北师大版数学八年级上册第七章平行线的证明　复习练习（含解析）

初中数学试卷 第七章平行线的证明

一、单选题

1．下列命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等.其中真命题是（　　） 

A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④

2．如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为(　　) 

A．65° B．85° C．95° D．115°

3．下列命题中，真命题是（　　）  

A．两个锐角的和一定是钝角 B．相等的角是对顶角

C．垂线段最短 D．带根号的数一定是无理数

4．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC＝90°，DE∥AC．有以下结论：

①FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B＝∠ADE；④∠CFG＋∠BDE＝90°．

其中正确的是(　　)

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

5．图，在同一平面内过点且平行于直线的直线有（　　）

A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条

6．下列说法中，正确的是（　　）

A．两点之间，直线最短

B．如果，那么余角的度数为

C．一个锐角的补角比这个角的余角大

D．若，则OC是的平分线

7．某个数值转换器的原理如图所示：若开始输入x的值是1，第1次输出的结果是4，第2次输出的结果是2，依次继续下去，则第2020次输出的结果是（　　） 

A．1010 B．4 C．2 D．1

8．如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（　　） 

A．30° B．40° C．50° D．60°

9．如图所示，下列条件中，不能判断AD∥BC的是（　　） 

A．∠1＝∠4 B．∠3＝∠4

C．∠2+∠3＝180° D．∠1+∠D＝180°

10．如图， ，点B和点C是对应顶点， ，记 ，当 时， 与 之间的数量关系为（　　） 

A． B．

C． D．

二、填空题

11．把命题：“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式是　                                     　．  

12．命题“同位角相等，两直线平行”的结论　           　。

13．按一定规律排列的单项式：x，，，，，……，第10个单项式是　     　．

14．如图，在 中，点D、E分别在 、 上， .若 ，则 　     　 . 

15．在⊿ABC中，若∠A＋∠B＝88º，则∠C= 　     　，这是　     　三角形。  

三、解答题

16．如图，已知 和 的边 和 在同一直线上， ，点 在直线 的两侧， ，判断 与 的数量关系和位置关系，并说明理由. 

17．如图，在△中，，垂足为，平分．已知 ；求的度数．

18．直线EF、GH之间有一个直角三角形ABC，其中∠BAC=90°，∠ABC=α。

（1）如图1，点A在直线EF上，B、C在直线GH上，若∠α=60°，∠FAC=30°。试说明：EF∥GH；

（2）将三角形ABC如图2放置，直线EF∥GH，点C、B分别在直线EF、GH上，且BC平分∠ABH。求∠ECA的度数；(用α的代数式表示)

（3）在(2)的前提下，直线CD平分∠FCA交直线GH于D，如图3，在α取不同数值时，∠BCD的大小是否发生变化？若不变求其值，若变化请求出变化的范围。

19．如图已知AB//CD，试探究∠A，∠APC，∠C的数量关系．

20．如果一个数等于它的不包括自身的所有因数之和，那么这个数就叫完全数.例如，6的不包括自身的所有因数为1，2，3，6=1+2+3，所以6是完全数.大约2200多年前，欧几里得提出:如果2n-1是质数，那么2n-1·（2n-1）是一个完全数，请你根据这个结论写出6之后的下一个完全数.

四、综合题

21．如图，AD，BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．

（1）求证：△ACB≌△BDA；

（2）若∠CAB=54°，求∠CAO的度数．

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：①对顶角相等，为真命题，

②内错角相等，只有两直线平行时，内错角才相等，此为假命题，

③根据平行线的性质可以判定，此为真命题，

④这个角还有可能互补，此为假命题，

①③命题正确，

故答案为：A.

【分析】①根据对顶角的性质“对顶角相等”可知命题式真命题；
②根据平行线的性质“两直线平行内错角相等”可知命题是假命题；
③根据平行线的传递性可判断求解；
④根据平行线的性质“ 如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补”可求解.

