2024届辽宁省大连市第二十中学高三上学期期初考试数学试题含答案

这是一份2024届辽宁省大连市第二十中学高三上学期期初考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定相关知识直接求解.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
2．已知集合，，，则实数m的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】根据集合与的关系可以得到或或，排除后两种情况即可得解.
【详解】
或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）
故选：B
3．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值法可判断ABC选项，利用对数函数的单调性可判断D选项.
【详解】当，时，，则A错误.
当，时，，则B错误.
当，时，，则C错误.
由，得，则D正确.
故选：D.
4．已知函数在处取得极值5，则（ ）
A．B．C．3D．7
【答案】A
【分析】求出函数的导数，得到关于,的方程组，解出即可．
【详解】函数，
则，
因为在处取极值5，
所以，解得：，
经检验满足题意.
故.
故选：A
5．已知，，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数函数与指数函数的性质比较与的大小即可得结论.
【详解】因为，，，
所以．
故选：D.
6．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”如下：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得十钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得10钱，则分到钱的人数为（ ）
A．10B．15C．105D．195
【答案】B
【分析】由“将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱”可知第一人到最后一个钱数构成一个首项为3且公差为1等差数列，可令其为，设人数为，由等差数列求和公式构建方程，可得分到钱的人数.
【详解】设共有人，第一人到最后一个钱数构成一个首项为3且公差为1等差数列，
令其为，则……
解得
故选：B.
7．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，．若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ）
A．12010B．12100
C．11200D．11202
【答案】D
【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前100项的和.
【详解】因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，
所以，，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，可得，
，，，
，，，
，，不合题意，
所以
.
故选：D.
8．已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】构造函数，由导数确定其单调性，可判断各选项．
【详解】设，则，由已知得，
所以是上的减函数，
∴，即，
即，，
故选：D．
【点睛】方法点睛：需要利用导数比较函数值大小时，常常根据已知条件构造新函数（如，，，，求导后得出的单调性，然后由单调性比较出大小．
二、多选题
9．下列求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】根据求导公式分别检验各项即可得出结果.
【详解】对于，的导数为，故选项正确；
对于，的导数为，故选项错误；
对于，的导数为，故选项错误；
对于，的导数为，故选项正确，
故选：AD.
10．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】由等差数列前项和公式求出，再结合通项公式和前项和公式逐项辨析即可.
【详解】方法一：
∵等差数列满足，，
∴由等差数列前项和公式有，解得，
∴，，
对于A，，故选项A正确；
对于B，，当取与最接近的整数即或时，最大，∴，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误.
方法二：
∵等差数列满足，
∴，∴
对于A，，∴，故A正确；
对于B，，，，∴，故选项B正确；
对于C，，故选项C错误；
对于D，，故选项D错误.
故选：AB.
11．在数列中，，且对任意不小于2的正整数n，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．成等比数列
D．
【答案】BCD
【分析】先求出，然后当时，由，得，两式相减化简可得，从而可求得，然后逐个分析判断即可.
【详解】当时，，
当时，，则，
所以，所以，
所以，所以，
所以
因为不满足上式，所以，所以A错误，
对于B，因为，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，则，所以成等比数列，所以C正确，
对于D，因为，所以当时，
，
当时，满足上式，所以，所以D正确，
故选：BCD
12．定义在R上的函数与的导函数分别为和，若，，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．B．函数关于对称
C．函数是周期函数D．
【答案】ACD
【分析】由为奇函数可得，由取导数可得，结合条件可得，判断B，再由条件判断函数，的周期，由此计算，判断C，D.
【详解】因为为奇函数，所以，
取可得，A对，
因为，所以
所以，又，即，
，故，
所以函数的图象关于点对称，B错，
因为，所以
所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，
所以，又，即，
所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，
所以
，
所以，
故的值为0，D正确；
因为，即
故函数也为周期为4的函数，C正确.
故选：ACD.
【点睛】本题的关键在于结合，，且为奇函数三个条件，得到函数，的周期，利用对称性和周期性判断各个选项.
三、填空题
13．已知，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】由于可得，而已知，代入可求得的最小值.
【详解】
，
当且仅当，即时，等号成立．
14．记为等比数列的前n项和，已知，，则 ．
【答案】4
【分析】根据等比数列前项和的性质结合题意直接求解
【详解】因为为等比数列的前n项和，，，
所以由等比数列的性质可得，，成等比数列，
所以．
故答案为：4
15．已知函数，的最大值为，最小值为，则 .
【答案】
【分析】构造，定义判断奇偶性，利用对称性有，即可求结果.
【详解】令，且，
，
所以为奇函数，且在上连续，
根据奇函数的对称性：在上的最大、最小值关于原点对称，
则，故.
故答案为：
16．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ．
【答案】
【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离.
【详解】由题意可得，令得
所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以，
所以的图象如下图：

要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时，
与的距离即为A，B两点之间最小的距离，
令，解得．由，
所以直线的方程为，即
则与的距离的距离，
则A，B两点之间的最短距离是．
故答案为：．
四、解答题
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值．
【答案】(1)
(2)极小值，无极大值
【分析】（1）由导数的几何意义，求在处的斜率，进而得到切线方程；
（2）根据导函数的正负判断单调区间，再求极值即可.
【详解】（1）由题知，，，
∴，而，
∴曲线在点处的切线方程为，即．
（2）令得；令得，
∴的单调减区间是，的单调增区间是．
∴当时，取极小值，无极大值．
18．不等式的解集是，集合．
(1)求实数a，b的值；
(2)若集合A是B的子集．求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入求解即可；
（2）由（1）化简集合，再分类讨论，利用集合的包含关系求参数即可得解.
【详解】（1）由题意知，且方程的两个根为，代入得
，解得.
（2）由（1）知 ，故集合，
于是有，可得，
若，可得，解得；
若， 可得，解得；
若符合条件.
故实数的取值范围是.
19．已知数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的关系结合等差的定义求解即可；
（2）由错位相减法求解即可；
【详解】（1）因为，所以．
又因为，．
所以，，即，，
所以是公差为2的等差数列．
因为，所以．
（2）．
，①
．②
①②得
，所以．
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.
【答案】(1)结论见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类探讨的正负作答.
（2）等价变形给定等式，结合时函数的单调性，由，，再构造函数，，利用导数、均值不等式推理作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得则，由得，
若，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
若，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由，两边取对数得，即，
由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
，而，时，恒成立，
因此当时，存在且，满足，
若，则成立；
若，则，记，，
则，
即有函数在上单调递增，，即，
于是，
而，，，函数在上单调递增，因此，即，
又，则有，则，
所以.
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.