2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第十二中学高三上学期8月月考数学（文）试题含答案

2024届新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第十二中学高三上学期8月月考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接通过交集的定义求解即可.

【详解】，

.

故选：C.

2．已知，，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】先利用共轭复数、复数的四则运算法则化简，再由复数相等的充要条件建立方程组，求出x，y的值即可．

【详解】因为，且，所以，

其中，

故，由复数相等的充要条件，得，解得，.

故选：C．

3．已知向量，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，即可得解.

【详解】由，得，

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题.

4．已知某班级17位同学某次数学联合诊断测试成绩的茎叶图如图所示，则这17位同学成绩中位数为（    ）

A．91 B．92 C．94 D．95

【答案】B

【分析】本题根据茎叶图写出数据从小到大或从大到小顺序，然后最中间的数据就是中位数．

【详解】数据从小到大或从大到小顺序，然后最中间的数据就是中位数．

将所有数排序，76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103.114，

中位数为第9项92，

故选：．

【点睛】本题考查根据茎叶图来计算中位数，是基础性题目．

5．若、满足约束条件，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.

【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，即点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，

该直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.

故选：C.

【点睛】本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.

6．已知抛物线，则它的焦点到准线的距离为.

A．4 B．8 C．16 D．2

【答案】A

【分析】由抛物线的标准方程利用抛物线的简单性质可求得答案．

【详解】解：∵y2＝2px＝8x，

∴p＝4，

∴抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是4．

故选A．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程与抛物线的简单性质，属于基础题．

7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（    ）

A．9 B．10 C．27 D．36

【答案】A

【分析】根据循环功能，一一循环验证即可.

【详解】第一次循环，，，满足；

第二次循环，，，不满足，终止循环，输出S为9；

故选：A

8．如图，函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据的取值进行分类讨论，去掉中绝对值符号，转化为分段函数，利用正弦函数的图象即可得解.

【详解】当时，；

当时，.

因此，函数的图象是B选项中的图象.

故选：B.

【点睛】本题考查正切函数与正弦函数的图象，去掉绝对值是关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.

9．已知圆柱的母线长与底面半径之比为，四边形为其轴截面，若点为上底面的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，得到为异面直线与所成的角，易证平面，，然后在中，由求解.

【详解】如图所示：

因为，所以为异面直线与所成的角．

设的中点为，过点作底面圆于，

连接，，因为是的中点，

所以是的中点，．

又因为圆，所以．

由于，平面，平面，

则平面，．

设，则．

所以，，

所以．

故选：A

10．已知正项等比数列{an}的公比为3，若aman＝9a22，则的最小值等于（　　  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据正项等比数列{an}的公比为3，且aman＝9a22，得到，从而有，然后用“1”的代换将转化为，再用基本不等式求解.

【详解】因为正项等比数列{an}的公比为3，且aman＝9a22，

所以，

所以，

所以，

当且仅当且，即时，取等号，

所以则的最小值等于.

故选：C

【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

11．若函数恰有两个零点，则在上的最大值为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】通过求导可知：，或，若,则单调，不符题意，显然，由恰有两个零点，所以必有一个极值点为零点，只能是处为零，代入即可得解.

【详解】，或，

若，则单调，不符题意，故，

恰有两个零点，

必有一个极值点为零点，只能是处，

，解得，

在处取得极大值为．又，

在上的最大值为，

故选：B．

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点问题，根据零点个数求参数范围，考查了分类讨论思想，整体计算量不大，属于基础题.

12．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线，直线为曲线在点处的切线.如图所示，阴影部分为曲线、直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为.给出以下四个几何体：

图①是底面直径和高均为的圆锥；

图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；

图③是底面边长和高均为的正四棱锥；

图④是将上底面直径为，下底面直径为，高为的圆台挖掉一个底面直径为，高为的倒置圆锥得到的几何体.

根据祖暅原理，以上四个几何体中与的体积相等的是

A．① B．② C．③ D．④

【答案】A

【分析】将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求.

【详解】几何体是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，

且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为，切线对应的横坐标为

，

切线为，即，

横截面面积

图①中的圆锥高为1，底面半径为，可以看成由直线绕轴旋转得到

横截面的面积为.

所以几何体和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等，

故选A项.

【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.属于难题.

二、填空题

13．已知等差数列中，，，数列满足，则      .

【答案】

【分析】根据等差数列的通项公式求出，从而求出，再利用等差数列的前项和公式即可求解.

【详解】由题意，解得，

所以，所以，

则.

故答案为：.

14．某学校有、、、、、6个兴趣小组，其中兴趣小组只剩一个名额，其余名额足够多．现有4位同学选择参加这6个兴趣小组，且每人只选择其中一个，这4位同学恰好参加了其中3个兴趣小组，则他们参加的可能情况有      种．

【答案】600

【分析】利用特殊元素法，对有没有选择进行讨论，结合排列组合的知识，可得结果.

【详解】1：分类讨论

①有1位同学选择时，

②这4位都不选择时；

综上所述，一共可能的情况为600种．

2：间接法．

总的情况减去不满足题意的情况：．

故答案为：600

【点睛】本题考查排列组合的知识，审清题意，细心计算，属基础题.

