2023届四川省资中县第二中学高三上学期开学模拟数学（理）试题含答案

2023届四川省资中县第二中学高三上学期开学模拟数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】化简集合B，再利用交集的定义求解.

【详解】由题得，

所以.

故选：B

2．下列点不在直线 (t为参数)上的是(　　)

A．(－1，2) B．(2，－1)

C．(3，－2) D．(－3，2)

【答案】D

【分析】先求出直线l的普通方程，再把点的坐标代入检验，满足则在直线l上，否则不在.

【详解】直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.

故答案为D

【点睛】(1)本题主要考查参数方程和普通方程的互化，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 参数方程消参常用的方法有三种:加减消参、代入消参、恒等式消参法.

3．已知向量，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合题意整理可得，再代入二倍角的正切公式运算求解．

【详解】由题意可得：，整理得，即

∴

故选：C．

4．已知命题；命题在中，若，则.则下列复合命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断命题的真假性，由此求得正确答案.

【详解】对于命题，，所以为真命题.

对于命题，当时，，所以为假命题.

所以、、为假命题，为真命题.

故选：D

5．已知直线 （ 为参数）与圆 （  为参数）相切，则直线的倾斜角为（    ）.

A．或 B．或 C．或 D．或

【答案】A

【详解】将直线 代入方程得.

由题意有，

.又，从面，或.

6．设均为正数,且,则的最小值为( )

A．1 B．3 C．6 D．9

【答案】D

【分析】由题意结合均值不等式的结论得到关于的不等式，求解不等式即可确定的最小值.

【详解】均为正数,且,所以,整理得,

由基本不等式可得,整理可得,

解得或 (舍去).

据此可得，当且仅当时等号成立.

即的最小值为9.

本题选择D选项.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

7．已知函数y＝f（x＋1）定义域是[－2，3]，则y＝f（x－2）的定义域是（　　）

A．[1，6] B．[－1，4] C．[－3，2] D．[－2，3]

【答案】A

【分析】根据定义域的定义求解即可.

【详解】由题意知，－2≤x≤3，∴－1≤x＋1≤4，

∴－1≤x－2≤4，得1≤x≤6，

即y＝f（x－2）的定义域为[1，6]；

故选：A.

8．等比数列中，，，则与的等比中项为（    ）

A．4 B．－4 C． D．

【答案】C

【分析】已知，，由等比数列的通项求出与，再由等比中项的定义代入即可得出答案.

【详解】由题意得，，

∴与的等比中项为．

故选：C.

9．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数在上单调递增，且，从而得到，，，，，，，，再分类讨论解不等式即可.

【详解】因为奇函数在上单调递增，定义域为，，

所以函数在上单调递增，且.

所以，，，，

，，，.

因为，

当时，，即或，

解得.

当时，符合题意.

当时，，或，

解得.

综上：或.

故选：A

10．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.

【详解】因为，，，所以构造函数，

因为，由有：，

由有：，所以在上单调递减，

因为，，,

因为，所以，故A，B，D错误.

故选：C.

11．若，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.

【详解】因为．所以，解得，

于是．

故选：C.

12．已知数列的前项和为，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据作差可得，再由，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得.

【详解】解：因为，，

当时，

当时，所以，即，所以，

又，所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以.

故选：A

二、填空题

13．若函数的定义域为，则实数的取值范围是           .

【答案】

【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，对任意的，恒成立.

①当时，则有，合乎题意；

②当时，由题意可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

14．已知函数，若，则实数的取值范围为      .

【答案】或

【分析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】令，对任意的，，

故函数的定义域为，

因为，

则，所以，函数为奇函数，

当时，令，由于函数和在上均为减函数，

故函数在上也为减函数，

因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，

所以，函数在上也为减函数，

因为函数在上连续，则在上为减函数，

由可得，即，

所以，，即，解得或.

故答案为：或.

15．若直线的极坐标方程为，曲线上的点到直线的距离为，则的最大值为        ．

【答案】/

【分析】先把直线和曲线的极坐标方程化成直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解.

【详解】由得，

所以直线的直角坐标方程为.

由两边平方得，

所以曲线表示圆心在原点，半径为的圆.

圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线的距离的最大值为.

故答案为：

16．已知a,b,c,d∈(0,+∞),且S          .

【答案】(1,2).

【分析】分别将分母扩大、缩小，即可得到结论．

【详解】∵a，b，c，d都是正数，

∴S=+++＞+++==1；

S=+++＜+++=2

∴1＜S＜2．

故答案为（1，2）

【点睛】放缩法经常采用的技巧有：（1)舍去一些正项（或负项） ， （2）在和或积中换大（或换小）某些项 ， （3）扩大（或缩小）分式的分子（或分母）等等．

三、解答题

17．已知数列{an}为等差数列，且

(1)求数列{}的通项公式：

(2)令，求数列{}的前n项和.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用等差数列的性质可得，进而即得；

（2）利用裂项相消法即得.

【详解】（1）因为，

所以，又，

所以公差，

所以；

（2）因为，

所以

18．在中，内角所对的边分别为.已知，.

(1)求；

(2)若，求的周长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理角化边即可求得，由此可得；

（2）利用正弦定理角化边可求得，利用余弦定理可构造方程求得，由此可得周长.

【详解】（1）由正弦定理得：，，又，.

（2）由正弦定理得：，解得：，

由余弦定理得：，；

的周长为.

19．设，已知函数过点，且函数的对称轴为.

(1)求函数的表达式；

(2)若，函数的最大值为，最小值为，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】根据函数过点及二次函数的对称轴，得到方程组，解得、即可求出函数解析式；

（2）将函数配成顶点式，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最值.

【详解】（1）解：依题意，解得，所以；

（2）解：由（1）可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

所以，，

即、，所以.

20．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：

（1）；

（2）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）利用将所证不等式可变为证明：，利用基本不等式可证得，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得，再次利用基本不等式可将式转化为，在取等条件一致的情况下，可得结论.

【详解】（1）    

当且仅当时取等号

，即：

（2），当且仅当时取等号

又，，（当且仅当时等号同时成立）

又    

【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.

21．直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，为锐角，且.

（1）求曲线的极坐标方程及直线的直角坐标方程；

（2）设为曲线与轴正半轴的交点，求点到直线的距离.

【答案】（1）；；（2）.

【解析】（1）将曲线消去参数，可得普通方程，利用，可得曲线的极坐标方程；直线过原点，且斜率为，可得出的直角坐标方程；

（2）令，求出的值，点到直线的距离为，代入已知求值即可．

【详解】（1）由曲线，消参得，

∴，

∴曲线的极坐标方程为.

直线过原点，斜率为，

∴直线的直线坐标方程为.

（2）∵为曲线与轴正半轴的交点，

∴时，，得的值为2，

又得，∴点到直线的距离为.

【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，考查极坐标系下点线距的应用，属于中档题．

22．设函数，．

(1)求函数的值域；

(2)设函数，若对，，，求正实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)由题可得，利用基本不等式可求函数的值域；

(2)由题可求函数在上的值域，由题可知函数在上的值域包含于函数在上的值域，由此可求正实数a的取值范围．

【详解】（1）∵，又，，

∴，当且仅当，即时取等号，

所以，

即函数的值域为．

（2）∵，

设，因为，所以，函数在上单调递增，

∴，即，

设时，函数的值域为A．由题意知，

∵函数，函数图象的对称轴为，

当，即时，函数在上递增，

则，即，

∴，

当时，即时，函数在上的最大值为，中的较大者，

而且，不合题意，

当，即时，函数在上递减，

则，即，满足条件的a不存在，

综上，．