2．【答案】B

【解析】【解答】解：如图，

∵当∠AOB=65°时，a∥b，

∴旋转的最小角度为150°﹣65°=85°，

故选B．

【分析】根据同位角相等两直线平行可得当∠AOB=65°时，a∥b，进而算出答案．

3．【答案】C

【解析】【解答】解：A、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意；

C、垂线段最短，正确，是真命题，符合题意；

D、带根号的数不一定是无理数，如 ，故原命题错误，不符合题意，

故答案为：C．

【分析】根据锐角、对顶角、垂线段及无理数的定义即可依次判断．

4．【答案】C

【解析】【解答】解：①∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴FG∥AD，正确；
②∵DE∥AC，∴∠BDE=∠C，∠ADE=∠CAD，又∵∠C+∠CAD=90°，但∠C和∠CAD不一定相等，∴∠ADE和∠BDE不一定相等，错误；
③∵∠ADE+∠BDE=∠BDE+∠B=90°，∴∠B＝∠ADE，正确；
④由(1)得FG∥AD，∠CFG=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠BDE=∠C，∵∠C+∠CAD=90°，∴∠CFG＋∠BDE＝90°，正确．
综上， ①③④ 正确.
故答案为：C.

【分析】根据平行的推论得出FG∥AD；由平行线的性质得出∠BDE=∠C，∠ADE=∠CAD，推出∠C和∠CAD互余，则可判断②；根据同角的余角的相等求出∠B＝∠ADE，则可判断③；根据平行线的性质求出∠CFG=∠CAD，∠BDE=∠C，从而推出∠CFG＋∠BDE＝90°，即可判断④．

5．【答案】B

【解析】【解答】过点M且平行于直线a的直线只有1条．

故答案为：B．

【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行可得答案。

6．【答案】C

【解析】【解答】解：A、两点之间，线段最短，选项不符合题意；

B、，余角的度数为，选项不符合题意；

C、一个锐角的补角比这个角的余角大，选项符合题意；

D、若，射线在外，则不是的平分线，选项不符合题意．

故答案为：C．

【分析】根据真命题的定义逐项判断即可。

7．【答案】B

【解析】【解答】解：若输入x的值为1，则输出的数为：1+3=4；
若输入x的值为4，则输出的数为：4×=2；
若输入x的值为2，则输出的数为：2×=1；
若输入x的值为1，则输出的数为：1+3=4；
……
观察可得：输出的数以4、2、1进行循环.
∵2020÷3=673……1，
∴第2020次输出的数为4.

故答案为：B.

【分析】首先分别计算出第一次、第二次、第三次、第四次输出的值，得到输出的数以4、2、1进行循环，据此解答.

8．【答案】B

【解析】【解答】解：如图，

∵∠1+∠3=180°，

∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°

∵

∴∠2=∠3=40°.

故答案为：B.

【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.

9．【答案】A

【解析】【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），但不能判定AD∥BC；

B、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）；

C、∵∠2+∠3＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；

D、∵∠1+∠D＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；

故答案为：A.

【分析】A、∠1与∠4是直线DC,AB被BC所截的一对内错角，根据内错角相等，二直线平行得出AB∥CD，但不能判定AD∥BC,A符合题意；
B、∠3与∠4是直线DA,CB被BA所截的一对同位角，根据同位角相等，二直线平行得出AD∥CB，B不符合题意;
C、∠3与∠2是直线DA,CB被BA所截的一对同旁内角，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥CB，B不符合题意;
D、∠1与∠D是直线DA,CB被DC所截的一对同旁内角，根据同旁内角互补，二直线平行得出AD∥CB，B不符合题意，综上所述就可得出答案.

10．【答案】B

【解析】【解答】解：∵△AOB≌△ADC，

∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，

∴∠BAC=∠OAD=α，

在△ABC中，∠ABC= （180°-α），

∵BC∥OA，

∴∠OBC=180°-∠O=180°-90°=90°，

∴β+ （180°-α）=90°，

整理得，α=2β.

故答案为：B.

【分析】由全等三角形性质得AB=AC，∠BAO=∠CAD，则∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理及等腰三角形的性质得∠ABC=(180°-α)，由平行线的性质得∠OBC=90°，由∠OBC=∠ABC+∠ABO=90°进行解答.

11．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等

【解析】【解答】解：“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。
【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，然后将命题写成“如果……那么……”的形式即可。

12．【答案】两直线平行

【解析】【解答】解： 命题“同位角相等，两直线平行”的前提“同位角相等”，结论是“两直线平行”，
故答案为：两直线平行.

