2023届江苏省扬州市仪征中学高三上学期期初学情检测数学试题含答案

2023届江苏省扬州市仪征中学高三上学期期初学情检测数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据对数函数性质确定集合，然后由交集定义计算．

【详解】由题意，∴．

故选：C．

2．已知是关于x的方程的根，则实数（    ）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.

【详解】因为是关于x的方程的根，则另一根为

由韦达定理得，所以

故选：B

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.

【详解】由题意可得：，

则：，，

从而有：，

即.

故选：B.

【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.

4．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将，代入，得到，再解方程即可.

【详解】由题知：将，代入，

得：，化简得.

即，解得.

故选：A

5．的二项展开式中，奇数项的系数和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设，令、计算即可求解.

【详解】设，

令可得，

令可得，

两式相加可得：，

所以奇数项系数之和为，

故选：C.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】确定函数图象关于直线对称，排除AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除B，得出正确结论．

【详解】函数定义域是，由于的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，因此的图象关于直线对称，排除AC，

有无数个零点，因此也有无数个零点，且当时，，排除B．

故选：D．

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

7．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在椭圆上且位于第一象限，满足，的平分线与相交于点B，若，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解法一：首先设，，在与中，求的值，求得，中，由勾股定理即可求得离心率；

解法二：首先设，，再利用椭圆定义，角平分线定理，以及勾股定理，分布列式，化简为关于的齐次式子，即可求解离心率.

【详解】解法一  设，，则.由，

得.因为，所以.

在与中，，所以，即，得.因为，所以，所以，得，即，则，于是在中，由勾股定理，得，整理得，得，

故选：D.

解法二  设，，由得，.因为，所以，在中，由勾股定理，得①.由椭圆的定义得②.因为平分，所以，即③，联立①②③并化简得，则，得.

故选：D.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，求导得其单调性，再利用单调性，即可判断出的大小关系.

【详解】设，，

因为，令，得；

令，得．

所以在上单调递增，在上单调递减，

而，

，

，

因为，所以．

故选：A．

二、多选题

9．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为

B．将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象

C．在上单调递增

D．点是图象的一个对称中心

【答案】ACD

【解析】A选项用三角函数最小正周期公式确定正确性，B选项根据图象变换确定正确性，C选项通过求单调区间来确定正确性，D选项利用代入法确定正确性.

【详解】的最小正周期为，故A选项正确.

的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故B选项错误.

由，，所以在上单调递增，C选项正确.

，所以点是图象的一个对称中心，故D选项正确.

故选：ACD

10．下列命题正确的是（    ）

A．若为复数，则

B．若为向量，则

C．若为复数，且，则

D．若为向量，且，则

【答案】AD

【分析】根据复数运算、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】令，，，

，

，，

，A对；

，不一定成立，B错；

，，

，，

，C错．

将两边平方并化简得，D对.

故选：AD

11．已知正四棱台的上下底面边长分别为4，6，高为，E是的中点，则（    ）

A．正四棱台的体积为

B．正四棱台的外接球的表面积为104π

C．AE∥平面

D．到平面的距离为

【答案】BCD

【分析】利用正四棱台的体积计算可判断A；连接相交于，连接相交于，分外接球的球心在正四棱台的内部、内部，

根据、，求出可判断B；取的中点，利用面面平行的判断定理可判断平面平面，从而可判断C；以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可判断D.

【详解】正四棱台的体积为，

，故A错误；

连接相交于，连接相交于，

如果外接球的球心在正四棱台的内部，

则在上，，

因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，

设外接球的半径为，所以，即

，无解，所以外接球的球心在正四棱台的外部，如下图，

则在延长线上，，

因为上下底面边长分别为4，6，所以 ，，

设外接球的半径为，所以，即

，解得，

所以正四棱台的外接球的表面积为，故B正确；

取的中点，连接，，连接，

所以，所以是的中点，因为，所以，

又，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，

所以，平面，平面，所以平面，

因为，所以，

平面，平面，所以平面，

因为，所以平面平面，

因为平面，所以平面，

故C正确；

以为原点，所在的直线分别为建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

所以，即，令可得，

到平面的距离为，故D正确.

故选：BCD.

三、单选题

12．某岗位聘用考核设置2个环节，竞聘者需要参加2个环节的全部考核，2个环节的考核同时合格才能录用．规定：第1环节考核3个项目，至少通过2个为合格，否则为不合格；第2环节考核5个项目，至少连续通过3个为合格，否则为不合格．统计已有的测试数据得出第1环节每个项目通过的概率均为，第2环节每个项目通过的概率均为，各环节、各项目间相互独立，则（    ）

A．竞聘者第1环节考核通过的概率为

B．若竞聘者第1环节考核通过个项目，则的均值

C．竞聘者第2环节考核通过的概率为

D．竞聘者不通过岗位聘用考核可能性在95%以上

【答案】B

【分析】设分别为两个环节第个项目通过，则，然后根据相互独立事件的概率的求法逐个分析判断即可

【详解】设分别为两个环节第个项目通过，则，且间相互独立，

对于A，竞聘者第1环节考核通过的概率为，所以A错误，

对于B，由题意可得可能取0，1，2，3，则，

，

，

，

所以，所以B正确，

对于C，竞聘者第2环节考核通过的概率为

，所以C错误，

对于D，由AC选项可得竞聘者不通过岗位聘用考核概率为，所以D正确，

故选：B

四、填空题

13．已知函数，①，②，请写出一个同时满足条件①②的函数的解析式为      ．

【答案】

【分析】根据函数的性质，由，可知 是周期函数，且为偶函数，以及关于直线对称，结合这些性质即可求解.

