2023届四川省资中县第二中学高三上学期11月月考数学（理）试题含答案

这是一份2023届四川省资中县第二中学高三上学期11月月考数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知复数，则（ ）．
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】先利用复数的四则运算求出，再用复数的模的计算公式即可得解.
【详解】因为，所以.
故选：D．
2．已知集合，，且，则a＝（ ）
A．0或B．0或1C．1或D．0
【答案】A
【分析】根据集合元素相等列方程求解，注意集合元素的互异性对集合元素的限制.
【详解】∵，
∴或，
∴或a=，
又由于集合元素的互异性，应舍去1，
∴或a=.
故选：A．
3．若角的终边与单位圆的交点为，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义解之即可.
【详解】.
故选：B．
4．设向量，，则“与同向”的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平面平行向量的坐标表示求出的值，验证同向与反向即可.
【详解】，
当时，，同向；
当时，，反向.
故选：A．
5．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则b＝（ ）
A．8B．6C．5D．3
【答案】C
【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，结合正弦定理计算即可.
【详解】在中，，
∵，∴，
由正弦定理得，
故选：C．
6．从3男2女共5名医生中，抽取2名医生参加社区核酸检测工作，则至少有1名女医生参加的概率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件列出样本空间，确定样本空间的基本事件数，再确定事件至少有1名女医生包含的基本事件数，利用古典概型概率公式求其概率.
【详解】解：将3名男性医生分别设为a，b，c，2名女性医生分别设为d，e，
这个实验的样本空间可记为，
共包含10个样本点，记事件A为至少有1名女医生参加，
则，
则A包含的样本点个数为7，∴，
故选：C．
7．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】作出线性规划区域，，表示可行域内过与原点的直线的斜率，数形结合即可求解.
【详解】如图，由，，三点组成的平面区域为可行域，
表示可行域内过与原点的直线的斜率，
当直线过时，的最大值为3.
故选：D．
8．已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由命题是假命题可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式求解即可.
【详解】因为命题是假命题，
所以其否定为真命题，
即，解得，
故选：C
9．已知为数列的前n项和，，，则（ ）．
A．2000B．2010C．2020D．2021
【答案】A
【分析】根据前n项和与的关系，得出，即可求解.
【详解】由题可得，①
当时，，②
由①－②得，，整理得，
又由，
所以．故选：A．
10．已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（ ）
A．B．3
C．D．
【答案】D
【分析】由题得是的一个极大值点，化简即得解.
【详解】解：由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，
由，得.
故选：D.
11．已知函数若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】有三个零点，即的图象与直线有三个交点，作出图象可得结论．
【详解】由得，作函数的图象及直线，它们有三个交点，则，∴．
故选：A.
【点睛】本题考查函数的零点，根据零点定义转化为方程的解，再转化函数图象与直线的交点，由函数图象易得结论．
12．对于三个不等式：①；②；③（；）．其中正确不等式的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】对于①，利用正弦函数的单调性直接判断；对于②，根据对数运算法则选择中间变量比较大小或利用换底公式合理放缩比较大小；对于③，根据对数的运算法则对题中的不等式进行等价转化,合理赋值验证结论.
【详解】对于①：，故①正确；
对于②：，
，
或，故②正确；
对于③：.
设，则，,
易得当时，取得最大值，
所以（时等号成立），
则有，
∴，故③正确.
综上可知，正确不等式的个数为3个.
故选：D.
二、填空题
13．若曲线在点处的切线平行于x轴，则a＝ ．
【答案】1
【分析】利用导数的几何意义与平行的性质得到方程，解之即可.
【详解】由已知得，故，即，则.
故答案为：1．
14．已知定义在R上的奇函数满足，若时，，则 ．
【答案】
【分析】根据给定条件分析函数的周期性，再结合周期计算作答.
【详解】因R上的奇函数满足，则，
即，于是得的周期为4，
所以.
故答案为：
15．若函数为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题意，当时，单调递增，当时，单调递增，
则等价于或，求解即可．
【详解】由题意，当时，单调递增，
当时，单调递增，
则等价于或
即或或
解得或．
故不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查不等式求解，函数的奇偶性，函数的单调性与单调区间，考查运算化简的能力，属于中档题．
16．设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由时，，得到的图象关于对称，不妨设，画出图象，易得，，，代入求解.
【详解】解：当时，，则的图象关于对称，
不妨设，
如图所示：

由图象知：，，
所以，，，，
所以，
，
，
令，
则.
故答案为：
三、解答题
17．在中，内角A，B，C对应的边分别为，，，已知．
(1)求角B的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2)3.
【分析】(1)根据正弦定理可得，结合同角的三角函数关系和角B的范围即可求解；
(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
∵，代入化简得，
∵，∴，
∴，又显然，即，
∴，又∵，∴.