【分析】先分别找出命题的前提和结论即可作答.

13．【答案】-x28

【解析】【解答】解：∵x，-x4，x7，-x10，x13，…，

∴第n个单项式是（-1）n+1x3n-2，

当n=10时，第10个单项式是-x28，

故答案为：-x28．

【分析】观察规律可得出第n个单项式是（-1）n+1x3n-2，即可求得答案。

14．【答案】100

【解析】【解答】解：∵ ，

∴∠A=180°-40°-60°=80°，

∵ ，

∴ 180°-80°=100°.

故答案为：100.

【分析】首先由三角形内角和定理可得∠A的度数，然后根据平行线的性质求解即可.

15．【答案】92°；钝角

【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-88°=92°，故三角形是钝角三角形.故答案为：92°；钝角.
【分析】利用三角形的内角和为180°，求出∠C的度数，再根据∠C的度数，可得答案。

16．【答案】解：数量关系：AC＝DF.位置关系：AC∥DF 

∵BD＝CE

∴BD+CD＝CE+CD

即BC＝DE

又∵AB∥EF，

∴∠B＝∠E

在△ACB 和△FDE中

∴△ACB≌△FDE(AAS)

∴AC＝FD，∠ACB＝∠FDE

∴AC∥DF

【解析】【分析】只要证明△ACB≌△FDE(AAS)，推出AC＝FD，∠ACB＝∠FDE，推出AC∥DF．

17．【答案】解：∵ ，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∵，

∴．

【解析】【分析】根据垂直的概念可得∠ADB=90°，由余角的性质可得∠BAD=90°-∠B=20°，则∠BAE=∠BAD+∠EAD=42°，由角平分线的概念可得∠BAC=84°，然后根据内角和定理进行计算.

18．【答案】（1）证明：∵∠EAB=180°-∠BAC-∠FAC,∠BAC=90°,∠FAC=30°，  

∴∠EAB=60°，

 又∵∠ABC=60°，

∴∠EAB=∠ABC，

∴EF∥GH；

（2）解：经过点A作AM∥GH，  

 又∵EF∥GH，

∴AM∥EF∥GH,

∵BC平分∠ABH

∴∠ABC=∠CBH=a

∴∠MAB=180°-∠ABH=180°-2a

∴∠MAC=90°-(180°-2a)=2a-90°

∴∠ECA=∠MAC=2a-90°

（3）解：不发生变化，  

 由（2）得：∠ECA=2a-90°，

∴∠FCA=180°-（2a-90°）=270°-2a

∵CD平分∠FCA，

∴∠FCD=135°-a，

∵EF//GH

∴∠FCB+∠CBH=180°,

∴∠FCB=180°-a，

∴∠BCD=180°-a-（135°-a)=45

【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理，可进行判定。
（2）画出辅助线，通过平行线的性质，可得出度数。
（3）根据角平分线的性质，可得出变化的范围。

19．【答案】解：(1)作 ，如图所示，  

， ，

∴ ，

∴ ． ;(2)延长CP交AB于点N，

， ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

【解析】【分析】（1）作 ，根据平行线的性质进行求解即可；（2）延长CP交AB于点N，根据平行线的性质判断即可；

20．【答案】解：∵2n-1·（2n-1）是一个完全数，
∴n=2时，2n-1·（2n-1）=2×3=6，
∴下一个完全数是当n=3时，
即23-1·（23-1）=4×7=28，
故6之后的下一个完全数是28.

【解析】【分析】根据题中给出的公式2n-1·（2n-1），6是n=2时，将n=3代入公式计算即可得出答案.

21．【答案】（1）证明：∵∠D=∠C=90°，

∴△ABC和△BAD都是直角三角形，

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；

（2）解：在Rt△ABC中，∠CAB=54°，∠ACB=90°，

∴∠ABC=36°，

∵Rt△ABC≌Rt△BAD，

∴∠ABC=∠BAD=36°，

∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°．

【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△BAD即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠BAD=36°，再利用角的运算可得∠CAO=∠CAB-∠BAD=54°-36°=18°。