2023届陕西省榆林市定边县定边县第四中学高三上学期10月月考数学（文）试题含答案

2023届陕西省榆林市定边县定边县第四中学高三上学期10月月考数学（文）试题

一、单选题

1．全集，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由解一元二次不等式求集合B，应用集合的交补运算，求即可.

【详解】由题意知：，而，

∴，则，

故选：A

2．对任意实数，，，给出下列命题：

①“”是“”充要条件；

②“是无理数”是“是无理数”的充要条件；

③“”是“”的充分条件；

④“”是“”的必要条件．

其中真命题的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据充分条件、必要条件的定义一一判断即可.

【详解】解：①中“” “”为真命题，

但当时，“” “”为假命题，

故“”是“”的充分不必要条件，故①为假命题；

②中“是无理数” “是无理数”为真命题，

“是无理数” “是无理数”也为真命题，

故“是无理数”是“是无理数”的充要条件，故②为真命题；

③中“” “”为假命题，如、满足，但是，

“” “”也为假命题，如、满足，但是，

故“”是“”的即充分也不必要条件，故③为假命题；

④中，故“”是“”的必要条件，故④为真命题．

故真命题的个数为2

故选：B．

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【详解】分析：条件已提供了首项，故用“a1，d”法，再转化为关于n的二次函数解得．

解答：解：设该数列的公差为d，则a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2，

所以Sn=-11n+

×2=n2-12n=(n-6)2-36，所以当n=6时，Sn取最小值．

故选A

点评：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．

4．等差数列{an}中，a3+ a4+ a5+ a6+ a7=450，求a2+a8=（    ）

A．45 B．75 C．180 D．300

【答案】C

【分析】根据等差数列性质：若，则，运算求解.

【详解】∵{an}为等差数列，则，即

∴

故选：C.

5．已 知 ，， 则 等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据诱导公式及平方关系求得，再根据二倍角的正弦公式即可得解.

【详解】解：，所以可得，

那么.

故选：D.

6．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】结合题中选项，分别计算函数值，根据函数零点存在性定理，即可得出结果.

【详解】易知函数是增函数，且，，

由函数零点存在性定理可得，函数的零点所在的区间是.

故选：B.

【点睛】方法点睛：

在判定函数零点所在区间时，一般根据函数零点存在性定理来判断，要求学生要熟记零点存在性定理；另外，在根据判断函数零点时，有时也需要结合函数单调性进行判断.

7．函数的最小正周期为（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用正弦型函数的周期公式求解即可

【详解】解：由最小正周期公式可得函数的最小正周期为，

故选：C

8．已知公比不为1的等比数列的前项和为，且满足成等差数列，则

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】成等差数列，，即，解得或（舍去），，故选C.

9．已知向量，，若与共线，则的值为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】D

【分析】由平面向量线性运算的坐标表示可得、，再由平面向量共线的坐标表示即可得解.

【详解】由已知得，，

又因为与共线，

所以有，解得.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量线性运算及共线的坐标表示，考查了运算求解能力，属于基础题.

10．已知向量，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合已知条件，分别用坐标表示出和，然后利用向量平行的坐标公式求解即可.

【详解】因为，，

所以，，

因为，

所以，解得.

故选：C.

11．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由偶函数的定义，即可排出A选项，再结合函数在上单调递增，即可选出答案.

【详解】.由得：，且，

既不是奇函数也不是偶函数，不合题意；

B.由得：，是偶函数且定义域是，

当，由，,函数为增函数，符合题意；

C. 由得：，是偶函数，

二次函数开口向下对称轴为，故在上单调递减，不合题意；

D. 由得：，是偶函数，

又当时，，所以在上单调递减，不合题意.

故选：B.

12．若函数的导函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据求导运算，结合二次函数的性质，可得答案.

【详解】由，则，

易知该二次函数的开口向上，且对称轴为直线，

由导函数在上单调递减，则，解得.

故选：B.

二、填空题

13．已知命题p：，是真命题，则实数a的取值范围是       ．

【答案】

【分析】根据判别式大于或等于零，解不等式即可得结果．

【详解】若命题，是真命题，

二次函数的图象与轴有交点，

方程有根，

则判别式，

即，故答案为．

【点睛】本题主要考查特称命题的应用，以及一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系，考查了转化与划归思想的应用，属于简单题.

14．已知，则          .

【答案】

【分析】利用，求得的值.再根据诱导公式求得的值.

【详解】依题意，而.

【点睛】本小题主要考查三角函数二倍角公式，考查三角函数诱导公式，考查三角恒等变换，属于基础题.

15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则          .

【答案】12

【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.

【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，

.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.

16．若等差数列，的前n项和分别为，，且，则      .

【答案】

【分析】由等差数列前项和的性质，即可得到答案.

【详解】解：因为，且，

由等差数列前项和的性质得，

故答案为：.

三、解答题

17．已知等差数列的前项和为，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出等差数列的首项和公差，可求得等差数列的通项公式；

（2）求得，利用裂项相消法可求得数列的前项和.

【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，

，.

（2）解：，

所以，数列的前项和为.

18．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)当时，求函数的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得结果；

（2）由计算出的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得的最大值和最小值.

【详解】（1）解：因为

，

所以，函数的最小正周期为.

（2）解：当时，，

，.

19．已知首项为的等差数列中，是的等比中项.

(1) 求数列的通项公式；

(2) 若数列是单调数列，且数列满足，求数列的前项和.

【答案】（1）或（2）

【详解】试题分析：（1）由首项为，是的等比中项，即可求出公差，从而求出数列的通项公式；（2）由（1）及数列是单调数列得，再根据，利用错位相减法即可求出

试题解析：(1) 是的等比中项，是等差数列

或

或

(2)由(1)及是单调数列知  

得

点睛：错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

20．设的内角所对边分别为，且有

（1）求角的大小；

（2）若，为中点，求的长．

【答案】（1）A＝；（2）.

【分析】（1）对等式右边使用正弦两角和公式，化简可得；

（2）用余弦定理求出,利用已知数据得,在直角三角形中利用勾股定理求解.

【详解】解（1）由题设知，

因为，所以

由于，故

（2）因为，

所以，所以.

因为为中点，所以

所以

【点睛】本题考查平面几何中解三角形问题.

其求解思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理、勾股定理求解；

(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．

21．设数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】

【详解】试题分析： （1）结合数列递推公式形式可知采用累和法求数列的通项公式，求解时需结合等比数列求和公式；（2）由得数列的通项公式为，求和时采用错位相减法，在的展开式中两边同乘以4后，两式相减可得到

试题解析：（1） 由已知，当时，

==，．

而，所以数列的通项公式为．

（2） 由知 …① ……7分

从而 ……②

① ②得，

即．

【解析】1．累和法求数列通项公式；2．错位相减法求和

22．已知函数 (其中为自然对数的底数).

（1）当时，求函数的单调递增区间；

（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围.

【答案】（1）(－∞，－]和[，＋∞)；（2）.

【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调增区间即可．（2）利用函数的导数，导函数小于0，分离变量，构造函数利用导数求解最值即可得到结果．

试题解析：

(1)当m＝－2时，f(x)＝(x2－2x)ex，

f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，

令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－或x≥.

所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞)

(2)依题意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，

因为f′(x)≤0对于x∈[1,3]恒成立，

所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－＝－(x＋1)＋

令g(x)＝－(x＋1)＋，则g′(x)＝－1－<0恒成立，

所以g(x)在区间[1,3]上单调递减，g(x)min＝g(3)＝－，故m的取值范围是.

点睛：求函数的单调区间的方法(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．