（2）∵，由，得．
在△ABC中，由余弦定理，得
∴，
∴，∴△ABC的周长为3．
18．已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”．
(1)已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果.
（2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）当时，由，
得，即：若为真命题，则；
若为真命题，即恒成立，
则当时，满足题意；
当时，，解得，
故．
故若为假命题，为真命题，
则，解得，
即实数的取值范围为．
（2）对于，且．
对于，，则：或．
因为是的充分不必要条件，
所以，解得．
故的取值范围是.
19．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动，并从中抽取100位学生的竞赛成绩作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．规定：成绩在内为优秀，成绩低于60分为不及格．
(1)求a的值，并用样本估算总体，能否认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求；
(2)根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．
附：
【答案】(1)，不能；
(2)列联表见解析；没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关.
【分析】（1）利用概率分布直方图的性质先求出，进而求得60分以下的概率估计值，即可判断；
（2）根据（1）中的结论，先求得优秀的人数，再填写列联表，进而再求，查表后可以判断得没有99％的把握.
【详解】（1），解得，
成绩不及格的频率为，
∴“成绩不及格”的概率估计值为21％，
∵21％＞20％，
∴不能认为该校参加本活动的学生成绩符合“不及格的人数低于20％”的要求．
（2）由（1）可得成绩在的人数为：，
即样本中成绩优秀有20人，由此完成2×2列联表如下所示：
假设：此次竞赛成绩与性别无关，则
，
∴没有99％的把握认为此次竞赛成绩与性别有关．
20．已知函数是奇函数，是偶函数.
(1)求.
(2)判断函数在上的单调性并说明理由，再求函数在上的最值.
(3)若函数满足不等式，求出t的范围.
【答案】(1)
(2)是区间上的增函数，理由见解析，
(3)
【分析】（1）由函数的奇偶性定义以及性质求解即可；
（2）利用定义证明单调性，进而得出最值；
（3）由在区间上的单调性以及奇偶性，解不等式得出t的范围.
【详解】（1）因为在是奇函数
验证：，，函数为奇函数；
为偶函数，则
验证：，，函数为偶函数.
（2）是区间上的增函数，理由如下：
设是区间上任意两个实数，且，
则
因为所以
是区间上的增函数
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由满足
，即t的范围是
21．设， 其中．
(1)讨论的单调性；
(2)令， 若在上恒成立， 求的最小值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)的最小值为.
【分析】(1)讨论，解不等式求函数的单调递增区间，解不等式求函数的单调递减区间；(2)由在上恒成立可得，由此可求的最小值．
【详解】（1），
①当时，在上恒成立，在上单调递减；
②当时，在上单调递增，且当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
（2）因为，
所以若，，与在上恒成立矛盾，
所以，
则，
令，
则由可知在上单调递减，
又当时，，，
，
又，
，使得，
，，
，
，
且当时，单调递增；
当时，单调递减，
，
又，
，解得，
令，
则在上恒大于0，
在上单调递增，
．
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立⇔；
(2)恒成立⇔.
22．如图，在极坐标系Ox中，点，曲线M是以OA为直径，为圆心的半圆，点B在曲线M上，四边形OBCD是正方形．
(1)当时，求B，C两点的极坐标；
(2)当点B在曲线M上运动时，求D点轨迹的极坐标方程．
【答案】(1)点B的极坐标为，点C的极坐标为
(2)
【分析】（1）连接，可得到，通过数据可得到，即可得到点B的极坐标，再算出，即可得到点C的极坐标；
（2）设，，通过题意可得到，通过求出曲线M的极坐标方程即可得到点B的极坐标方程，将上式关系代入即可得到答案
【详解】（1）连接，因为是直径，所以，
在中，，，
∴，∴点B的极坐标为，
在正方形OBCD中，，，
∴点C的极坐标为；
（2）设，，且①，
由题意可得的直角坐标为，所以曲线M的普通方程为即
将代入曲线M的普通方程得极坐标方程为，
当时，O，B两点重合，不合题意，
∴点B的极坐标方程为，
将①式代入得点D的极坐标方程为
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）的解集转化为用零点分段法求不等式的解集即可；
（2）要使不等式有解，转化为解不等式即可．
【详解】（1）∵函数，
∴当时，；
化为，解得，∴；
当时，；
化为，解得，∴无解；
当时，，
化为，解得，∴．
综上，的解集为.
（2）由（1）得的最小值3，
原不等式有解等价于的最小值，
∴，
即，解得或，
∴实数a的取值范围为．
优秀
非优秀
合计
男
5
女
35
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
优秀
非优秀
合计
男
5
45
50
女
15
35
50
合计
20
80
100