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2024届福建省华安县第一中学高三上学期开学模拟数学试题含答案
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这是一份2024届福建省华安县第一中学高三上学期开学模拟数学试题含答案,共19页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2024届福建省华安县第一中学高三上学期开学模拟数学试题 一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】求出集合、,利用补集和交集的定义可求得集合.【详解】因为,。所以,或,因此,.故选:D.2.复数的共轭复数的模是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】利用复数的乘法整理复数的标准型,可得其共轭复数,利用模的计算公式,可得答案.【详解】,则复数的共轭复数为,故其模为.故选:B.3.已知圆截直线所得弦的长度为,则实数( )A. B. C. D.【答案】D【分析】先计算圆心到直线距离的表达式,再结合弦长公式求解即可.【详解】圆圆心为半径为 点到直线的距离为则弦长为,得解得故选:D.4.已知是奇函数,且当时,.若,则( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质,进行转化,建立方程进行求解即可.【详解】解:是奇函数,且当时,.若,,则,得,得,即,得,得,故选:.5.若向量满足,,,则与的夹角为( )A. B. C. D.【答案】C【分析】,求得,由即可求夹角.【详解】由题可知,,∴,∴向量与的夹角为.故选:C.6.若,则( )A. B. C. D.【答案】C【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系对已知式子化简可求得结果【详解】由,得,所以,因为,所以,,所以,所以,故选:C7.是数列的前项和,则“数列为常数列”是“数列为等差数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】首先看充分性,数列为常数列可以得到数列为等差数列,而数列为等差数列,举一反例即可证明数列不为常数列,即可得解.【详解】若数列为常数列,则是公差为的等差数列;若数列为等差数列,例如则数列不为常数列.故选:A.8.如图,在棱长为1的正方体中,M,N分别为的中点,P为正方体表面上的动点.下列叙述正确的是( )A.当点P在侧面上运动时,直线与平面所成角的最大值为B.当点P为棱的中点时,CN∥平面C.当点P在棱上时,点P到平面的距离的最小值为D.当点时,满足平面的点P共有2个【答案】C【分析】与不可能垂直,故选项A错误;平移与平面相交于一点,故选项B错误;利用体积相等即可求出点P到平面的距离的最小值为判断选项C,当点时,满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时,故判断选项D【详解】由于线面角的最大值为,与不可能垂直,故直线与平面所成角的最大值达不到.选项A错误;取的中点为,的中点为,连接,相交于点,连接,且故平面,面,故不能与平面平行,故选项B错误;到平面的距离始终为,故当点运动到点时,取得最小值为,故,,故,故选项C正确.当点时,满足平面的点P共有1个.当点为平面的中心时,故选项D错误故选:C. 二、多选题9.设是一个随机试验中的两个事件,且,则( )A. B.C. D.【答案】ACD【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可【详解】对于A,因为,,所以,所以A正确,对于B,因为,所以,所以,所以B错误,对于C,因为,所以,所以,,所以,所以C正确,对于D,因为,所以,所以,所以,所以D正确,故选:ACD10.已知函数,则下列结论正确的为( )A.的最小正周期为B.的图象关于对称C.的最小值为D.在区间上单调递增【答案】BC【分析】化简函数为,,结合大致图象判断各选项即可求解.【详解】函数,,大致图象如下: 由图可知,函数的最小正周期为,故A错误;函数的图象关于对称,故B正确;函数的最小值为,故C正确;函数在区间上单调递增,在上单调递减,故D错误.故选:BC.11.已知点、是双曲线的左、右焦点,以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为,若,则( )A.与双曲线的实轴长相等 B.的面积为C.双曲线的离心率为 D.直线是双曲线的一条渐近线【答案】BCD【分析】结合双曲线的定义和条件可得,然后,然后逐一判断即可.【详解】由双曲线的定义可得,因为,所以,故A错误;因为以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为,所以,所以的面积为,故B正确;由勾股定理得,即,所以,故C正确因为,所以,即所以双曲线的渐近线方程为:,即,即,故D正确故选:BCD12.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.