2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试题含答案

这是一份2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届辽宁省朝阳市高三上学期期末数学试题 一、单选题1．已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，即可得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：，所以，则在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D2．已知集合，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合，然后利用交集的定义即可求解.【详解】集合，，由交集的定义可得：.故选：.3．已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，侧面均为腰长为的等腰梯形，则该四棱台的表面积为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】计算出四棱台侧面的高，再利用梯形和正方形的面积公式可求得该四棱台的表面积.【详解】设在正四棱台中，取侧面，则，，，如下图所示：分别过点、在侧面内作，，垂足分别为、，因为，，，所以，，，因为，，，故四边形为矩形，故，所以，，，因此，该四棱台的表面积为.故选：C.4．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，即可求出，再由两角和的正切公式计算可得.【详解】解：因为，所以，解得，所以.故选：B5．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为A，若AF的倾斜角为150°，则（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】画出图形，得到，从而求出，进而求出，利用焦半径公式求出.【详解】由题意得：，准线方程为，设准线与轴交于点K，，故，因为AF的倾斜角为150°，所以，故，即，故，解得：，所以.故选：C6．已知小郭、小张和小陆三名同学同时独立地解答一道概率试题，每人均有的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，则在三人中至少有两人解答正确的条件下，小陆同学解答不正确的概率为，由条件概率计算公式可得答案.【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A，“小陆同学解答不正确”为事件B，则，，则.故选：C7．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（    ）A．13 B．14 C．15 D．16【答案】C【分析】首先可得，即可得到时，，时，，再根据下标和性质得到，，，，即可得到，从而得解.【详解】解：因为，所以公比，则，时，，时，，又，所以，，，，则，又当时，，所以能使不等式成立的最大正整数是．故选：C．8．已知函数，若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数在区间上有两个零点，可以求得的取值范围，以及的值，代入构造新的函数，求导讨论函数的单调性，即可求得新构造函数的值域.【详解】因为函数在区间上有两个零点，即在区间上有两个交点，如图所示：则的取值范围是，又两个零点为，所以令，则，，，则令，，，，因为的取值范围是，所以在的范围内单调递增，，所以在恒成立，即在上单调递增，又，则的取值范围是.故选：D 二、多选题9．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】依题意可得，即可判断A、B、C，再根据指数函数的性质判断D.【详解】解：因为，所以，则，所以，故A正确；则，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；由，则，所以，故D正确；故选：ABD10．已知函数，则（    ）A．的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象B．的图象与的图象关于y轴对称C．的单调递减区间为D．在上有3个零点，则实数a的取值范围是【答案】ABC【分析】根据三角恒等变换求出，根据三角函数的图象性质即可求解.【详解】，所以，对于A，的图象向右平移个单位长度后得到函数，即，A正确；对于B，，B正确；对于C，由解得，所以函数的单调递减区间为，C正确；因为所以因为在上有3个零点，所以，解得，D错误，故选:ABC.11．已知点在直线上，点在圆上，则下列说法正确的是（    ）A．点到的最大距离为B．若被圆所截得的弦长最大，则C．若为圆的切线，则的取值范围为D．若点也在圆上，则到的距离的最大值为【答案】ABD【分析】求出圆心到直线距离的最大值，可求得到的最大距离，可判断A选项的正误；将圆心的坐标代入直线的方程，求出的值，可判断B选项的正误；利用圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线的距离公式求出的值，可判断C选项的正误；分析可知当直线与圆相切，求出到的距离的最大值，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由题意可知，直线过定点，圆的圆心为原点，半径为，设圆心到直线的距离为.当时，，当与直线不垂直时，.综上所述，，所以，点到的最大距离为，A对；对于B选项，若被圆所截得的弦长最大，则直线过圆心，可得，所以，B对；对于C选项，若为圆的切线，则，解得，C错；对于D选项，若也在圆上，则直线与圆相切或相交，当直线与圆相切时，到的距离取最大值，D对.故选：ABD.12．将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（    ）A．若，则这样的数列共有360个B．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有288个C．若该数列恰好先减后增，则这样的数列共有50个D．若，则这样的数列共有71个【答案】AD【分析】根据对称性可得，即可判断A，对于B：则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，即可判断B，对于C：对的位置分类讨论，对于D，分、、三种情况讨论.【详解】解：对于A：由于为奇数，根据对称性可知这样的数列有个，故A正确；对于B：若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列只能是“奇、偶、奇、偶、奇、偶、奇”，则有个，故B错误；对于C：从1，2，3，4，5，6中选出个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出2个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出3个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出4个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；从1，2，3，4，5，6中选出5个数排在的右侧，其余排在的左侧，得到先减后增的数列有个；故满足条件的总个数为：个，故C错误．