2024届福建省连城县第一中学高三上学期暑期月考（8月）数学试题含答案

2024届福建省连城县第一中学高三上学期暑期月考（8月）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

【分析】先求集合B，然后取交集即可.

【详解】因为，，所以．

故选：C

2．已知a=， b=， c=，则a，b，c的大小关系为（    ）

A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．b<c<a

【答案】A

【解析】根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小.

【详解】解：由函数在上单调递增，

所以，

由于函数在上单调递减，

所以，

由于函数在上单调递增，

所以，

故.

故选：A.

3．已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案.

【详解】由题意:命题是假命题,

其否定: 为真命题,

即，解得，

故选：B

4．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，为奇函数，且当时，，则（    ）

A． B． C．5 D．6

【答案】C

【分析】先求出，再求出即得解.

【详解】解：由已知，函数与函数互为反函数，则．

由题设，当时，，则．

因为为奇函数，所以.

故选：C．

5．函数在区间的图像大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，再计算时函数值的大小，进行排除即可求得答案．

【详解】，，

故为偶函数，故排除AC，

当时，，故排除D．

故选：B．

6．给定函数，，.用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ）

A． B．1 C．0 D．2

【答案】A

【分析】先把 写成分段函数的形式，再求其最大值即可.

【详解】令得 ，所以

当 时，，

当时，

综上所述，.

故选：A

7．已知定义在上的函数满足，①，② 为奇函数，③当时，恒成立.则、、的大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据单调性的定义可得在上单调递增，根据已知条件可得是周期为的奇函数，根据周期性和单调性即可求解.

【详解】由可得的周期为，

因为为奇函数，所以为奇函数，

因为时，，所以在上单调递增，

因为为奇函数，所以在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为，，

，

所以，即.

故选：C.

8．若正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】由题意可得，将展开利用基本不等式求得最小值，再解不等式即可求解.

【详解】若不等式有解，则

，

当且仅当即时，最小值为，

所以，即，所以，

解得：或，

故选：A.

二、多选题

9．下列命题中，错误的命题有（    ）

A．命题“，”的否定为“，”

B．函数与是同一个函数

C．函数的最小值为4

D．设函数，则在R上单调递增

【答案】BCD

【分析】利用命题的否定定义判断选项A；利用同一函数定义判断选项B；利用均值定理判断选项C；利用函数单调性定义否定选项D.

【详解】命题“，”的否定为“，”，

满足命题的否定形式，所以A正确；

函数定义域为R，函数的定义域为，

所以两个函数的定义域不相同，故两个函数不是相同函数.所以B不正确；

函数，

因为，所以，可知，

所以4不是函数最小值，所以C不正确；

设函数，由，

可知函数在R上不单调递增，所以D不正确；

故选：BCD.

10．下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】分别对各个选项进行运算验证即可得出结论.

【详解】对于A，函数满足，所以函数为奇函数，

由幂函数的性质可知，当时，函数在定义域内单调递增，故A正确；

对于B，函数满足，所以函数为奇函数，

由导数的四则运算法则可知，

因为，所以，

所以函数在单调递增，故B正确；

对于C,当时，，当时，，

因为，故在不是单调递增，故C错误；

对于D，函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数；

当时，函数，令，

因为在上单调递增，在上单调递增，

由复合函数的单调性可知函数，在上单调递增，故D正确.

故选：ABD.

11．若，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】A．利用对数函数的单调性进行判断；B．利用幂函数的单调性进行判断；C．利用作差法进行判断；D．利用作差法进行判断.

【详解】A．因为在上单调递减，所以，故错误；

B．因为在上单调递增，所以，故正确；

C．因为，所以，故正确；

D．因为，且无法确定正负，故错误；

故选：BC.

12．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的有（    ）

A． B．必为奇函数

C． D．若，则

【答案】BCD

【分析】赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C；利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.

【详解】对于A，令，则由可得，

故或，故A错误；

对于B，当时，令，则，则，

故，函数既是奇函数又是偶函数；

当时，令，则，所以，

则，即，则为奇函数，

综合以上可知必为奇函数，B正确；

对于C，令 ，则，故.

由于,令,即，即有，故C正确；

对于D，若，令 ，则，则 ，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

令，则，即，

由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，

故，故D正确，

故选：BCD.

三、填空题

13．函数的定义域为      ．

【答案】

【分析】直接根据题意列出不等式即可.

【详解】由题意得，则定义域为，

故答案为：.

14．若函数为奇函数.则           .

【答案】4

【分析】由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,计算即可求得的值.

【详解】由题意,的定义域为,

是奇函数,则,

故,

即，

整理得,

解得.

故答案为：

15．已知，则的最大值为         ．

【答案】2

【分析】根据均值不等式求最值即可得解.

【详解】因为，由基本不等式得，

即，当且仅当，时取等号．

则，

因此的最大值是2．

故答案为：2

16．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是             ．

【答案】

【分析】利用导数法，作出函数的大致图象，令，或，由没有解，得到的解的个数与方程解的个数相等求解.

