2023届黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学高三上学期期末数学试题含答案

这是一份2023届黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学高三上学期期末数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届黑龙江省鸡西市鸡东县第二中学高三上学期期末数学试题 一、单选题1．已知集合，，则集合的元素个数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意结合一元二次不等式求集合A，再利用集合的交集运算求解.【详解】∵，∴，即集合的元素个数为3.故选：C.2．若，设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得结果.【详解】，所以.故选：B.3．已知O为坐标原点，，则（    ）A．的最小值为 B．的最大值为C．的最小值为1 D．的最大值为2【答案】D【分析】首先根据向量的几何意义判断点的轨迹，再利用数形结合，以及向量数量积的几何意义，判断选项.【详解】由，可得点A的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，根据向量减法的几何意义，由，可得点B的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，如图所示．当点B在坐标原点位置时，取最小值0，A选项错误；当点B在直线与圆A的交点位置且不是原点时，取最大值2，B选项错误；根据向量数量积的几何意义，当点B在坐标原点位置时，在方向上的投影取最小值0，此时取最小值0，C选项错误，当点B在直线与圆A的交点位置且不是原点时，在方向上的投影取最大值2，此时取最大值2， D选项正确．故选:D4．已知等差数列的公差不为且成等比数列，则下列选项中错误的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得等差数列的通项公式以及前项和，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等差数列的公差为，由于成等比数列，所以，，，解得或（舍去）.所以.所以，A选项正确.，由于，所以，B选项正确.，，所以C选项正确，D选项错误.故选：D5．“四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，将《大学》《论语》捆绑和《周易》看作两个元素，采用插空法排列，根据分步乘法计数原理，可得答案.【详解】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，故总共有种排法，故选：C.6．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为： ，输出的函数值在区间 内 ，必有当时，，当 时 ， ，即得 ．故选∶C．7．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（    ）A．15天 B．17天 C．19天 D．21天【答案】B【分析】设大约用x天，根据题意得到，利用对数运算求解.【详解】解：设大约用x天，“进步”的是“退步”的1000倍，由题意得，即，所以，故选：B8．已知，是双曲线的左、右焦点，，是双曲线的左、右顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得到，，过点作轴，垂足为，求得，将点代入的方程，求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由，可得，因为，所以，，过点作轴，垂足为，则，，即，又由点在过且斜率为的直线上，可得的方程为，代入点的坐标，可得，整理得，即，所以双曲线的离心率为.故选：B. 二、多选题9．下列命题中是假命题的有（    ）A．函数的最小值为2B．若，则C．不等式对任意恒成立，则实数的范围是D．若，则【答案】ACD【解析】A.取判断；B.解不等式判断；C由时判断；D取时判断.【详解】A.当时, ,故错误；B.因为，解得,故正确；C当时，不等式显然恒成立，故错误；D当时，，故错误．故选：ACD．10．函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．B．若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数C．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数D．，若恒成立，则a的范围为【答案】ACD【解析】对A，由函数图像即可算出函数的周期，由，即可求出；再代入一个最高点即可求出函数的解析式；对B、C，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值.【详解】对A，由题意知：，所以，，，，即，（），（），又，，，所以A正确 ；对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，，，在上不单调递增，故B错误；对C，把的图像向左平移个单位，则所得函数为：，是奇函数，故C正确；对D，对，恒成立，即，恒成立，令，，则，，，，，故D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为，最大值为，最小值为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或的形式． 