对于D：若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，若则这样的数列有个，所以满足条件的这样的数列共有个，故D正确；故选：AD 三、填空题13．已知向量，若，则        ．【答案】【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，求出的值，即可得到、的坐标，再求出，最后根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，且，所以，解得，所以，，则，所以.故答案为：14．若，则         ．【答案】/【分析】根据题意，由指对数的相互转化，以及指数运算即可得到结果.【详解】因为，即，所以即故答案为:15．已知点分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且满足，则该椭圆的离心率是        ．【答案】【分析】设，则，利用勾股定理可求得，再利用椭圆的定义可得出，求出、，利用勾股定理结合离心率公式可求得结果.【详解】如下图所示：设，则，因为，则，由椭圆的定义可得，则，所以，，则，由勾股定理可得，则，则，因此，该椭圆的离心率为.故答案为:16．如图，在棱长为4的正方体中，是的中点，点是侧面上的动点．且平面，则线段长度的取值范围是        ．【答案】【分析】取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质得到，即可得到平面，同理可证平面，从而证明平面平面，即可得到在线段上，再求出、，即可求出的取值范围.【详解】解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接、、、，根据正方体的性质可得，平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，又平面平面，且平面，平面，点是侧面上的动点，所以在线段上，又，所以，，，所以，则，所以线段长度的取值范围是.故答案为： 四、解答题17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角B的大小；(2)如图，若D是外接圆的劣弧AC上一点，且．求AD．【答案】(1)(2)2 【分析】(1)利用正弦定理边化角结合三角恒等变换即可求解；(2)利用余弦定理分别在和解三角形可求解.【详解】（1）由边化角可得，即，即，所以，因为，所以，所以，,所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，由圆的内接四边形的性质可知,在中，由余弦定理得，所以即，解得或（舍）.18．在等比数列中(1)求的通项公式；(2)设，求的前n项和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式运算求解；（2）根据题意可得：，利用并项求和运算求解.【详解】（1）由题意可得：，∵，则，解得或（舍去），∴的通项公式；（2）由（1）可得：，若为奇数，可得，则有：当为奇数时，则；当为偶数时，则；综上所述：.19．某地区2015年至2021年居民家庭人均存款y（单位：万元）数据如下表：年份2015201620172018201920202021年份代号x1234567人均存款y1.41.82.12.93.33.74.4变量x，y具有线性相关关系．(1)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年该地区居民家庭人均存款；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差为0，则称该数据为“完美数据”现从这些数据中随机抽取2个，设X为抽到的“完美数据”的个数，求X的分布列和数学期望．参考公式：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．【答案】(1)线性回归方程为，2022年该地区居民家庭人均存款预测为4.8万元；(2)分布列见解析，期望为． 【分析】（1）根据线性回归方程中系数的计算公式计算系数得回归方程，令代入回归方程可得预测值；（2）由回归方程确定“完美数据”有两个，得的可能值，计算出概率的分布列，再由期望公式计算期望．【详解】（1），，，，所以线性回归方程为，时，，即2022年该地区居民家庭人均存款预测为4.8万元；（2）由（1）知“完美数据”有两个，，因此可能值是，，，，的分布列为：012．20．如图，在三棱锥中，平面PAB，，，，.(1)求证：；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再利用勾股定理可得，从而可证得平面ABC，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）证明：∵平面PAB，平面PAB，∴，又，，，所以，∴，∵，AB，平面ABC，∴平面ABC，又平面ABC，∴；（2）解：以点B为坐标原点，BA，BP所在直线分别为y，z轴，以过点B平行于AC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，1，0），B（0，0，0），C（2，1，0），P（0，0，），则，，，，设平面PBC的法向量，则，令，则，，所以平面PBC的一个法向量，设平面PAC的法向量，同理可得平面PAC的一个法向量，则，由图易知二面角为锐角，∴二面角的余弦值为.21．如图，已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，，点P是C上异于左、右顶点的任意一点，记直线PA，PB的斜率分别为，且．(1)求C的方程；(2)若点M满足，记的面积分别为．试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)(2)为定值2 【分析】(1)根据求出，再利用运算结合双曲线方程得到 即可求解；(2)分别表示出以，的直线方程，进而联立确定坐标，即可求解.【详解】（1）依题意得，所以，解得，设，所以即所以所以，所以，所以双曲线方程为.（2）因为，，所以，所以的直线方程为的直线方程为由解得即的纵坐标为所以即为定值2.22．已知函数．(1)若在上恒成立，求实数a的值；(2)证明：当时，．【答案】(1)(2)证明过程见详解 【分析】(1)分，和三种情况讨论，当时，求导利用函数的单调性和最值进行求解即可；(2)结合（1）的结论，将不等式进行等价转化证明，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可证明.【详解】（1）当时，，当时，，不符合题意；当时，，又时，，不符合题意；当时，，令，解得：，令，解得：，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又因为，所以.（2）由(1)知：时，在上恒成立，即，所以当时，，即，又当时，，所以，所以要证，只需证，即证，令，则有，又，所以，所以在上恒成立，即在上单调递减，，所以当时，.【点睛】思路点睛：某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，有时可以构造一个函数，借助单调性进行求解.