2023届四川省内江市内江市第二中学高三上学期11月月考数学（理）科试题含答案

这是一份2023届四川省内江市内江市第二中学高三上学期11月月考数学（理）科试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再与集合求交集.
【详解】因为，
=，
所以．
故选：D
2．已知（i是虚数单位）的共轭复数为，则的虚部为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】B
【分析】利用复数除法运算化简，求得，进而确定的虚部.
【详解】，
所以，的虚部为.
故选：B
3．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则芒种日影长为（ ）
A．1.5尺B．2.5尺C．3.5尺D．4.5尺
【答案】B
【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
【详解】解：设数列为，首项为，公差为，
则，
，
解得，，
芒种日影长为．
故选：B．
4．已知，且，则（ ）
A．B．C．－D．
【答案】A
【分析】由已知求得的正弦值余弦值即可求得.
【详解】由已知得，又因为，故
故选：A
5．已知曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求导，利用导数的几何意义求得切线的斜率，再由已知的切线方程得到斜率，由此可求得，进而求得切点，再将切点代入切线方程即可求得.
【详解】因为，所以，
所以曲线在处的切线的斜率为，
又因为切线方程为，即，得，
所以，解得，
所以当时，，即切点为，
将其代入切线方程得，得.
故选：A.
6．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.
故选：B
7．如图，一座垂直建于地面的信号发射塔的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出AD，BD，再利用余弦定理计算作答.
【详解】依题意，在中，，则m，
在中，，则m，
在中，，由余弦定理得：，
即，解得m，即有，
所以他的步行速度为.
故选：D
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据奇偶函数的定义，判断函数奇偶性，利用导数研究该函数的单调性，可得答案.
【详解】由，则其定义域为，
因为，故函数为偶函数，
，，
令，解得，可得下表：
故选：A.
9．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），与死亡年数之间的函数关系式为（其中为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：
参考时间轴：
A．宋B．唐C．汉D．战国
【答案】D
【分析】根据给定条件可得函数关系，取即可计算得解.
【详解】依题意，当时，，而与死亡年数之间的函数关系式为，
则有，解得，于是得，
当时，，于是得：，解得，
由得，对应朝代为战国，
所以可推断该文物属于战国.
故选：D
10．在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，，再根据“”的代换即可求出．
【详解】因为，所以，即，
由三点共线可得，且，
所以，
当且仅当，即时取等号．
故选：D．
11．已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】D
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.
【详解】解：由题图可得，，故，所以，
又，即，所以，
又，所以，所以.
当时，，故函数关于对称，故A错误；
当时，，即函数关于对称，故B错误；
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数
的图象，故C错误；
当时，，则当，即时，单调递减，
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D正确.
故选：D
12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则不等式在上的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据对称性及奇偶性得到函数的周期，以及大概的图像，然后通过题目给出的信息构造相应的函数，证明其单调性，最后通过数形结合得到结果.
【详解】由题可得函数关于轴对称，
又因为为奇函数，所以关于原点中心对称，由此可得函数是周期为2的函数，
因为当是，令，所以
即在上单调递增，所以，即
又因为时，，所以
所以在上，，
由函数的对称性和周期性，做出函数的草图及的图像
结合图像，可得不等式在上的解集为
故选：A
二、填空题
13．的展开式中，的系数是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】结合乘法分配律以及二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由题意可知，展开式的通项为，
则的展开式中，
含的项为，
所以的系数是.
故答案为：
14．在数列{an}中， ，若 的前n项和为，则项数n＝ .
【答案】2022
【分析】利用裂项求和法求得 的前n项和的表达式，由题意列出方程，求得答案.
【详解】由题意得，
＝＝，
∴n＝2022,
故答案为：2022
15．在中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足，A、B、C成等差数列，则角C= ．
【答案】或
【分析】由正弦定理化边为角，利用二倍角的正弦公式得到，再由三角形内角的范围得到或．由成等差数列求出角，最后结合三角形内角和定理得答案．
【详解】由，利用正弦定理得：，
即，∴，
∵，，．
∴或．
∴或．
又成等差数列，则，由，得．
当时，；
当时，．
∴或．
故答案为：或.
16．已知函数的导函数满足：，且，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
【答案】
【分析】设，求导可得（C为常数），根据求得C，即可得.则可转化为，构造，即，结合的单调性可得对任意的恒成立.令，根据导数求出其最大值即可得实数的最小值.