三、单选题11．如图，在正方体中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是（    ）A．平面B．C．直线AE与所成角的范围为D．二面角的大小为【答案】C【分析】由平面平面，平面，即可判断A；建立空间直角坐标系计算即可判断选项B；求的范围即可判断选项C；先找出二面角的平面角为即可判断选项D，进而可得正确选项．【详解】对于选项A：因为平面平面，平面，所以平面，故选项A正确；如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，，，，，对于选项B：，，因为，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，，设直线与所成角为，则，当时最大等于，此时最小为，当时最小等于0，此时最大为，所以，即直线与所成角的范围为，故选项C不正确；对于选项D：二面角即二面角，因为，，平面，平面，所以即为二面角的平面角，在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项D正确，故选：C. 四、多选题12．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为F，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ）A． B．C． D．与之间的距离为4【答案】ABC【分析】由抛物线的光学性质可知，直线经过点，于是根据二级结论可判断选项A；点与均在直线上，于是可求出点的坐标，再结合可得点的坐标，然后利用斜率公式即可判断选项B；根据抛物线的定义可知，，可判断选项C；由于与平行，所以与之间的距离，可判断选项D．【详解】如图所示，由抛物线的光学性质可知，直线过焦点，，即选项A正确；由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，，即选项B正确；由抛物线的定义可知，，即选项C正确；与平行，与之间的距离，即选项D错误；故选：ABC【点睛】本题考查抛物线的定义与性质，直线与抛物线的位置关系等，考查学生灵活运用知识的能力和作图分析问题的能力，属于中档题． 五、填空题13．在的展开式中，常数项为         ．（用数字作答）【答案】【分析】先求出的展开式中的常数项和含的系数，再求的常数项.【详解】由题得的通项为，令，即得的常数项为,令，无整数解，即展开式中不含的项，所以的常数项为.故答案为：14．已知，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是                 ．【答案】【详解】试题分析：因为向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以且，解之得：【解析】向量夹角及坐标运算.15．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，，是椭圆的任意两点，四边形是平行四边形，且，则椭圆的离心率的取值范围是        ．【答案】【分析】四边形是平行四边形分析可得，，再根据可得，结合及运算求解.【详解】因为四边形是平行四边形，则且∴，则若，即所以，即，同除以可得：，解得．因为，所以．故答案为：.16．关于的不等式的解集为，则的最大值是         ．【答案】/【分析】设是函数上的任意一点，进而求得点处切线方程，根据切线放缩得，进而将问题转化为在恒成立，再结合一次函数性质得且，进而得且，进而得，，再结合换元法求函数的最大值即可.【详解】解：关于的不等式的解集为，所以，在恒成立，设是函数上的任意一点，则，所以，函数在点处的切线方程为，即，令，则，当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即；当时，时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即；所以，，所以，在恒成立，即在恒成立，所以，且，所以，恒成立，且，所以，且，所以，， 令，则，令，则，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，所以，的最大值是.故答案为： 六、解答题17．年四川持续出现高温天气，导致电力供应紧张．某市电力局在保证居民生活用电的前提下，尽量合理利用资源，保障企业生产．为了解电力资源分配情况，在8月初，分别对该市A区和区各10个企业7月的供电量与需求量的比值进行统计，结果用茎叶图表示如图． 不受影响受影响合计A区   B区   合计   (1)求区企业7月的供电量与需求量的比值的中位数；(2)当供电量与需求量的比值小于时，生产要受到影响，统计茎叶图中的数据，填写2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为生产受到影响与企业所在区有关？附：【答案】(1)0.86；(2)2×2列联表见解析，没有95%的把握. 【分析】（1）根据茎叶图中数据及中位数的概念直接计算得解；（2）由茎叶图判定不受影响、受影响的企业数，据此列出2×2列联表，计算得出结论.