2023届宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高三上学期期中数学（理）试题含答案

2023届宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学高三上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出集合后可求.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2．若，是方程的两个根，则（    ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

【答案】A

【分析】结合一元二次方程根与系数的关系、两角和的正切公式计算即可.

【详解】由于，是方程的两个根，

所以，

所以.

故选：A

3．函数的零点所在的区间是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数的性质可得而且，利用零点存在定理可得结果.

【详解】因为函数在上单调递增且连续，

而，

，

即，

所以，函数的零点所在的区间是，故选C.

【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于中档题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.

4． “” 是“ ”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】判断“” 和“ ”之间的逻辑推理关系，可得答案.

【详解】由可得，则，

即“” 是“ ”的充分条件，

当时，成立，但推不出，

故“” 是“ ”充分不必要条件，

故选:B

5．已知，，则（    ）

A． B．

C．​ D．

【答案】B

【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解.

【详解】​​，即​，

​，

​，​，即​，

则​，

故选：B

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误.

【详解】设，

则，

故为奇函数，故C,D错误；

而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误，

故选：A

7．在中，，是其中线，且，，则（    ）

A． B．8 C． D．4

【答案】B

【分析】由题意，根据三角形的性质，结合向量的加法几何意义以及数量积的运算律，可得答案.

【详解】由题意，，．

故选：B．

8．函数（且）在一个周期内的图象如图所示，将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．1 C．－1 D．

【答案】A

【分析】由图象得的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数的解析式，即可求.

【详解】解：由图象可知，则．由，得．

则．

∵点在函数图象上，∴，∴，．

∵，∴.

∴函数解析式为．

将函数图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度，得．

故．

故选:A．

9．已知函数是R上的奇函数，当时，，若，是自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】依题意根据奇函数的性质得到，即可得到，代入函数解析求出，最后根据计算可得；

【详解】解：依题意得，，由，即，得，所以当时，所以.

故选：D

10．在中，E为上一点，，P为上任一点，若，则的最小值是（    ）

A． B． C．6 D．12

【答案】D

【分析】利用向量共线定理可得，再根据结合基本不等式即可得出答案．

【详解】解：，

，

三点共线，

，

，

当且仅当，时取等号，

所以的最小值是12.

故选：D．

11．已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】由函数的图像关于点对称得到，结合是偶函数得到，进一步得到的周期是4，再利用周期性计算即可得到答案.

【详解】因为是上的偶函数，所以，

又的图象关于点对称，则，

所以，则，得，

即，所以是周期函数，且周期，

由时，，则，，，，

则，

则.

故选：C

12．设函数，已知在上单调递增，则在上的零点最多有（    ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】A

【分析】先求出函数的单调区间，根据题意得出参数的范围，设，则，由，得出函数在上的零点情况出答案.

【详解】由，，得，，

取，可得.若在上单词递增，则，

解得.若，则.

设，则，因为

所以函数在上的零点最多有2个.

所以在上的零点最多有2个.

故选：A

二、填空题

13．设为单位向量，且，则              .

【答案】

【分析】整理已知可得：，再利用为单位向量即可求得，对变形可得：，问题得解.

【详解】因为为单位向量，所以

所以

解得：

所以

故答案为：

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

14．已知函数在R上单调递增，则m的最小值为           .

【答案】1

【分析】根据题意，由在R上恒成立求解.

【详解】因为函数在R上单调递增，

所以在R上恒成立，

即在R上恒成立，

所以.

故答案为：1

15．已知函数，若，则实数的取值范围是          

【答案】

【分析】先得到函数的奇偶性和单调性，从而得到不等式，求出解集.

【详解】定义域为R，且，

故为奇函数，所以，

又在R上单调递减，

所以，即，解得，

故答案为：

16．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，若S为的面积，则的最小值为      .

【答案】

【分析】应用正弦定理边角关系、和角正弦公式可得，根据三角形性质有，再应用余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式求目标式的最小值，注意取最小值的条件.

【详解】由题设及正弦定理边角关系，，

即，而，故，

又，则，故，

而，，

所以，当且仅当时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：

三、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；

(2)求函数在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)最小正周期为，；

(2)，

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据余弦函数的性质即得；

（2）根据三角函数的性质即得.

