2023届新疆喀什地区莎车县第一中学高三上学期11月月考数学（理）试题含答案

这是一份2023届新疆喀什地区莎车县第一中学高三上学期11月月考数学（理）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式：①；②：③：④.其中错误的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】①是错误的，因为元素和集合之间不能用连接；
②是错误的，因为集合之间不能用∈连接；
③是错误的，因为不符合空集的定义；
④是正确的，因为集合的元素是无序的，元素相同的两个集合相等.
故选：B
【点睛】本题主要考查集合之间的关系，考查元素和集合之间的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
2．命题：“，”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据含特称量词的命题的否定得到结果即可.
【详解】因为命题含有一个量词，所以其否定需要改变量词，否定结论，即.
故选：D.
【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
3．若复数的实部和虚部相等，则实数的值为
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a的值．
【详解】∵复数的实部和虚部相等，
∴，解得a．
故选C．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
4．已知函数，则的值为（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】C
【分析】当时，，在上是周期为4的周期函数，通过周期性及函数解析式，由此能求出结果.
【详解】当时，，
∴在上是周期为4的周期函数，
∴.
故选：C.
【点睛】本题考查分段函数的函数值，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
5．已知a、b是实数，则“a＞1，b＞2”是“a＋b＞3且ab＞2”的( )
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条
【答案】A
【分析】根据不等式性质可由“a＞1，b＞2”得“a＋b＞3且ab＞2”，举反例可知由“a＋b＞3且ab＞2”不能得到“a＞1，b＞2”，结合充分条件和必要条件的概念即可判断.
【详解】，
当时，满足，但不满足，
因此是的充分不必要条件．
故选：A．
6．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的坐标表示，结合向量夹角的为锐角得到关于的不等式，从而得解.
【详解】依题意，得，
因为与的夹角为锐角，所以且不共线同向，
所以且，即且，
故选：C．
7．A，B，C，D四人并排站成一排，如果A与B相邻，那么不同的排法种数是（ ）
A．24种B．12种C．48种D．12种
【答案】B
【分析】利用捆绑法及分步乘法原理可求解
【详解】将A与B看成一个整体，有种排法，再排“A与B”、 C，D有种排法，所以由分步乘法原理可知共有种不同的排法.
故选：B
8．等比数列中，，则数列的公比为
A．2或-2B．4C．2D．
【答案】C
【详解】分析：设等比数列的公比为，由已知条件可得，和已知等式相除即可得结论.
详解：设等比数列的公比为，∵，∴且，
两式相除可得，即，∴，故选C.
点睛：本题主要考查了等比数列的定义，求等比数列的公比，属于基础题.
9．设若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分类讨论，代入相应的解析式列出关系式求解即可.
【详解】当时，，，.
∵，∴，解得.
当时，，.
∵，∴，显然无解.综上，.
故选：C.
【点睛】本题考查函数的概念与性质，属于基础题.
10．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用奇函数的性质求得，进而得到的解析式，再对求导得出切线的斜率，进而求得切线方程.
【详解】因为函数是奇函数，定义域为，
所以，解得，
经检验，满足条件，
所以，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
11．设函数（其中），若函数图象的一条对称轴为，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由三角恒等变换化简，再令，根据，即可得出答案.
【详解】，
因为函数图象的一条对称轴为，
则，，
又，则，
故选：A．
12．设正实数a，b，c，满足，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，并判断的范围，通过变形得，得的大小关系，再直接解方程求的范围，最后三个数比较大小.
【详解】设，时，恒成立，在单调递增，时，，而，所以，，故，即，而，所以．
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，并且根据指对互化，这样根据单调性可得.
二、填空题
13．若，则的值为 ．
【答案】
【解析】可按照二项式展开公式，求出，其次就是将其看作多项式函数，代入，则，代，得，从而可求出答案.
【详解】由题意有，
当时，，
当时，，
∴，
故将，代入上式可知
故答案为：.
【点睛】本题考查学生对二项式定理的掌握情况，会将二项式看做多项式函数，能分清展开式中每一项的系数，会求二项式系数，会赋值法处理相关问题，为容易题.中第 项为：.
14．等差数列的前9项和为18，第9项为18，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】根据等差数列的基本量首项和公差，列出方程，解出首项，公差，然后带入通项公式中即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，前项和为，由题意知:，又，联立解得:，，
故答案为:
15．已知为的外接圆圆心，且，则的值为 .
【答案】
【分析】由向量数量积公式有，根据数量积的几何含义，结合几何图形得，，即可求.
【详解】如图，，，
由为的外心，则向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，
∴，，从而，即，有.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用外接圆的性质，由向量数量积的几何含义并结合平面几何图形，求向量模的比值.
16．若存在两个正实数x，y使等式成立，（其中）则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】， ，设 ，设 ，那么 ， 恒成立，所以是单调递减函数，当时， ，当时， ，函数单调递增，当 ， ，函数单调递减，所以 在时，取得最大值， ，即 ，解得： 或 ，写出区间为 ，故填： .
三、解答题
17．已知公差为的等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由等差数列性质可以计算 和，再求通项公式；
(2)错项相减构成部分等比数列.
