2023届四川省内江市第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题含答案

这是一份2023届四川省内江市第一中学高三上学期10月月考数学（理）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合A＝{x|x2﹣25＜0}，B＝{x|x2﹣4x+3＜0}，则A∩B＝（ ）.
A．{x|3＜x＜5}B．{x|﹣5＜x＜5}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣5＜x＜1}
【答案】C
【分析】求出集合A，B，再由交集定义求出．
【详解】∵集合，
，
∴．
故选：C．
2．复数的共轭复数是（其中为虚数单位），则的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数的共轭复数求出复数，再由虚部的定义即可求解.
【详解】复数的共轭复数是，
所以，所以的虚部是，
故选：D.
3．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
【答案】A
【分析】利用正态分布的性质即可得出结果.
【详解】因为随机变量服从正态分布，，
所以，
.
故选：A
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
【答案】A
【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5．若满足约束条件，则的最大值为
A．B．C．13D．
【答案】A
【详解】试题分析：作出可行域，如图内部（含边界），作直线，易知向上平移直线时，增大，当过点时，取得最大值．故选A．
【解析】简单的线性规划问题．
6．已知，，且与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】因为，，且与的夹角为，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，.
故选：A.
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得结果．
【详解】解：由题意可知，，
故选：A.
8．函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数图象易知，即可求出，再根据，而，根据三角函数的性质即可知．
【详解】由图象知，，又，，所以.
故选：A.
9．某市决定派出6个医疗小组驰援某地甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30B．60C．90D．180
【答案】A
【分析】利用分步乘法计数原理先分组再分配即可求解.
【详解】根据题意，分2步进行：
①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：A.
10．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【详解】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
11．已知偶函数的定义域为，导函数为，，，则不等式的解集为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【解析】设得出为偶函数，再由得出的单调性，不等式可化为，进而由的单调性、奇偶性结合，从而得出不等式的解集.
【详解】设，则易知为偶函数
又
则当时，函数为增函数
当时，函数为减函数
又，不等式可化为
即，所以或，所以不等式的解集为或
故选：D.
【点睛】求解本题有三个难点：一是构造函数；二是确定函数的单调性；三是将原不等式转化为，且求出，再通过单调性求解.解题过程环环相扣，有一处出现错误，就不能得出正确结果.
12．已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为与图象有三个交点，分析分段函数的性质并画出图象，即可确定k的范围.
【详解】由题意，与图象有三个交点，
当时，，则，
∴在上，递增，在上，递减，
∴时，有最大值，且在上，在上.
当时，单调递增，
∴图象如下
∴由图知：要使函数有三个零点，则.
故选：C.
二、填空题
13．在的展开式中，的系数为 .
【答案】28
【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.
【详解】由题意得的展开式的通项为，
令，
则的系数为，
故答案为：28
14．已知函数是奇函数，则 .
【答案】
【分析】根据函数为奇函数，求出当时的解析式，进而求出.
【详解】因为当时，，
所以.
因为是奇函数，所以，所以当x<0时，，
则，所以.
故答案为：
三、双空题
15．在中，内角所对的边分别是，已知，，的面积为，则的值为 ， .
【答案】 4.
【分析】由条件利用正弦定理求得，，再由余弦定理求得的值，利用同角三角函数基本关系式求得的值，根据三角形的面积公式可求，进而可求的值．
【详解】解：在中，∵，
，
∴，
∴由①②可得.
∴由余弦定理可得＝＝，
∴＝，
又∵的面积为＝，解得，③
∴由②③解得，可得.
故答案为：，4.
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想．
四、填空题
16．已知函数是上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列四个结论：
①
②点是函数图象的一个对称中心；
③函数在上有2023个零点；
④函数在上为减函数；
则所有正确结论的序号为 .
【答案】①②③
【分析】结合函数的奇偶性、单调性、周期性对个结论进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意是定义在上的奇函数，
由于当，且时，都有，
即
所以在区间上递增，
由，以替换得，
由，令得，
所以，
所以，所以是周期为的周期函数.
所以，，
以此类推可知，
，，
以此类推可知，
所以，①正确.
由上述分析可知，
所以，所以关于对称，
结合是周期为的周期函数可知关于点对称，②正确.
对于③，由，
以替换得，
所以关于直线对称，
是奇函数，，在上递增在上递增；
则在上递减.