【详解】（1）A区供电量与需求量的比值由小到大排列，第5个数，第6个数分别为，所以所求中位数为；（2）2×2列联表： 不受影响受影响合计区7310区4610合计11920没有95%的把握认为生产有影响与企业所在区有关.18．的内角所对边分别为，，，已知，.(1)若，求的周长；(2)若边的中点为，求中线的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意利用正弦定理角化边整理可得，结合题意求，即可得周长；（2）根据，结合向量模的运算与余弦定理化简整理得，根据（1）中的结论结合基本不等式运算求解.【详解】（1）∵，由正弦定理可得：，则，若，则，解得，故的周长.（2）∵，∴，由（1）可得：，即，∵，当且仅当时，等号成立，∴，则，故，则，所以的最大值为.19．在①；②；③，，成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：数列是各项均为正数的等比数列，前n项和为，且______．(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，(2) 【分析】（1）选①，利用及得出数列的递推关系求得公比，从而得通项公式；选②，利用基本量法求得公比后可得通项公式；选③，利用基本量法及及等差数列的性质求得公比后可得通项公式；（2）求出，然后分类讨论，分组求和．【详解】（1）设等比数列的公比为．选①当时，，∴，∴，∴，又∵，∴．选②∵，，∴，∵解得，∴．选③由题意得，∴，∴，即，∵，∴，∴；（2），当n为偶数时，，当n为奇数时，，综上，．20．如图1，在边长为4的菱形中，，点分别是边，的中点，.沿将翻折到的位置，连接，得到如图2所示的五棱锥.(1)在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；(2)当四棱锥体积最大时，求点到面的距离；(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】(1)总有平面平面，证明详见解析(2)(3)存在，是的中点，理由见解析. 【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得点到平面的距离.（3）利用平面与平面所成角的余弦值来列方程，从而求得点的位置.【详解】（1）折叠前，因为四边形是菱形，所以，由于分别是边，的中点，所以，所以，折叠过程中，平面，所以平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）当平面平面时，四棱锥体积最大，由于平面平面，平面，，所以平面，由于平面，所以，由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知，设平面的法向量为，则，故可设，所以到平面的距离为.（3）存在，理由如下：，，设，则，平面的法向量为，，设平面的法向量为，则，故可设，设平面与平面所成角为，由于平面与平面所成角的余弦值为，所以，解得或（舍去），所以当是的中点时，平面与平面所成角的余弦值为.21．已知函数（）.(1)，求证：；(2)证明：.()【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【分析】（1）先证，令，利用导数判断函数单调性，即可证明；再证，令，利用其导数判断其单调性即可证明；（2）l利用（1）的结论，可得，从而将原不等式转化为，继而转化为证，即证；由此构造函数，利用其导数判断单调性即可证明.【详解】（1）先证，令，此时，故，所以在上单调递增，所以，即.再证，令，，，在上单调递增，故，即，综合以上可得时，；（2）由（1）可知，，要证，只需证，即证，即证；，要证，即证令，则，在上单调递增，，，所以在区间上存在零点，则时，，时，，故在上单调递减，上单调递增，而，，由于 ，,故，故，所以时，，故当时，成立，当时，也成立，所以，得证，则成立.【点睛】关键点点睛：证明不等式的关键在于利用时， ，从而将原不等式转化为证明.22．已知双曲线(，)的两条渐近线互相垂直，且过点．(1)求双曲线C的方程；(2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两点，直线m过x轴上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别交于M，N(M，N不在坐标轴上)两点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐标．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由题意可得，，解方程求出的值即可求解；（2）依题意，可得，，，从而利用和所表示的点的坐标，同理利用和所表示的点的坐标，将整理为关于的方程，由对于任意的恒成立列出等价条件即可得解.【详解】（1）由可得渐近线方程为：，因为两条渐近线互相垂直，所以，可得，又因为，解得：，所以双曲线的方程为.（2）设，，，，    由（1）知：，设直线，的斜率分别为，因为三点共线，所以，即，因为直线过轴上一点（异于点），且与直线的倾斜角互补，所以，即，所以，由可得，所以，同理可得，因为直线，的斜率之积为定值，设定值为，则，整理可得：，其中，因为上式对任意的都成立，所以，可得，，所以点的坐标为.【点睛】思路点睛：破解此类解析几何题的关键：一是“图形”引路，一般需画出草图，把已知条件翻译到图形中；二是“转化”搭桥，即利用斜率，联立方程等，将问题代数化，一般运算量较大.