则下列结论正确的是( ).A.当时,B.函数有五个零点C.若关于的方程有解,则实数的取值范围是D.对,恒成立【答案】AD【分析】根据函数是奇函数,求出时的解析式,可判断A;利用导数求出函数在上的单调区间及极值,再结合是奇函数,可作出函数在上的大致图象,从而可逐项判断B、C、D.【详解】设,则,所以,又函数是定义在上的奇函数,所以,所以,即故A正确.当时,,所以,令,解得,当时,;当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,故当时,函数取得极小值,当时,,又,故函数在仅有一个零点.当时,,所以函数在没有零点,所以函数在上仅有一个零点,函数是定义在上的奇函数,故函数在上仅有一个零点,又,故函数是定义在上有3个零点.故B错误.作出函数的大致图象,由图可知若关于的方程有解,则实数的取值范围是.故C错误.由图可知,对,故D正确.故选:AD.【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式;利用导数研究函数的单调性及最值;同时也考查函数的零点,综合性较强. 三、填空题13.已知展开式中各项的二项式系数和是64,则展开式中的常数项为 .【答案】【分析】先通过得到,再写出的展开式的通项,令的次数为即可得到常数项.【详解】由的展开式中,二项式系数之和为64得,,则的展开式的通式为,令,得所以展开式中常数项为.故答案为:.14.若函数的值域为,且满足,则的解析式可以是 .【答案】(答案不唯一)【分析】取,求出函数的值域,验证成立,即可得出结果.【详解】取函数,因为,则,即函数的值域为,因为,,则,所以,函数的解析式可以为.故答案为:(答案不唯一).15.有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为8%,第2台加工的次品率为3%,第3台加工的次品率为2%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的10%,40%,50%,从混放的零件中任取一个零件,如果该零件是次品,那么它是第3台车床加工出来的概率为 .【答案】【分析】利用贝叶斯公式即可求得答案.【详解】记事件:车床加工的零件为次品,记事件:第台车床加工的零件,则,,,,,,任取一个零件是次品的概率为如果该零件是次品,那么它是第3台车床加工出来的概率为.故答案为:.16.已知等差数列中,,记数列的前项和为,若,对任意的恒成立,则整数的最小值是 【答案】4【分析】将问题转化为恒成立,,将视为一个数列,通过相邻项比较寻找其单调性即可求解.【详解】由题意等差数列的公差 ,故,所以,由于,单调递减,,所以,从而,故答案为:4 四、解答题17.已知数列满足,.(1)证明:为等差数列;(2)设,求数列的前n项和.【答案】(1)证明过程见详解(2) 【分析】(1)由题意可得,再结合等差数列的定义即可证明结论;(2)结合(1)可得的通项公式,从而得到,再利用裂项相消求和即可.【详解】(1)因为数列满足,整理得,所以,又,所以是以1为首项,为公差的等差数列.(2)结合(1)可得,所以,则,所以18.如图,在四棱锥中,M为PD的中点,E为AM的中点,点F在线段PB上.(1)取DM中点G,设平面EFG与直线PC交于点H,再从以下两个条件中选择一个作为已知,求;条件①:;条件②:∥平面ABCD.(2)若平面底面ABCD,,,,,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)3(2) 【分析】(1)利用中位线的性质和三角形相似得到,,然后利用面面平行的判定定理得到平面∥平面,最后利用面面平行的性质定理得到,即可得到;(2)建立空间直角坐标系,然后利用向量的方法求二面角的余弦值即可.【详解】(1)条件①:连接,,在中,点和点分别为和的中点,∴,∵为中点,为中点,,∴,,∴,∵,平面,平面,∴∥平面,同理可的,∥平面,∵,平面,平面,∴平面∥平面,∵平面平面,平面平面,∴,∵,∴.条件②:在中,点和点分别为和的中点,∴,∵,平面,平面,∴∥平面,∵,平面,平面,∴平面∥平面,∵平面平面,平面平面,∴,∵,∴.(2)作交于,∵平面平面,,∴平面,如图,以为原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,∵,,∴,,,,,,,,,,设平面的法向量为,,令,则,,,设平面的法向量为,,令,则,,,设平面与平面的锐二面角为,∴.19.设的内角的对边分别为,且.(1)证明:;(2)若,且的面积为3,求的内切圆面积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】(1)根据正弦定理,利用边角互换的做题思想,结合三角形的三边关系,可得答案.(2)根据余弦定理,结合配方法,代入(1)的等量关系,建立方程,求得角的余弦,进而求得三角形周长,可得答案.【详解】(1),由正弦定理,得,,或若,则,显然不可能,,即,由正弦定理,得,又,.(2)(方法一)的面积为,即,由余弦定理,得,,,整理得,,且,,且,,且,,解得,设面积为,内切圆半径为,则,的内切圆面积为.