2023届黑龙江省绥化市海伦市第二中学高三上学期期中数学试题含答案

2023届黑龙江省绥化市海伦市第二中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．复数（是虚数单位）的虚部是（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.

【详解】由题意可知，，

所以复数的虚部为.

故选：A.

2．已知是公差为d的等差数列，为其前n项和．若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】C

【解析】根据是公差为d的等差数列，且，利用等差数列的前n项和公式求解.

【详解】因为是公差为d的等差数列，且，

所以，

解得，

故选：C

3．已知直线，点和点，若，则实数的值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【解析】求出直线的斜率，根据直线平行的斜率关系得出实数的值.

【详解】，由于，则直线的斜率为

即，

故选：B

4．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【分析】利用数量积的定义，即可求解.

【详解】解：,所以,即，

解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，

故选：A.

5．已知两条直线，与两个平面，，下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】D

【分析】A.利用线面的位置关系判断；B.利用线面的位置关系判断； C.利用直线与直线的位置关系判断； D.由，过l作平面，有，利用线面平行的性质定理得到得到，再利用面面垂直的判定定理判断.

【详解】A.若，，则或相交，故错误；

B.若，，则或，故错误；

C.若，，则，l，m相交或异面，故错误；

D.若，过l作平面，有，则，

因为，所以，又，则，故正确.

故选：D

6．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，，从而根据二倍角公式求得结果.

【详解】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为，

所以，

所以.因为，，

则解得，，

故.

故选：B.

7．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性及函数的零点可判断为奇函数，且存在零点为，为非奇非偶函数，为偶函数，不存在零点，故得解．

【详解】对于选项A：为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符；

对于选项B：为非奇非偶函数，与题意不符；

对于选项C：为偶函数，与题意不符；

对于选项D：不存在零点，与题意不符，故选A．

【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的零点，熟练掌握常见初等函数的性质是解题的关键，属于简单题．

8．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．

【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直．

∴双曲线的渐近线方程为，

∴，得，，

此时，离心率．

故选C．

【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．

二、多选题

9．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是

C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】BD

【分析】根据共线向量的坐标表示可知A错误；

根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；

利用向量夹角公式计算可知C错误；

根据法向量的求法可知D正确.

【详解】对于A，，，可知，与不共线，A错误；

对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；

对于C，，，

即和夹角的余弦值为，C错误；

对于D，设平面的法向量，

则，令，解得：，，，

即平面的一个法向量为，D正确.

故选：BD.

10．已知点在圆上，点、，则（    ）

A．点到直线的距离小于

B．点到直线的距离大于

C．当最小时，

D．当最大时，

【答案】ACD

【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.

【详解】圆的圆心为，半径为，

直线的方程为，即，

圆心到直线的距离为，

所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误；

如下图所示：

当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知，

，，由勾股定理可得，CD选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是.

11．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（    ）

A．PB⊥BC

B．PD⊥CD

C．PD⊥BD

D．PA⊥BD

【答案】ABD

【分析】由矩形，得，若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故不正确．

【详解】解：矩形，矩形，

，故正确．

若，则平面，

又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，

故不正确，故不正确；

矩形，

，，

平面，，故正确；

矩形，

由三垂线定理得，故正确；

故选：．

12．已知函数，则（    ）

A．的极大值为 B．的极大值为

C．曲线在处的切线方程为 D．曲线在处的切线方程为

【答案】BD

【分析】首先求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值，再求出、，再利用点斜式求出切线方程；

【详解】解：因为，所以，所以当或时，当时，

所以在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，故A错误，B正确；因为.所以曲线在处的切线方程为，即，故C错误，D正确；

故选：BD

三、填空题

13．若，则的最小值是           .

【答案】

【分析】由，结合基本不等式即可.

【详解】因为，所以，

所以，

当且仅当即时，取等号成立.

故的最小值为，

故答案为：

14．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则      .

【答案】6

【分析】利用等差数列前项和的性质，将项的比转化为和的比值.

【详解】由已知得，，

令n=5，则，，

所以，

故答案为：6.