【详解】（1）∵是等差数列，∴，
又∵，∴，是方程的两根，
又∵，∴，∴，
∴，，∴，
（2）知，
，①
，②
①-②得：
∴.
18．已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递减区间.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式把函数化为，然后利用周期公式求函数的周期；
（Ⅱ）利用整体代入的思想求函数的单调区间.
【详解】
（Ⅰ）所以函数的周期为.
（Ⅱ）由，得，
所以函数的单调递减区间为.
19．焦虑症是一种常见的神经症，多发于中青年群体，某机构为调查焦虑症与年龄之间的关联，随机抽取10人进行焦虑值（满分100分）的测试，根据调查得到如下数据表：
（1）我们约定：焦虑值关于年龄的线性相关系数的绝对值在0.75（含0.75）以上为线性相关性较强，否则视为线性相关性较弱，如果没有较强的线性相关性，那么不考虑用线性回归进行拟合．试根据调查数据判断能否用线性回归对焦虑值与年龄的相关关系进行拟合．若能，请求出焦虑值关于年龄的线性回归方程（回归方程的斜率和截距的估计值均精确到0.01）；若不能，请说明理由．
（2）现从所调查的10人中随机抽取5人，记年龄在20岁（含20岁）以上的人数为，求的数学期望．
参考数据：
，，，，．
对于一组数据，，…，，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．
线性相关系数．
【答案】（1）可用线性回归对它们的相关关系进行拟合；线性回归方程为；（2）3．
【分析】（1）利用公式求出相关系数，并与比较大小；
（2）先求出的分布列，再用期望公式求期望即可.
【详解】（1）由题意，可借助计算相关系数判断焦虑值与年龄的线性相关程度，
从而判断是否能用线性回归方程进行拟合．
相关系数，
由题意，与有较强的线性相关性，故可用线性回归对它们的相关关系进行拟合．
设回归方程为，则，．
所以焦虑值关于年龄的线性回归方程为．
（2）由题意可知的所有可能取值为1，2，3，4，5．
故的分布列为
所以．
20．已知函数和的图象关于原点对称，且．
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式；
(3)若在上是增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【详解】解：(1)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则
∵点在函数的图象上
∴
(2)由
当时，，此时不等式无解．
当时，，解得，
因此，原不等式的解集为
（3）
①
②
（ⅰ）
（ⅱ）
21．已知函数，.
（1）若恒成立，求实数的值；
（2）存在，且，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先将题意转化为恒成立，令，再分类讨论求出的最小值，即可得到答案.
（2）首先根据函数的单调性和，得到，要证明只需证明，即证成立，再利用换元法构造函数证明即可.
【详解】（1）恒成立，即恒成立，
等价于恒成立.
令，则，
①当时，，为增函数，且，
则时，，不符合题意，舍去.
②当时，，，
，，为减函数，，，为增函数，
所以，在处取极小值也是最小值，
所以，即恒成立.
令，则，
，，为增函数，
，，为减函数，
所以，故.
又因为恒成立，所以.
（2）因为，令，解得.
，，为减函数，
，，为增函数，且.
因为，所以
令，即，，
所以，
，
所以，即.
要证成立，只需证：成立，
即证：成立，
等价于证明：成立，即证明：成立.
令，即证：成立.
令，
则.
所以在为增函数，
所以，即有
所以，即证.
【点睛】本题第一问考查利用导数研究不等式恒成立问题，第二问考查利用导数证明不等式，同时考查了分类讨论和转化的思想，属于难题.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）当时，求出的普通方程，并说明该曲线的图形形状；
（2）当时，P是曲线上一点，Q是曲线上一点，求的最小值．
【答案】（1）该曲线是以A(2，0)，B(0，1)为端点的线段；（2）．
【分析】（1）当时，消去参数，可直接得出的普通方程；从而可确定该曲线的图形形状；
（2）当时，先得曲线的参数方程，设点P坐标；再将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可得出结果.
【详解】（1）当时，曲线的参数方程为为参数），其中，，
消得，即该曲线是以A(2，0)，B(0，1)为端点的线段；
（2）当时，曲线的参数方程为为参数，
因为P是曲线上一点，所以可设，
又由化为直角坐标方程可得：，即表示直线；
因为Q是曲线上一点，
所以，
当时，有最小值，即的最小值为.
【点睛】思路点睛：
利用参数的方法求解曲线上一点与直线上一点距离的最值问题时，一般根据曲线的参数方程设出曲线上任意一点的坐标，再由点到直线的距离公式，结合三角函数的性质，即可求出最值.
23．已知函数.
(1)当a＝1时，解关于x的不等式；
(2)已知，若对任意R，都存在R，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2) .
【分析】(1)绝对值函数化为分段函数，分段求解不等式可得不等式的解集；
(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，求出函数值域后，列出不等式可得实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
当时，由，得；
当时，恒成立；
当时，由≤6，得.
综上，的解集为.
（2）∵对任意R，都存在R，使得，
∴.
又，，
∴，解得或，
∴实数a的取值范围是.
人员
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
年龄(岁)
26
34
25
24
20
20
19
19
18
17
焦虑值(分)
80
89
89
78
75
71
65
62
55
50
1
2
3
4
5