【详解】由①知的图象关于直线对称，由②知为偶函数，所以，故为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为．

故答案为：（答案不唯一，只要符合条件即可）

14．已知，，，，过点O作OD垂直AB于点D，点E满足，则的值为          .

【答案】

【分析】先求得，利用余弦定理求得，利用等面积法求得，根据数量积的定义求得.

【详解】，

由于，所以，

，

，

由于，所以，

，

所以，

所以.

故答案为：

15．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为       ．

【答案】

【分析】由题意可得数列为等差数列，进而可得，及，利用基本不等式可得最值.

【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，

构成首项为，公差为的等差数列，

所以，，

从而，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为，

故答案为：.

16．已知恰好有三个零点，则实数a的取值范围是           .

【答案】

【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，由图象可知f（x）有三个零点时实数a的取值范围．

【详解】当时，，，故在上单调递增；

当时，，由可得，当时，，

当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，

作出函数（x∈R）的图象，

在同一坐标系内再作出（x∈R）的图象，

由图象可知要使恰好有三个零点，

即函数f（x）的图象与x轴有三个交点， 只需0≤a＜2，

故答案为：[0，2）.

五、解答题

17．已知数列的首项，

(1)求证数列为等比数列；

(2)记，若，求n的最大值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意化简得到，结合等比数列的定义，即可求解；

（2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，得到，求得的值，即可求解．

【详解】（1）解：由，可得，

又由，可得

所以数列表示首项为，公比为的等比数列．

（2）解：由（1）得，所以

当时，可得；

当时，可得，

所以的最大值为．

18．已知锐角中，角、、所对边为、、，且．

(1)求角；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；

（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于的三角函数，根据的取值范围及正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：因为，所以，

所以，从而，

即，

所以，因为，所以．

（2）解：因为，，由正弦定理，有

所以，，

所以，

又因为为锐角三角形，

所以，即，所以，

所以，从而的取值范围为．

19．如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．

(1)证明：平面平面；

(2)求二面角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先根据线面垂直的性质与判定证明，再根据勾股定理证明，进而根据线面垂直得到平面，从而根据面面垂直的判定证明即可

（2） 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再分别求解平面的一个法向量，进而得到面面角的正弦即可

【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，

又，，，平面，所以平面．

又平面，所以．

又因为，，所以，所以．

又，，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．

（2）以 为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示．

因为，，

所以，，，，．

设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，且，，，，

因为所以令，则，，所以．

又因为所以令，则，，所以．

所以．

设二面角的大小为，则，

所以二面角的正弦值为．

20．日前，中华人民共和国应急管理部公布了《高层民用建筑消防安全规定》.其中提到：在公共门厅等地停放电动车或充电，拒不改正的个人，最高可处以100元罚款，为了研究知晓规定是否与年龄有关，某市随机抽取125名市民进行抽样调查，得到如下2×2列联表∶

参考公式∶，其中

(1)根据以上统计数据，是否有的把握认为知晓规定与年龄有关?

(2)将上述调查所得的频率视为概率，现在从本地所有市民中，采用随机抽样的方法抽取 位市民，记被抽取的位市民中知晓规定的人数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)有的把握认为知晓规定与年龄有关

(2)分布列见解析，

【分析】（1）计算，比较临界值，能求出是否有的把握认为知晓规定与年龄有关；

（2）根据次独立重复试验，计算概率，能求出的分布列及数学期望．

【详解】（1）

，

有的把握认为知晓规定与年龄有关．

（2）随机抽取一位市民知晓规定的概率为，

的所有可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

，

的分布列为：

，．

21．已知曲线的焦点为，曲线上有一点满足，过原点作两条相互垂直的直线交曲线于异于原点的两点.

(1)求证：直线与轴相交于定点；

(2)试探究轴上是否存在定点满足恒成立.若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）由焦半径公式代入求解，从而得抛物线方程；设直线方程，联立方程组，通过可得的值，即可求出定点坐标；

（2）由题意得出轴为的角平分线，将韦达定理代入所给条件求解即可．

【详解】（1）解：在，即，解得，

所以，

故抛物线为，

易知直线的斜率不为，

故设，，，联立，

故，，所以，

因为，则，

则或（舍，故．

（2）解：假设存在设，其中，因为，那么，则轴为的角平分线，

若，则垂直于轴，轴平分，

则垂直于轴，则直线的方程为，此时，

而，相异，故，

同理故与的斜率互为相反数，

即

为定值．

故当时，恒成立．

22．已知函数（为自然对数的底数）.

(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；

(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）先判断在上单调递增，再利用单调性解不等式得解；

（2）等价于对恒成立，令，利用二次求导对分类讨论求函数的最大值得解.

【详解】（1）解：，由复合函数的单调性原理得在上单调递增，由得，即.

（2）解：对恒成立

令，，

，在上单调递减，

，

若，即时，在上恒成立，则在上单调递减，符合题意.

若，即时，

（i）若，则，在上单调递增，这与题设矛盾，舍去.

（ii）若，则存在使，且当时，单调递增，此时这与题设也矛盾，舍去.

综上：实数的取值范围为.