(方法二)以中点为坐标原点,射线为轴正方向,的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系, 设,由(1)可知,且,点在焦距为,实轴长为的双曲线:的右支上,.的面积为,解得,代入双曲线方程,解得,或,易知,且,设面积为,内切圆半径为,则,的内切圆面积为.20.2022年北京冬奥会后,由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队,与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下:业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛,若甲连续赢两场则专业队获胜;若甲连续输两场则业余队获胜:若比赛三场还没有决出胜负,则视为平局,比赛结束.已知各场比赛相互独立,每场比赛都分出胜负,且甲与乙比赛,乙赢概率为;甲与丙比赛,丙赢的概率为p,其中.(1)若第一场比赛,业余队可以安排乙与甲进行比赛,也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率;若以获胜概率大为最优决策,问:业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛?(2)为了激励专业队和业余队,赛事组织规定:比赛结束时,胜队获奖金3万元,负队获奖金1.5万元;若平局,两队各获奖金1.8万元.在比赛前,已知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛,设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元,求X的数学期望的取值范围.【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛(2)的取值范围为:(单位:万元). 【分析】(1)分别求出第一场比赛,业余队安排乙与甲或丙与甲进行比赛业余队获胜的概率,比较两者的大小即可得出答案.(2)由已知万元或万元,分别求其对应的概率,得到分布列,求出,由,求出的取值范围.【详解】(1)第一场比赛,业余队安排乙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为:;第一场比赛,业余队安排丙与甲进行比赛,业余队获胜的概率为:,因为,所以,所以.所以,业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.(2)由已知万元或万元.由(1)知,业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时,业余队获胜的概率为,专业队获胜的概率为,所以,非平局的概率为,平局的概率为.的分布列为:的数学期望为(万元)而,所以的取值范围为:(单位:万元).21.已知椭圆的焦点在x轴上,且经过点,左顶点为D,右焦点为F.(1)求椭圆C的离心率和的面积;(2)已知直线与椭圆C交于A,B两点,过点B作直线的垂线,垂足为G,判断是否存在常数t,使得直线经过y轴上的定点?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1),的面积;(2)存在;.【分析】(1)根据点在椭圆上求出,进而求出,最后求出离心率及三角形的面积;(2)先根据两种特殊情况求出定点,从而可以获得,再证明实数时,使得直线经过y轴上定点.【详解】解:(1)依题意,,解得.因为,即,所以,,所以离心率,的面积.(2)由已知,直线的方程为,当时,直线的方程为,交y轴于点;当时,直线的方程为,交y轴于点.若直线经过y轴上定点,则,即,直线交y轴于点.下面证明存在实数,使得直线经过y轴上定点.联立消y整理,得,设,.则,.设点,所以直线的方程:.令,得.因为,所以.所以直线过定点.综上,存在实数,使得直线经过y轴上定点.【点睛】求定值问题常见的方法有两种:(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.22.已知函数.(1)若曲线与直线相切,求实数a的值(2)若函数有且只有1个零点,求a的取值范围.【答案】(1);(2)a的取值范围为或. 【分析】(1)根据导数的几何意义及点在切线上和曲线上,结合对数方程即可求解;(2)根据函数的零点的定义,利用导数法求函数的最值,结合函数的单调性进行讨论即可求解.【详解】(1)的定义域为且设的图像与直线相切于,则,所以,所以;(2)的定义域为且,当时,在上恒成立,所以在上单调递增,又,,所以函数在上存在唯一零点,满足要求;当;由及,得,由及,得所以在上单调递减,在上单调递增;所以当时,函数取最小值,最小值为,因为函数有且只有1个零点,所以,所以.综上所述,a的取值范围为或.【点睛】利用导数研究函数的零点,一般先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在性定理确定函数的零点区间或零点个数.
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