15．已知抛物线与坐标轴交于，，三点，则外接圆的标准方程为           .

【答案】

【分析】由题意分别计算，，三点的坐标，设圆：，代入三点的坐标计算，再写出标准方程即可.

【详解】令，则，解得，即，；

令，得，即，设圆：，

所以，∴.

所以圆的方程为.

故答案为：

16．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球体积为      .

【答案】

【分析】根据几何体的三视图还原几何体到边长为的长方体中，进而求解几何体的外接球的半径即可.

【详解】解:根据三视图，将该几何体从边长为的长方体中截得，

如图1，分别为棱的中点，，

即该几何体的直观图为三棱锥，

取中点，连接，由于为等腰三角形，

所以外接圆的圆心在上，不妨设外接圆的圆心为，半径为，

如图2，，

所以在中，有，即，解得

所以，，

此时，即

所以，即是三棱锥外接球的球心，

故三棱锥外接球的球半径为

所以三棱锥外接球的体积为

故答案为：

三、解答题

17．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点．

(1)求，；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）根据三角函数的定义，计算即可得答案.

（2）根据诱导公式，整理化简，代入，的值，即可得答案.

【详解】（1）因为角终边经过点，

所以，．

（2）原式．

18．如图，四边形为长方形，，、分别为、的中点，将沿折到的位置，将沿折到的位置，使得平面底面，平面底面，连接.

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）为中点，为中点，连接，证明为平行四边形，得到答案.

（2）平面，得到，计算得到答案.

【详解】（1）如图所示：为中点，为中点，连接.

为中点，故，底面，故平面，

同理平面，故，又，

故为平行四边形，故，平面，故平面.

（2）平面，

故.

【点睛】本题考查了证明线面平行，体积的计算，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

19．某制造企业向高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件.该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径的数据如下（单位：）.

97  97  98  102  105  107  108  109  113  114

（1）计算平均值与标准差；

（2）假设这台3D打印设备打印出的零件内径服从正态分布，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为（单位：）86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

参考数据：，，，，.

【答案】（1），；（2）需要，答案见解析.

【分析】（1）利用测量数据，即可计算平均值与标准差.

（2）由（1）得服从正态分布，又由，得内径在之外的概率为0.003，根据原则，可得结论.

【详解】解：（1）利用测量数据，即可计算平均值与标准差.

.

，∴.

（2）需要进一步调试.

∵服从正态分布，，

∴内径在之外的概率为0.003，而，根据原则，需要进一步调试.

20．已知函数.

（1）求的解析式；

（2）若恒成立，求的最小值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）在及中令可求出和从而得到的解析式．

（2）参变分离后可得不等式恒成立，令，利用导数分类讨论可求，从而，故，令，利用导数求出在上的最小值后可得的最小值．

【详解】（1）令，则，故，

从而，令，则，

于是，

(2) 由已知条件得，

设，则

①若，则，的值域为，故不成立，舎；

②若，则当时，；当时，，

从而在上单调递增，在上单调递减，

故有最大值，

故，其中，因此.

设 ，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故有最小值，从而，

当且仅当 即 时，的最小值为.

【点睛】含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或基本不等式来求，而不等式的单调性可由导数的符号的正负得到.

21．已知椭圆．右顶点，上顶点为B，左右焦点分别为，，且，过点作斜率为的直线l交椭圆于点D，交y轴于点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设为的中点，过点且与垂直的直线交OP于点G，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）；（2）直线是过定点，证明见解析.

【解析】（1）根据题意可得，由结合椭圆的性质可得，再由即可求的值，进而可得椭圆C的方程；

（2）设直线的方程为：，可求出，设，联立直线与椭圆方程利用韦达定理可得求出、、进而可得，两点坐标，求出直线的斜率，利用垂直可得直线的斜率，利用点斜式即可得直线方程，进而可得所过的定点.

【详解】（1）因为椭圆C的右顶点，所以，

因为，由椭圆的性质可知，

所以是等边三角形，所以，可得，

所以，

所以椭圆的方程为：，

（2）设直线的方程为：，

令，可得，所以 ，

设， 由 可得，

所以，可得，所以，

所以，

又因为，所以，，

所以，

所以直线的斜率为，

直线的斜率为，

所以直线方程为，即，

所以由可得，此时，

所以直线是过定点.

【点睛】思路点睛：求直线所过定点问题的基本思想就是把直线方程中的变量当作常数看待，把方程的一端化为，此方程对于任意的参数都成立，参数的系数就全为，这样就得到关于的一个方程组，这个方程组的解就是直线所过的定点.

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；

(2)已知点A的极坐标为，点B为曲线C上一动点，求线段的中点P到直线l的距离的最大值．

【答案】(1)，；

(2)1.

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系消参求曲线C的普通方程，应用公式法求直线l的直角坐标方程.

（2）由题设有A，设结合中点公式求P坐标，应用点线距离公式、正弦函数的性质求距离的最大值.

【详解】（1）由得：，

所以曲线C的普通方程为：．

由得：，

将代入上式，化简得：直线l的直角坐标方程为．

（2）由题设A，由（1），设，则，

点P到直线l的距离，

当时，．