2024届河南省南阳市第一中学校高三上学期开学考试数学试题含答案

这是一份2024届河南省南阳市第一中学校高三上学期开学考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届河南省南阳市第一中学校高三上学期开学考试数学试题 一、单选题1．设全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用补集和并集的定义可求得集合.【详解】全集，集合，，则，因此，.故选：C.【点睛】本题考查补集和并集的混合运算，考查计算能力，属于基础题.2．在复平面中，复数（为虚数单位）对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用复数的除法化简所求复数，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为，该复数在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3．下列说法正确的是（  ）A．若，则B．若，则存在唯一实数使得C．若，，则D．与非零向量共线的单位向量为【答案】D【分析】对A，向量模相等，则向量相等或相反；对B，向量共线定理判断；对C，利用向量平行（或共线）的性质判断，对D利用非零向量的单位向量的求解方法求解.【详解】若，则或，所以选项A错误；若，此时 不存在，选项B错误；若，由，，不一定得到，选项C不正确；由向量为非零向量，根据单位向量的定义，选项D正确.故选：D.4．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦的二倍角公式即可求解.【详解】，故选：B.5．函数y＝f(x)是定义在实数集上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图像之间（   ）A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称【答案】C【分析】据复合函数的对称性与关于点对称可求得对称点，即可得到答案.【详解】据复合函数的对称性知函数与之间关于点，即中心对称故选：C6．“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，所以.所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.故选：A【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.7．已知，为两条不同直线，，为两个不同平面，则下列命题正确的是（    ）A．若，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则【答案】D【分析】利用线面位置关系的性质定理及判定定理直接判断即可.【详解】A选项：若，，则或与异面，A选项错误；B选项：若，，则或与相交或异面，B选项错误；C选项：若，，，则或与异面，C选项错误；D选项：若，，，则正确；故选：D.8．已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由分段函数的性质可知，应用诱导公式可得，即可求值.【详解】.故选：A 二、多选题9．下列求导数的运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据基本初等函数的导数和求导法则，逐一对各个选项分析判断即可得出结果.【详解】选项A，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项A正确；选项B，因为是常数，所以，选项B错误；选项C，根据基本初等函数及导数的求导法则知，，选项C正确；选项D，根据复合函数的求导法则知，，选项D错误.故选：AC.10．下列关于双曲线的结论中，正确的是（    ）A．离心率为 B．焦距为C．两条渐近线互相垂直 D．焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD【分析】根据双曲线的基本知识对选项一一验证即可.【详解】双曲线，可得，，，则双曲线的离线率为，故A正确；焦距，故B错误；渐近线为与，且斜率之积为-1，即两条渐近线互相垂直，故C正确；焦点到渐近线的距离为，故D正确；故选：ACD.11．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用赋值法判断A、C，两边求导再利用赋值法判断B、D；【详解】解：①，令则，故A正确，令则，故C正确；对①两边求导可得：②，令得，则，两式相减得所以，故D正确；对②两边求导可得：，令，可得，解得，故B错误．故选：ACD12．如图，为正方体，下面结论正确的是（    ）A．平面B．与平面所成的角的正弦值为C．平面D．异面直线与所成的角为【答案】ACD【分析】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法即可逐个证明.【详解】以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，为正方体，设边长为1，则，，，，，，，，对A，， ，又∵平面，∵平面，∴平面，A对；对B，，，，由得为平面的法向量，，故与平面所成的角的正弦值为，B错；对C，由B得，同理可证为平面的法向量，故平面，C对；对D，，，∴异面直线与所成的角的余弦值为，故所成角为，D对.故选：ACD 三、填空题13．抛物线的焦点的坐标为          .【答案】【分析】由抛物线的定义解出，依据抛物线开口方向定焦点坐标.【详解】抛物线，则即，抛物线开口向上，焦点为.故答案为：14．已知一组样本数据，，，，的方差为5，且满足，则样本数据的方差为            .【答案】9【分析】由条件可求原数据的平均数和方差的表达式，再求新数据的平均数和方差可得结论.【详解】因为，所以数据，，，，的平均数为，方差，由已知，数据的平均数，方差.故答案为：.15．函数的最大值为          .【答案】2【分析】求导，令，求出，得，再根据正弦函数的最值可得结果.【详解】因为，所以，，所以，的最大值为2.故答案为：. 四、双空题16．已知正项数列中，，，，则      ，      ．