【详解】设，则，
故（C为常数）.
因为，所以，解得.
所以.
则对任意,不等式恒成立，
即对任意,不等式恒成立，
即对任意,不等式恒成立，
令，则，
所以在上单调递增.
即为
故对任意的恒成立，即对任意的恒成立.
令，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故.
所以,即.
则实数的最小值为.
故答案为:.
【点睛】导数求参数的范围点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
三、解答题
17．已知函数在处取得极值1.
(1)求；
(2)求函数在上的最值.
【答案】(1)；
(2)最大值为5，最小值为1.
【分析】（1）首先求出导函数，然后利用题干已知的极值点与极值列出方程组，求解出参数值并验证.
（2）结合（1）的计算结果，利用导数求出在给定区间上的最值即可.
【详解】（1）由，结合题设，
有，的，所以或；
当时，在上恒为增函数，故不是极值点.
当时，，
当时，，即在上单调递增，
但时，，即在上单调递减，
是极小值点，符合题意，故.
（2）由（1）知，
所以在和上单调递增，在上单调递减.，
所以在上的最大值和最小值分别为：和.
18．某中学组织一支“雏鹰”志愿者服务队，带领同学们利用周末的时间深入居民小区开展一些社会公益活动．现从参加了环境保护和社会援助这两项社会公益活动的志愿者中，随机抽取男生80人，女生120人进行问卷调查（假设每人只参加环境保护和社会援助中的一项），整理数据后得到如下统计表：
(1)能否有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关？
(2)以样本的频率作为总体的概率，若从本校所有参加社会公益活动的女生中随机抽取4人，记这4人中参加环境保护的人数为，求的分布列和期望．
附：，其中．
【答案】(1)没有
(2)分布列见解析，
【详解】解：（1）因为，
所以没有99％的把握认为学生参加社会公益活动所选取的项目与学生性别有关．
（2）由统计表得，女生参加环境保护的频率为，
故从女生中随机抽取1人，此人参加环境保护的概率为，
由题意知，，
则，．
的分布列为
故
19．在锐角中，三个内角，，所对的边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理和和差角公式转化为，即可求出角A;
（2）利用正弦定理表示出，，得到周长为利用三角函数求最值，即可求出周长
【详解】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，则，，
，，
周长为
，
又锐角，，结合
，，，，即周长的范围是.
20．在数列中，，，，其中.
(1)证明数列是等差数列，并写出证明过程；
(2)设，且，数列的前项和为，求；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等差数列的定义只需证明为常数，即可得证；
（2）由（1）可得，即，利用错位相减法计算可得.
【详解】（1）解：因为，，，
所以
，
又，所以数列是以为公差，为首项的等差数列；
（2）解：由（1）可得，所以，
所以①，
②，
所以①②得
，
所以.
21．已知函数
(1)若，求的极小值
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有2个零点.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得的极小值.
（2）先求得，然后通过构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论，从而求得函数的单调区间.
（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.
【详解】（1）当时，，的定义域为，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以当时，取得极小值.
（2）的定义域为，
.
令，
当时，恒成立，所以即在上递增.
当时，在区间即递减；
在区间即递增.
（3）当时，，，
由（2）知，在上递增，，
所以存在使得，即.
在区间递减；在区间递增.
所以当时，取得极小值也即是最小值为，
由于，所以.
，
，
根据零点存在性定理可知在区间和各有个零点，
所以有个零点.
【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)设点，直线与曲线交于，（均异于点）两点，若，求的值.
【答案】(1)；；
(2)或.
【分析】（1）消去参数可得C的普通方程，根据极坐标与直角坐标转化公式可求直线直角坐标方程；
（2）将直线的参数方程代入曲线普通方程，消元后根据参数的几何意义求解.
【详解】（1）由（α为参数），得，
故曲线的普通方程为，
由，得，
故直线的直角坐标方程为；
（2）由题意可知直线l的参数方程为（t为参数），
将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，
设对应的参数分别是，，则，，
因为，
所以，解得或.
23．已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）.
【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数的解析式，作出图象；
（2）作出函数的图象，根据图象即可解出．
【详解】（1）因为，作出图象，如图所示：
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．
所以不等式的解集为．
【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．
极小值
极小值
女生
男生
合计
环境保护
80
40
120
社会援助
40
40
80
合计
120
80
200
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
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