2023届新疆维吾尔自治区和田地区第二中学高三上学期12月月考数学（文）试题含答案

2023届新疆维吾尔自治区和田地区第二中学高三上学期12月月考数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合运算的定义，即可判断结果.

【详解】由条件可知，，所以.

故选：D

2．已知，，若，则（    ）

A．1 B．2

C． D．

【答案】C

【分析】化简复数为，根据复数相等列出方程组，求得的值，得到复数，结合复数模的计算公式，即可求解.

【详解】由，可得，

由复数相等的充要条件得，解得，，

即，所以．

故选：C.

3．实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求的最大值，从而求恒成立问题．

【详解】因为实数满足，画出可行域如图，

由图可知，当经过点时，有最大值，所以，

故选：A．

4．如图，在三棱锥中，平面，，现从该三棱锥的个表面中任选个，则选取的个表面互相垂直的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据线面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率．

【详解】由已知平面，，可得，从该三棱锥的个面中任选个面共有种不同的选法，而选取的个表面互相垂直的有种情况，故所求事件的概率为．

故选：A．

【点睛】本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数．

5．若向量，则与的夹角等于(    )

A．－ B． C． D．

【答案】C

【分析】求出与的坐标，然后根据向量夹角余弦公式即可求夹角.

【详解】，，

，

，，

设与的夹角为θ，则，

，

.

故选：C.

6．已知直线m，n和平面，如果，那么“m⊥n”是“m⊥”的（   ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】若，则，即必要性成立，

当时，不一定成立，必须垂直平面内的两条相交直线，即充分性不成立，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

7．函数f（x），若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（    ）

A． B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）

C．（﹣∞，﹣1）∪{1} D．（﹣1，0）∪{1}

【答案】D

【解析】利用的导函数判断出的单调区间，由此画出的大致图像，令，对的取值进行分类讨论，结合的图像以及方程有四个不相等的实数根列不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】当x≥0时，，

所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：

令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；

当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；

当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，

所以关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根

等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），

当t1＝0，t2＝1时，a＝1，

当t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，

综上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}.

故选：D.

【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

8．已知数列满足，，是等差数列，则数列的前项的和

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先利用已知求得，再求数列的前项的和.

【详解】设等差数列的公差为，则，，

因为，，所以，解得，

所以，即，

所以故选B．

【点睛】（1）本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.（2）解答本题的关键是化简，要利用平方差公式化简.

9．已知是奇函数，且满足，当时，，当时，的最大值为，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】A

【分析】由，再结合是奇函数，通过赋值法，可得，即可求得时的的表达式，求导找到的最大值，利用已知条件，最大值为，即可解得的值.

【详解】因为，即，

当时，，则，

，由得，，所以

当时递增，当时递减，

所以最大值为，所以得.

故选：A

【点睛】求函数最值常用方法，先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

10．如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM＝x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②当且仅当x＝时，四边形MENF的面积最小；

③四边形MENF周长L＝f（x），x∈[0，1]是单调函数；

④四棱锥C′﹣MENF的体积V＝h（x）为常函数；

以上命题中假命题的序号为（　　）

A．①④ B．② C．③ D．③④

【答案】C

【分析】①利用面面垂直的判定定理去证明平面；②四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可；③判断周长的变化情况；④求出四棱锥的体积，进行判断．

【详解】①连结，，则由正方体的性质可知，平面，所以平面平面，所以①正确；②连结，因为平面，所以，四边形的对角线是固定的，所以要使面积最小，则只需的长度最小即可，此时当为棱的中点时，即时，此时长度最小，对应四边形的面积最小，所以②正确；③因为，所以四边形是菱形，当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，所以函数不单调，所以③错误；④连结，，，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以为底，以，分别为顶点的两个小棱锥，因为三角形的面积是个常数，，到平面的距离是个常数，所以四棱锥的体积为常函数，所以④正确，所以四个命题中③假命题，所以选C．

【点睛】本题主要考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立体几何问题和函数进行有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高，有一定难度.