【答案】     2     【分析】先根据已知递推关系式列方程组，求得的值，然后将已知递推关系式化简、变形，得到数列是首项为，公比为2的等比数列，进而得到，最后利用累乘法求得．【详解】由，得，消去，得，则．由，得，又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，所以当时，，经检验当时上式也成立，所以．故答案为：；. 五、解答题17．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，且的平分线交于点．(1)求角(2)求线段AE的长【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理边角互化即可求解，（2）根据等面积法，结合面积公式即可求解.【详解】（1），，，，，．（2），,，，所以,由于，，则．  18．已知数列的前n项和为，且．(1)求数列的通项公式：(2)设，求数列的最大项．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先令，求出，然后利用，代入便可求的通项公式.（2）求导后分析单调性，便可知数列的最值.【详解】（1）解：由题意得：当时，当时，，解得故数列的通项公式（2）由（1）可知：设函数则令，解得，可知当时，，单调递增；当时，，单调递减；可以看成函数取正整数时的离散的点.因为为整数，故或，有为数列的最大值.故数列的最大项为：19．某商店为了吸引顾客，设计了两种摸球活动奖励方案．先制作一个不透明的盒子，里面放有形状大小完全相同的4个白球和2个红球．方案一：不放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满300元摸一次，最终根据顾客摸到的红球个数发放奖金，如表格所示．红球个数012奖金0元30元75元方案二：可放回地从盒子中逐个摸球，消费金额每满200元摸一次，每摸到一个红球奖励15元．（1）若顾客甲消费的金额为600元，且选择了方案一，求甲获得奖金数为30元的概率；（2）若顾客乙消费的金额为800元，但他可以在摸出第一个球后，根据所摸出球的颜色，再决定执行方案一或方案二继续摸球．请从奖金数期望最大的角度为顾客乙制定第一次摸球后的方案选择，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）获得30元的情况有两种：第一次抽红球、第二次抽白球；或者第一次抽白球、第二次抽红球.当然也可以理解为“从6个球里一次性抽2个球，一红一白的概率”.（2）第一次摸出的可能是红球、也可能是白球，需要分类讨论；根据第一次摸出的球，还需要分别讨论方案一、方案二并计算各自的期望，选出最优方案.【详解】（1）根据题意，甲可以不放回地摸2次球，记甲获得奖金数为，则．（2）若乙第一次摸出的球为红球，若选择方案一：乙还要摸球一次，乙摸出红球的概率是，白球的概率是，所以获得奖金数的期望为，若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．因此，选择方案一．若乙第一次摸出的球为白球，若选择方案一：乙还要摸球一次，乙获得奖金数的期望为，若选择方案二：乙还要摸球三次，根据题意，这三次乙摸到红球的个数服从二项分布，此时乙获得奖金数的期望为．因此，选择方案二．综上，乙第一次摸出的球为红球时，选择方案一；乙第一次摸出的球为白球时，选择方案二.【点睛】二项分布：有放回抽样，每次抽取的概率是一样的，n次独立重复试验.超几何分布：不放回抽样，每次抽取概率不一样.20．已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数m的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；（2）求出函数的导函数，即可得到方程两根为，列出韦达定理，即可表示出，设，则，令，，利用导数说明函数的单调性，再结合的范围求出的方程，从而求出的范围，即可得解.【详解】（1）因为，所以，所以切线斜率为，又，切点为，所以曲线在处的切线方程为（2）∵，∴，若，则恒成立，而，所以两根为，∴，，，∵，设，则，令，，则，∴在上单调递减；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴当时，，∴，即实数的最大值为【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21．如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为.（1）证明：；（2）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为？【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1) 取中点，证明⊥平面，即可证明.(2)建立空间直角坐标系，找出直线与平面所成角，根据直线与平面所成角的正弦值，求得直线与平面所成角.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，因为,则，又因为,则，， ⊥平面，平面，.（2）由(1)知，，二面角的平面角，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量为：，，得，令，则，又，设直线与平面所成角为，则，即，化简得，解得或，由题意可知，所以.【点睛】本题主要考查的是空间几何体的应用，线面垂直，线面角，二面角的应用，是难题.22．已知抛物线：（）和圆C：，点是上的动点，当直线的斜率为时，的面积为．(1)求抛物线的方程；(2)若、是轴上的动点，且圆是的内切圆，求面积的最小值．【答案】(1)(2)32 【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，解出点坐标，根据面积为，列式即可求得（2）设，，，利用与与圆相切，可以推出，，代面积的表达式，消元运用均值不等式即可求得最值【详解】（1）当直线的斜率为时，联立方程，解得，此时，解得，∴抛物线的方程为．（2）设，，，由题意知，则直线：，即．∵直线与圆相切，∴，∴同理可得：．∴、是方程的两个根，∴，，且恒成立，∴，∴，当且仅当时取等号，面积的最小值为32．