【详解】（1）因为

，

∴最小正周期为，

由，得，

的单调递增区间为；

（2）因为，

，

，

当，即时，；

当，即时，．

18．在锐角中，，_________.

(1)求角；

(2)求的周长的取值范围.

在①，且；②；③，.在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解.

【答案】(1)条件选择见解析，.

(2).

【分析】（1）选①条件直接使用向量的数量积公式，计算即可. 选②条件利用正弦定理“边化角”得到和差公式，计算即可.选③条件利用和差公式拆开后合并，再使用辅助角公式得到，代入，得到答案.

（2）由（1）可知，再利用正弦定理和三角恒等变换求出周长的取值范围；

【详解】（1）①因为，，

所以，

所以，.

②因为

则

所以

所以

所以，.

③因为，，

所以，

所以，

由，得，

所以或，

因为是锐角三角形，所以.

（2）由正弦定理，，

即，因为，所以,

利用诱导公式得 ，得，

所以，

所以，

所以，因为是锐角三角形，，

所以,得,故，所以.

综上所述的周长为.

19．将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．已知的部分图象如图所示，且．

（1）求的解析式；

（2）设函数，求在上的值域．

【答案】（1）；（2）．

【分析】(1）根据三角函数的变换可得，分别求出A，，，可得函数的解析式;

(2）求出函数h (x）的解析式，根据三角函数的图象和性质即可求出值域.

【详解】（1）由题可知，．

由图可知，．

因为，

所以．

则

因为，，

所以．

故．

（2）由（1）知，则

．

因为，

所以，

所以，

故，

则的值域为．

【点睛】本题考查了三角形函数的图象的变换和三角恒等变换和三角函数的性质，属于中档题.

20．已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)设，证明：当时，．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求定义域，再求导可得，分和两种情况讨论和的解集即可；

（2）先将问题转化为证明，又因为，所以，所以．构造函数，用导数求其最值即可求解

【详解】（1）的定义域为，．

当时，令，得，令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减；

当时，令，得，令，得，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）当时，要证，只需证，

即证，即证．

因为，所以，

所以．

设，则．

易得在上单调递增，又，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故，

所以当时，．

21．的内角，，的对边分别为，，，且，．

(1)若 ，求的面积

(2)试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由．

【答案】(1)；

(2)不成立，理由见解析

【分析】(1)根据条件先算出 ，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出 的面积；

(2)运用反证法，先假设 能成立，再运用余弦定理和基本不等式推出悖论即可.

【详解】（1）由，可得，

所以 ，即 ，

又因为 ，所以 ，

因为 ，所以，

所以 ；

（2）假设能成立，所以，

由余弦定理，得 ，

所以，所以，

故，解得或舍，

此时，不满足，

所以假设不成立，故不成立；

综上， ，不成立.

22．已知．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)判断函数的零点个数；

(3)证明：当时，．

【答案】(1)

(2)1个

(3)证明见解析

【分析】（1）由函数在某点处的切线方程求解，先求导求斜率，再求切点，可得答案；

（2）由（1）可得导数，再次求导，研究导数的单调性，进的得到函数的单调性，可得答案；

（3）将所正的问题转化为，分和讨论，分别利用导数研究函数的单调性、最值，进而得出证明即可.

【详解】（1）由，则，

即切线方程的斜率，，

则切线方程为.

（2）由（1）可知，令，则，

故函数在上单调递增，由（1）可知，，

则当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增.

故，则函数存在唯一零点，零点为.

（3）要证，即证：，

①当时，，而，所以不等式成立；

②当时，，由（1）知时，，所以，则，

所以只需证，令，则，

所以在上单调递减，所以，即，

故只需证，即证：，

令，则，，

单调递增，故，故单调递增，即，故，

综上所述，在时成立.

【点睛】用导数研究函数的零点个数问题，需要明确函数的单调区间，在每一个单调区间上利用零点存在性定理可得解决零点的问题；在利用导数证明不等式时，面对含有三角函数和对数函数、指数函数的，利用放缩法简化不等式是解决问题的常用方法.