11．已知，分别为椭圆的左､右焦点，是上一点，为坐标原点，过点作的角平分线的垂线，垂足为，若，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】延长交直线于点，求出，，化简即得解.

【详解】解：延长交直线于点.

因为为的角平分线，且，所以，

所以.

因为，分别为，的中点，所以为的中位线，

所以，所以.

由椭圆的定义知，不妨设，

则，.

在中，因为，所以，

所以，所以.

因为，所以，故.

故选：D

【点睛】12．已知函数，则下列关于函数图像的结论正确的是(  ）

A．关于点对称 B．关于点对称

C．关于轴对称 D．关于直线对称

【答案】D

【分析】根据函数的解析式，求得，即可得到关于直线对称，即可得到答案.

【详解】由函数，则，

即函数满足，所以函数关于直线对称，故选D.

【点睛】本题主要考查了函数的对称性，其中解答中数函数对称性的判定方法是解答的关键，即若函数满足时，函数的图象关于对称，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

二、填空题

13．函数，则函数的最小正周期是          ，取最大值时的集合为          .

【答案】         

【解析】利用公式即可计算周期，令，即可求出取最大值时的集合.

【详解】最小正周期，

取最大值时，

即.

故答案为：；.

【点睛】本题考查三角函数的性质，是基础题.

14．已知，，则行列式的值等于        .

【答案】

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosx，进而可求secx的值，再计算行列式的值即可得解．

【详解】∵sinx，x∈（，π），

∴cosx，secx，

∴sinxsecx+1（）+1．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了行列式的计算，属于基础题．

15．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，则满足∠AMB＞90°的概率为        .

【答案】

【解析】点M满足∠AMB＞90°的区域是球的内部，根据在正方体内的部分求出体积，即可得出概率.

【详解】空间中点M满足∠AMB＞90°的区域是以AB为直径的球的内部，

在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中任取一点M，

满足∠AMB＞90°的区域的体积是半径为1的球的，

其体积为，

棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为8，

所以所求概率为.

故答案为：

【点睛】此题考查几何概型求解概率，关键在于准确求出满足条件的区域体积.

16．已知都为正实数，则的最小值为           ．

【答案】

【分析】化简，由基本不等式得，再代入原式得，判断相等条件后即可得最小值.

【详解】，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最小值为.

故答案为：

【点睛】解答本题的关键在于分别利用两次基本不等式，根据“一正二定三相等”的原则判断最小值.

三、解答题

17．2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取100户，得到这100户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图：

（1）求的值，并求出这100户家庭人均年纯收入的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：

①由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；

②由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年每月的人均月纯收入只能达到预估值的，试估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由.

附：①可能用到的数据：，，；②参考公式：线性回归方程中，，.

【答案】（1）；平均数为（千元）；（2）①；②能.

【分析】（1）由频率分布直方图概率和为1求出a，利用平均值等于求平均数即可；

（2）①先求，结合公式求b和a，写出回归方程；②先利用回归直线和已知条件估计2020年每月收入，再计算年总收入，根据题意判断即可.

【详解】解：（1）组距为1，频率之和为1，故，解得；

平均数为（千元）；

（2），，

，

故，，

所以回归直线方程为：；

②设y是2020年该家庭人均纯收入，则时，，即2020年每月收入依次成等差数列，首项为，最后一项为，故2020年总收入为 ，

所以该家庭2020年能否达到小康标准.

【点睛】方法点睛：

(1)从频率分布直方图可以估计出的几个数据：

①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；

②平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；

③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．

（2）求线性回归方程的步骤：①求出；②套公式求出；③写出回归方程；④利用回归方程进行预报.

18．已知函数，.

（1）若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；

（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）求得的解析式，令，应用参数分离和对勾函数的单调性，可得所求最大值；

（2）由题意可得有且只有一个根，令，应用指数函数的单调性，以及二次方程实根的分布，对讨论，可得所求范围．

【详解】解：（1）对任意，恒成立，

令，，，因为在，单调递增，故，

则对恒成立，

当时，，故，即．

（2）由题：方程有且只有一个根，

即有且只有一个根，

令，因为在上单调递增，且，

故方程式）有且只有一个正根，

①当时，方程有唯一根，符合题意；

②当时，方程变形为，解得两根为，，

因为式）有且只有一个正根，故或，解得或，

综上：的取值范围为或．

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查不等式恒成立问题解法，注意应用换元法和参数分离，以及分类讨论思想．

19．如图所示，在四棱锥中，，，平面，为中点，.