结合是周期为的周期函数，以及，可知函数在上有2023个零点，③正确.
对于④，结合上述分析可知，在上递增，在上递减.
由于是周期为的周期函数，所以在，即上递增，所以④错误.
故答案为：①②③
五、解答题
17．致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的100位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀．
(1)根据以上数据完成列联表，并判断是否有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
(2)某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于80分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加10分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望．
参考公式：，．
附表：
【答案】(1)列联表见解析，没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关
(2)分布列见解析，期望值为2.5分
【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算K2的观测值k0，与相应临界值比较即可得到结论；
（2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可.
【详解】（1）
假设: 此次竞赛成绩与性别无关.
,
所以没有90%的把握认为此次竞赛成绩与性别有关；
（2）p,
P(X=0)=
P(X=5)=,
P(X=10)=,
X的分布列为：
期望值E(X)=5×+10×=2.5（分）
18．函数在点处的切线斜率为．
（1）求实数a的值；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）3；（2）增区间为，减区间为．极小值，无极大值．
【分析】（1）根据导数的几何意义，导数值为切线的斜率求出实数的值；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值.
【详解】解：（1）函数的导数为，
在点处的切线斜率为，
，即，；
（2）由（1）得，，
令，得，令，得，
即的增区间为，减区间为．
在处取得极小值，无极大值．
【点睛】本题考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值问题，属于容易题．
19．已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，求的面积.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x），利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．
（2）由题意可得sin（2A）＝1，结合范围2A∈（，），可求A的值，由正弦定理可得a，由余弦定理b，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）∵sin2x﹣cs2x＝2sin（2x），
令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得kπx≤kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）＝2sin（2A）＝2，
∴sin（2A）＝1，
∵A∈（0，π），2A∈（，），
∴2A，解得A，
∵C，c＝2，
∴由正弦定理，可得a，
∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，可得6＝b2+4﹣2，解得b＝1，（负值舍去），
∴S△ABCabsinC（1）．
【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的单调性，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．设等差数列的前n项和为，且．
(1)求；
(2)记，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本量法求解即可；
（2）由（1）有，再裂项求和证明即可
【详解】（1）设数列的首项为，公差为d，
由，得，解得
．
（2）证明：，
．
21．已知函数.
（1）若函数在定义域上的最大值为1，求实数的值；
（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的实数的最小整数值.
【答案】（1）（2）.
【分析】（1）先对函数求导，得到，分别讨论，两种情况，判定函数单调性，根据函数的最大值，即可求出结果；
（2）先由题意，将问题转化为：得到，对任意的恒成立；
再由，转化为：只需对任意的恒成立即可，令，用导数的方法求其最大值，即可得出结果.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
当时，，在区间上单调递增，
∴在定义域上无最大值．
当时，令，，
由，得，，，
的单调递增区间为，的单调递减区间为，
所以函数，
即为所求．
（2）由，因为对任意的恒成立，
即，当时，对任意的恒成立，
∵，．
∴，
只需对任意的恒成立即可．
构造函数，，
∵，∴，且单调递增，
∵，，∴一定存在唯一的，使得
即，．∴单调递增区间为，单调递减区间为．
∴，
∴的最小整数值为．
【点睛】本题主要考查已知函数最值求参数的问题，以及导数的方法研究不等式恒成立的问题，属于常考题型.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.
【答案】（1）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）.
【分析】（1）先将曲线化为普通方程，然后再化为极坐标方程，曲线直接利用公式化为极坐标方程即可；
（2）根据极径的几何意义，建立极径之间的关系，再通过三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）因为曲线的普通方程为，
所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).
因为曲线的普通方程为，即，
所以曲线的极坐标方程为，即.
（2）设，，则，，
因为是线段的中点，所以，
即，整理得，所以，
因为，所以，所以，所以.
23．已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后求解；
（2）由绝对值三角不等式求得的最小值，然后解相应不等式可得．
【详解】解：（1）若，则，原不等式可化为：
则或或
即或或
综上，不等式的解集是；
(2) 不等式对任意实数x都成立，即恒成立，
又由绝对值三角不等式：
（当且仅当时，等号成立）
所以只需，解得或．
成绩
人数
5
10
15
25
20
20
5
优秀
非优秀
合计
男
10
女
35
合计
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
优秀
非优秀
合计
男
10
40
50
女
15
35
50
合计
25
75
100
X
0
5
10
P