2024届陕西省咸阳市旬邑县中学高三上学期开学检测数学（理）试题含答案

这是一份2024届陕西省咸阳市旬邑县中学高三上学期开学检测数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届陕西省咸阳市旬邑县中学高三上学期开学检测数学（理）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由对数函数的定义域可知集合，再求的，再由交集的定义即可求得.【详解】得即，因为，所以，则.故选：B.2．“”是“是幂函数”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.【详解】因为是幂函数，所以，解得或，故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.故选：A.3．已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：A． B． C． D．【答案】B【详解】可知: 命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题．【解析】命题的真假判断． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.【详解】∵函数的定义域为，即，可得，∴函数的定义域为，令，解得，故函数的定义域为.故选：B.5．函数的单调递增区间（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，结合函数的定义域，即可得出单调递增区间.【详解】由，可得或，所以函数的定义域为.求导可得，当时，，由函数定义域可知，，所以函数的单调递增区间是.故选：A.6．函数的零点所在区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零点存在性定理计算即可.【详解】由， 在 上均递减，所以在上递减，又，，所以零点所在区间为.故选：C．7．已知函数若，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数的单调性，即可求解.【详解】得，当以及时，均为单调递增函数，且当时，当时，因此为上的单调递增函数，由得，故选：D8．已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.【解析】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.9．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（    ）A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)【答案】A【解析】不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，然后求函数f（x）＝x2－4x－2在x∈(1，4)时的最大值即可【详解】解：不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f（x）＝x2－4x－2，x∈(1，4)，对称轴为所以f（x）＜f（4）＝－2，所以a＜－2．故选：A【点睛】此题考查不等式成立的条件，注意运用转化思想和二次函数的最值求法，考查计算能力，属于中档题.10．函数在区间上的图象大致为（    ）A．   B．   C．   D．    【答案】C【分析】根据奇偶性排除D，再取特值排除AB.【详解】因为，关于原点对称，，所以函数为奇函数，故D错误；因为，所以，所以，故A错误；因为，所以，所以，故B错误；故选：C.11．著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家，他曾言：勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.今天，我们可以用数学观点来对这句话重新诠释，我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是，一年后是；而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是，一年后是.可以计算得到，一年后的“进步”是“落后”的倍.那么，如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%，要使“进步”是“落后”的倍，大约需要经过（，）（    ）A．17天 B．19天 C．23天 D．25天【答案】C【分析】根据题意得，根据对数的运算性质即可求解.【详解】经过x天后，“进步”与“落后”的比，所以，两边取以为底的对数得，又，，所以，解得，所以大约经过天后，“进步”是“落后”的倍.故选：C.12．已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】方程有四个不同的实数根，即直线与曲线，作出函数图象，即转化为在有两个不等实根，可得答案.【详解】设，该直线恒过点，方程有四个不同的实数根如图作出函数的图象，结合函数图象，则，所以直线与曲线有两个不同的公共点，所以在有两个不等实根，令，实数满足，解得，所以实数的取值范围是.故选：D. 二、填空题13．已知集合，，若，则实数的取值范围为           .【答案】【分析】根据，分和，两种情况讨论求解.【详解】因为集合，，且，当时，则，解得，当时，则，解得，综上：，所以实数的取值范围为，故答案为：14．已知满足，则         .【答案】【分析】用换元法，用表示，得到方程组，解出即可．【详解】①，用表示，则②；②得：，，故答案为：.【点睛】本题考查求函数的解析式的问题，解题时的关键是利用换元法，列出方程组，是基础题．15．若函数的定义域为一切实数，则实数的取值范围是           ．【答案】【分析】根据题意可得对一切实数恒成立，分和两种情况，结合恒成立问题运算求解.【详解】由题意可得：对一切实数恒成立，当时，则对一切实数恒成立，符合题意；当时，则，解得；综上所述：，即实数的取值范围是.故答案为：.16．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则           ．【答案】0【分析】根据题意结合奇函数的定义分析可得是意为周期的周期函数，且，，利用周期性运算求解即可.【详解】因为，即，又因为是定义域为的奇函数，则，可得，所以是以4为周期的周期函数，且，，，可得，因为，所以.故答案为：0. 三、解答题17．计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)3 【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的定义及运算求解.【详解】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.18．在中，内角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求的面积.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由条件结合余弦定理可得，然后可得，然后得出即可；（Ⅱ）利用正弦定理求出角，然后可得出角，然后利用算出即可.【详解】（Ⅰ）由余弦定理得：，又因为，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以.（Ⅱ）由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以所以.【点睛】本题主要考查的是利用正余弦定理解三角形，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，，，分别为，的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）先过P作PO⊥AD，再通过平面几何知识计算得PO⊥BO，利用线面垂直判定定理得PO⊥平面ABCD，再根据面面垂直判定定理得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面ACE的一个法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.【详解】（1）过P作PO⊥AD，垂足为O，连结AO，BO，由∠PAD=120°，得∠PAO=60°，∴在Rt△PAO中，PO=PAsin∠PAO=2sin60°=2×=，∵∠BAO=120°，∴∠BAO=60°，AO=AO，∴△PAO≌△BAO，∴BO=PO=，∵E，F分别是PA，BD的中点，EF=，∴EF是△PBD的中位线，∴PB=2EF=2×=，∴PB2=PO2+BO2，∴PO⊥BO，∵AD∩BO=O，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．（2）以O为原点，OB为x轴，OD为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，1，0），P（0，0，），B（，0，0），D（0，3，0），∴E（0，），F（，），=（0，），=（，，0），易得平面ABCD的一个法向量=（0，0，1），设平面ACE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，-，1），设锐二面角的平面角的大小为θ，则cosθ=|cos＜＞|==，∴锐二面角E-AC-D的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查空间想象能力以及基本论证与求解能力，属中档题.20．某学校共有1000名学生参加知识竞赛，其中男生500人，为了解该校学生在知识竞赛中的情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，分数分布在分之间，根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.  (1)求的值，并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)现采用分层抽样的方式从分数落在，内的两组学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量，求的分布列及数学期望.【答案】(1)，平均数，中位数650，众数600(2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率和为1求的值，再结合平均数、中位数和众数的定义运算求解；（2）先根据分层抽样求各层人数，再结合超几何分布求分布列和期望.【详解】（1）由题意知，解得，所以每组的频率依次为，样本平均数，因为，所以中位数650，又因为的频率最大，所以众数为600．（2）由题意可得：从中抽取人，从中抽取人，则随机变量的所有可能取值有0，1，2，3．可知，即，所以随机变量的分布列为：0123随机变量的数学期望．21．已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点.(1)求点到直线的距离；(2)若直线的斜率为，且，求实数的值.【答案】(1)(2)或 【分析】（1）由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由题意可得，，的坐标，求出直线的方程，再求到直线的距离；（2）由题意设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，所以，整理可得的值．【详解】（1）椭圆：，则，，，所以，，，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离.（2）依题意直线的斜率存在，则直线的方程为，由，消去整理可得，则，即，且，，因为，所以，，，即，整理可得，即，即，整理可得，解得或，都符合，所以的值为或．  22．已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：；(3)证明：对任意的且，都有：.【答案】(1)见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所求得，结合放缩法和累加法即可证明.【详解】（1）函数定义域，，当时，恒成立，所以在单调递增；当时，令，得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时， 在单调递增；当时， 在单调递增，在单调递减.（2）当时，，要证明，即证，即证，设，则，令得，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以，即，故得证.（3）由（2）可得，（当且仅当时等号成立），令，，则，所以，即， 所以.【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，要善于运用转化法，整体代换转化进行放缩证明不等式.