【详解】解：当时，，所以，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

且，，，

当时，，当时，，

当时，与一次函数相比，函数增长更快，

从而，

当时，，所以，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

且，，

当时，，当时，，

当时，与对数函数相比，一次函数增长更快，

从而

当，且时，，

根据以上信息，可作出函数的大致图象：

令，

得或，由图象可得没有解，

所以方程的解的个数与方程解的个数相等，

而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，

由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点．

故答案为：

四、解答题

17．设实数满足，其中；实数满足．

(1)若为真，求实数的取值范围；

(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式即可得出的取值范围；

（2）解不等式，根据题意可得出集合的包含关系，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：若命题为真命题，解不等式，可得.

（2）解：因为，解不等式可得，

因为是的必要不充分条件，则，

所以，，解得.

当时，则有，合乎题意；

当时，则有，合乎题意.

故实数的取值范围是.

18．从“①，；②方程有两个实数根，；③，”这三个条件中任意选择一个，补充到下面横线处，并解答.

已知函数为二次函数，，，____________.

(1)求函数的解析式；

(2)若不等式对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围.

注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设，由题意可得，，选①：由可得的对称轴，运算求解；选②：结合韦达定理运算求解；选③：结合题意理解可得可得的对称轴，运算求解；（2）由题意可得：对恒成立，结合一元二次不等式定义在实数集上的恒成立运算求解.

【详解】（1）设，因为，所以.

因为，所以.

若选择①：

∵，，所以的图象的对称轴方程为，即，所以，

所以，，

故.

若选择②：

因为方程的两根为且，所以，即，

所以，，

所以.

若选择③：

∵，，即，

所以的图象的对称轴方程为且，所以，即，

所以，

所以.

（2）由（1）知，所以，

即对一切实数x恒成立，

等价于对恒成立，

所以，解得，

故k的取值范围为.

19．已知（且），且.

(1)求a的值及的定义域；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据求出参数的值，即可得到函数解析式，再根据对数的真数大于零得到不等式组，即可求出函数的定义域；

（2）由（1）可得，设，，根据二次函数的性质求出的取值范围，从而求出的值域.

【详解】（1）解：由得，即，所以，解得，

所以，

由，解得，故的定义域为；

（2）解：由（1）及条件知，

设，，则当时，，

当时，；当时，，

所以当时，，即，

所以，，

所以在的值域为.

20．新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱，需另投入成本万元，当产量不足60万箱时，;当产量不小于60万箱时,，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；

(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】(1)

(2)当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.

【分析】(1) 根据产量的不同取值范围讨论利润y关于产量x的不同对应关系即可求解.(2) 分别求出分段函数的最大值比较大小即可求出利润的最大值.

【详解】（1）当时，；

当时，.

所以，；

（2）当时，，

当时，y取得最大值，最大值为850万元；

当时，，

当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为1300万元.

综上，当产量为80万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1300万元.

21．已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点.

(1)求的表达式；

(2)若方程，恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）先由题意求出，然后由为上的奇函数可得，从而可求得的值，从而可求得的表达式；

（2）又在定义域内单调递增减且为奇函数，可将转化为，即在恰与x轴有两个交点，由二次函数的零点分布可得答案.

【详解】（1）由指数函数的图象过点，得，

所以，又为上的奇函数，所以，得，

经检验，当时，符合，所以；

（2），因为在定义域内单调递增，

则在定义域内单调递减，

所以在定义域内单调递增减，

由于为上的奇函数，所以由，

可得，

则在恰有2个互异的实数根，

即在恰与x轴有两个交点，

则，

所以实数a的取值集合为.

22．已知有两个极值点，

(1)求实数的取值范围；

(2)证明：.

【答案】(1)；

(2)见详解.

【分析】（1）先对函数求导，将函数有两极值点，转化为导函数对应的方程在上有两不等实根，结合一元二次方程根的分布问题的求法，即可求解；

（2）由（1）根据韦达定理，以及函数解析式，先得到，将要证明的问题转化为证明，构造新的函数，利用导数的方法求新函数的最大值，即可证明不等式成立.

【详解】（1）由题意，的定义域为，，

因为有两个极值点，

所以方程即在上有两不等实根，

即函数在上有两不同零点，

因此只需，解得，

即实数的取值范围是；

（2）由（1）知，，，，

所以

，

因此要证，即证，

即证，

构造函数，，

则，

又在上显然恒成立，

所以在上单调递减，

又，，

由函数零点存在性定理可得，，使得，即，即；

所以当时，，则单调递增；

当时，，则单调递减；

所以，

又在上显然单调递增，

所以，

所以，即，

故.

【点睛】思路点睛：

导数的方法证明不等式问题时，一般需要结合题中条件，先将要证明的不等式化到最简形式，再构造新函数，用导数的方法求新函数的最值或值域，即可证明不等式成立；有时也会将要证明的不等式变形，构造两个新的函数，导数的方法求两新函数的最值，即可证明不等式成立.