（1）求证：平面.

（2）若四面体的体积为，求的面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）取中点，连接，，利用面面平行的判定定理证明平面平面，再用面面平行的性质可得平面；

（2）根据体积求出，过作于，连接，，求出和后，根据三角形面积公式可求得结果.

【详解】（1）取中点，连接，，则，

又，

∴，

∴平面平面，

∴平面.

（2）因为，，，

所以

由已知得：，即，

可得.

过作于，连接，，

∵平面，∴，，∴，

中，，，，

∴，，，

，

∴.

【点睛】关键点点睛：掌握面面平行的判定定理和面面平行的性质是解题关键.

20．已知函数.

(1)若在点处的切线与圆相切，求实数的值；

(2)若当时，有成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)实数的值为0或；

(2).

【分析】（1）求导得斜率写出切线方程，圆心到直线距离等于半径即可得；

（2）在区间上恒成立，整理不等式得在恒成立，构造函数，只需即可.

【详解】（1）解：由题知，，又

∴在处的切线斜率为，

∴在处的切线为，即，

∵圆的圆心为，半径为1，

∴则圆心到直线的距离为：，解得或，

∴实数的值为0或.

（2）解：当时，，即，

设，

∴，

当时，，∴在区间上是单调递增函数，

∴，∴，

当时，当时，，当时，，

∴在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，

∴，

即，解得，

综上所述，实数的取值范围为.

【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;

（3）若恒成立，可转化为.

21．已知函数．

(1)求的最小值；

(2)若对所有，都有，求实数a的取值范围；

(3)若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数b的取值范围．

【答案】(1)

(2)

(3) 或

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的正负判断函数的单调性，求得最值；

（2）将不等式分离参数即变为恒成立，构造函数，利用求导求得函数的最大值，可得答案；

（3）将关于x的方程有且只有一个实数根，变为和在上有且只有一个交点的问题，数形结合，求得答案.

【详解】（1）的定义域是，，令，得，

当时，有，当时，有，

故在上单调递减，在上单调递增，

故．

（2）∵，对所有，都有，

等价于恒成立，等价于恒成立，

令，则；

∵，∴当时，有，

∴在上单调递增，∴，

∴，即实数a的取值范围为；

（3）若关于x的方程有且只有一个实数根，

即和在上有且只有一个交点，

由（1）知在上单调递减且，在上单调递增，

当时，，在时，，当时，，

，

作出函数的大致图象：

故当或时，满足和在上有且只有一个交点，

即若关于x的方程有且只有一个实数根，则或．

即实数b的取值范围为 或.

22．在直角坐标系中，曲线过点，其参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.

（1）若，求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.

【答案】（1）； （2）或

【解析】（1）两式相减即可得到曲线的普通方程；两边同时乘以，然后由，即可得到曲线的直角坐标方程；

（2）将代入，得，则，又，分和两种情况，即可求得实数的值.

【详解】（1），

，

，

，

；

（2）将代入，得，

，

则，

又，

①当时，联立，得，则，所以；

②当时，联立，得，则，所以.

综上，或.

【点睛】本题主要考查直线的参数方程转化为普通方程，抛物线的极坐标方程转化为直角坐标方程，以及根据参数方程的几何意义求参数的取值.

23．设.

(1)解不等式；

(2)若不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)讨论三种情况，分别解不等式，最后找并集即可；

(2)分离参数可得,利用绝对值三角不等式可求解.

【详解】解：(1)当时，，解得，故此情况无解；

当时，，解得，故；

当时，，解得，故.

综上所述，满足的解集为.

(2)当时，可知对于，不等式均成立；

当时，由已知可得，

∵，当或时，等号成立，

∴.

综上所述，使得不等式恒成立的的取值范围为.