15．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于A，B两点，若钝角的面积为，则实数a的值是      ．

【答案】/

【分析】由钝角的面积为，求得，得到，进而求得圆心到直线的距离为1，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解．

【详解】解：由圆，即，

可得圆心坐标为，半径为，

因为钝角的面积为，可得，

解得，因为，所以，

可得，

设圆心到直线的距离为，又由圆的弦长公式，可得，解得，

根据点到直线的距离公式，解得．

故答案为：．

16．函数的极大值与极小值分别为和，则    ．

【答案】

【分析】利用导数求得的极值，从而求得正确答案.

【详解】，

在区间递增；在区间递减.

所以是的极大值，即，

是的极小值，即，

所以.

故答案为：

四、解答题

17．在中，角 的对边分别为，且角 成等差数列.

（Ⅰ）若，求边 的值；

（Ⅱ）设，求 的最大值.

【答案】（I）；（II）．

【详解】试题分析：（I）由成等差数列求得的值，再由余弦定理求得的值；（II）因为，利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得的最大值.

试题解析：（Ⅰ）因为角成等差数列，所以，

因为，所以.…………………………2分

因为，，

所以，

所以或（舍去）.

（Ⅱ）因为，

所以

.

因为，所以，

所以当，即时，有最大值.

【解析】三角函数的基本性质.

18．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，.数列满足，，且为等差数列.

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ），，.（Ⅱ），.

【分析】(Ⅰ)设公比为,公差为,再利用基本量法求解即可.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再用分组与等差等比数列求和的方法即可.

【详解】解：(Ⅰ)设等比数列的公比为,等差数列的公差为.

因为,,所以.

解得或（舍）.  

又因为,,成等差数列,

所以.

解得.

所以,,.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.

因此数列的前项和为,

所以,数列的前项和为,.

【点睛】本题主要考查了基本量求解数列的方法,同时也考查了等比等差数列求和的公式等.属于中档题.

19．已知圆的方程为．

（1）求过点且与圆相切的直线的方程；

（2）直线过点，且与圆交于，两点，若，求直线的方程．

【答案】（1）或；（2）或．

【分析】（1）分直线斜率不存在和存在，根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案；

（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，结合（1）可知直线的斜率一定存在，设直线的方程为，根据圆心到直线的距离列出方程，从而可得答案.

【详解】解：（1）根据题意，点在圆外，分两种情况讨论：

当直线的斜率不存在时，过点的直线方程是，与圆：相切，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线方程为，即，

直线与圆相切时，圆心到直线的距离为，解得．

此时，直线的方程为．

所以满足条件的直线的方程是或；

（2）根据题意，若，则圆心到直线的距离，

结合（1）知直线的斜率一定存在．

设直线的方程为，即，则，解得或．

所以满足条件的直线方程是或．

20．如图，在长方体，，，点在上，且.

(1)求直线与所成角的余弦值；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，表示出向量，利用向量的夹角公式代入计算即可得两直线所成的角；（2）由（1）表示出，    求解平面的法向量为，又因为平面的一个法向量为，代入向量的夹角公式计算，再由图可判断二面角的平面角为锐角，即可得余弦值.

【详解】（1）以为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，

所以，所以.

所以直线与所成角的余弦值为.

（2）因为.

设平面的法向量为，则

得，显然是平面的一个法向量.

因为，由图可知二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

21．已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．

(1)求椭圆C的焦距；

(2)若，求椭圆C的方程．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）设出直线方程，利用点到直线距离公式得到，求出椭圆焦距；

（2）联立直线方程和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据向量的线性关系得到，代入两根之和，两根之积，求出，求出椭圆方程.

【详解】（1）由题意知直线l的方程为．

因为到直线l的距离为，所以，解得：，

所以椭圆C的焦距为2．

（2）由（1）知直线l的方程为，设，，

联立方程组消去x得，

所以，．

因为，所以，

所以，，

消去得，

解得：，从而，

所以椭圆C的方程为．

22．已知函数满足，.

（1）若在上恒成立，求a，c，d的值；

（2）已知曲线在处的切线与曲线相切，求a的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）求导，代入，，联立可得，从而在R上恒成立，利用二次函数的性质列出不等式，控制范围即得解；

（2）结合（1）可求出在处的切线为，设其与的切点为，可得在处的切线方程为，则，求解即可

【详解】（1）由题意可知，

，，

即.

从而，在R上恒成立，

若，不恒成立；

，解得，.

综上，可，.

（2）由（1）知，，，

曲线在处的切线方程为.①

设直线与曲线相切于点，

，曲线在点处的切线方程为，

即.②

由①②得，

解得，.