.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．

四、解答题

17．（1）已知，，，求的值；

（2）已知，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、两角差的正弦公式求得正确答案.

（2）先求得，然后利用两角差的正弦公式求得正确答案.

【详解】（1）依题意，，

所以，

所以

.

（2）由两边平方得，

所以，所以，

由解得，

则

.

所以.

18．已知函数，若函数图象相邻两条对称轴间的距离是

(1)求及单调递减区间.

(2)若方程在上有解，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，单调递减区间为；

(2).

【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；

（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.

【详解】（1）因为，

又图象相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，

所以，则，所以，

令，解得，

所以函数单调递减区间为.

（2）由（1）知：，

因为，所以，则，

所以，要使在上有解，则.

19．设函数（且）是定义域为的奇函数．

（1）求实数的值．

（2）若，判断函数的单调性，并证明．

（3）在（2）的条件下，若对任意的，存在使得不等式成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）是上单调增函数，证明见解析；（3）.

【分析】（1）由函数是定义域为的奇函数，得到，即可求解；

（2）由（1）知函数，根据，得到，利用函数单调性的定义，即可求解；

（3）由，结合函数的性质，得的，转化为对任意的都成立，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数是定义域为的奇函数，

可得，即，解得，

此时函数，经检验是奇函数，所以.

（2）由（1）知函数，

因为，即，可得，

任意，且，

则

因为，且在上单调增函数，所以

又因为，所以，即，

所以是上单调增函数.

（3）由，可得，

因为函数为上奇函数，所以，

又因为是上单调增函数，所以，

即对任意的都成立，

只需

设函数，可得对称轴，

所以，所以，

因为存在，使得，只需，所以，

即实数的取值范围．

20．已知函数（）．

(1)若是函数的极值点，求在区间上的最值；

(2)求函数的单调增区间．

【答案】(1)最小值为，最大值为

(2)答案见解析

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数的单调区间，再计算区间端点函数值，即可求出函数的最值；

（2）求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调递增区间.

【详解】（1）解：因为，所以，

因为已知是函数的极值点．

所以是方程的根，

所以，故，经检验符合题意，    

所以，则，

所以当时，当时，

所以函数在上单调递减，在上单调递增；    

又，，，    

且，

所以在区间上的最小值为，

最大值为；

（2）解：，

所以，

因为，，

当时，令，解得或，

所以函数的单调增区间为，，    

当时，恒成立，所以函数的单调增区间为，    

当时，令，解得或，

所以函数的单调增区间为，，

综上可得，当时单调增区间为，；

当时单调增区间为；

当时单调增区间为，.

21．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答.问题：锐角的内角，，的对边分别为，，，已知______.

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）①②③中任选一个均先利用正弦定理边角互换，再利用三角恒等变换化简即可求解.

(2)由正弦定理，将表示为，由三角形的内角和为和辅助角公式将原式整理为，找出角的范围，从而得解.

【详解】（1）若选①，

，

∵；

若选②，，

∵；

若选③

∵，

而.

（2）因为，所以由正弦定理得：，

，

∵是锐角三角形，∴,

∴,

∴∴∴.

22．已知函数，.

(1)求函数的极值；

(2)若不等式在上恒成立，求a的取值范围；

(3)证明不等式：.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）对求导，借助的正负判断的单调性，进而求出的极值；

（2）不等式上恒成立，等价转化为，

然后分离参数得，设，求即可.

（3）由（2）知在上恒成立，令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证.

【详解】（1）由可得，此时单调递增；

由可得，此时单调递减；

所以当时，有极小值，极小值为，无极大值

（2）由不等式上恒成立，

得，

因为，，

所以在上恒成立                          

设，则，

由得

所以在上递减，在上递增，

所以即，

所以

（3）证明：由（2）得在上恒成立，

令，则有 ，                              

，

.

【点睛】关键点点睛：

本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题：

本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即在上恒成立，然后令，则有，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n项和公式求证.