2024届湖北省部分名校高三上学期新起点8月联考数学试题含答案

这是一份2024届湖北省部分名校高三上学期新起点8月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届湖北省部分名校高三上学期新起点8月联考数学试题

一、单选题
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】解两个集合中的不等式，得到这两个集合后求并集.
【详解】不等式解得，不等式解得，
则，，
.
故选：B.
2．已知复数满足，则（   ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的运算求得，再求复数的模即可.
【详解】依题意，，所以.
故选：C
3．已知向最，向量满足，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设向量，根据题意即可解得，由模长的坐标表示即可得出结果.
【详解】设，由可得，
又，由可得
解得，即，所以.
故选：D
4．下列函数中，函数值域与函数的值域完全相同的有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用对勾函数的性质，求各函数的值域，比较即可，
【详解】对勾函数，，当定义域为时，有；有，
所以对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
时，函数有最小值2，趋近于0时，函数值趋近于.
函数定义域为，则，由对勾函数的性质可得，
当时有最小值2，则函数的值域为.
函数中，有，由对勾函数的性质可得，
当时有最小值2，则函数的值域为.
，有，由对勾函数的性质可得，当时有最小值2，则函数的值域为.
，当时，，的值域与函数的值域不相同.
，当时，，的值域与函数的值域不相同.
所以的值域与函数的值域完全相同.
故选：B
5．等差数列中，是数列的前项和，是自然对数的底数，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的性质以及前项和公式求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：A
6．已知，若，则（      ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同角三角函数基本关系及二倍角公式求解，再利用诱导公式及两角和的余弦公式求解即可.
【详解】，
，
，

.
故选：B
7．如图，已知圆柱底面半径为2，高为3，是轴截面，分别是母线上的动点（含端点），过与轴截面垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范围是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由与接近平行时，交线接近是一个圆，时，交线是一个长轴最大的椭圆求解.
【详解】解：当与接近平行时，交线接近是一个圆，离心率接近0；
当时，交线是一个长轴最大的椭圆，
此时长轴长为，解得，
又短半轴长为，则焦距的一半为，
所以离心率，
所以离心率的取值范围是.
故选：A
8．已知函数，则的大小关系为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先判断函数的奇偶性和单调性，再结合函数的单调性判断，再构造函数，并判断函数的单调性，得到，最后结合函数的单调性，即可判断选项.
【详解】函数的定义域为，
为偶函数，
，所以，
当时，，所以在上单调递增，
，易知，
对于与，同时取对数可得与，
构造函数，则，
令可得，令可得，
故在上单调递增，在上单调递减，即，
化简得，
又在上单调递增，故，即得，
因为函数在上单调递增，
所以，即.
故选：D

二、多选题
9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2台加工的次品率为，第3台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.036
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0. 98
D．如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为
【答案】BC
【分析】结合条件概率公式的变形可判断A；根据全概率公式判断B；根据对立事件的概率计算判断C；根据条件概率以及对立事件的概率计算判断D.
【详解】记事件A：零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，
，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为，故C正确；
对于D，如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为，故D错误，
故选：BC
10．已知函数，则下列说法正确的是（    ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．若函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则可以为
D．函数为偶函数
【答案】AC
【分析】先化简，由正弦函数的最小正周期公式可判断A；将代入可验证B；由三角函数的平移变换可判断C；由奇偶函数的定义可判断D.
【详解】
，
的最小正周期为，故A正确；
当时，不是的一条对称轴，故B错误；
函数的图象向右平移个单位后得到
，
由题意，函数的图象关于轴对称，
，即，
当时，，即函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，
则可以为，故C正确；
易知函数的定义域为，又
，
∴ 函数不是偶函数，故D错误.
故选：AC.
11．下列说法正确的是（    ）
A．已知命题，则
B．“函数是偶函数”的必要条件是“函数满足”
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．若，则三次函数有且仅有一个零点
【答案】ACD
【分析】根据全称命题的否定判断A；根据必要条件以及充分条件的判定判断B；根据正态分布的对称性判断C；利用导数判断函数单调性，结合零点的判定判断D.
【详解】由含有一个量词的命题的否定定义可知，命题，则，A正确；
由可得，即可得是偶函数，
又由是偶函数，可得，当时，无法推出，
故“函数满足”是“函数是偶函数”的充分条件，故B错误；
随机变量服从正态分布，由正态分布的性质可知，对称轴为，
由可得，故C正确；
三次函数，
，
或恒成立，等号仅在时成立，即在上单调，
又当x取无穷大正数或无穷小的负数时，函数值可以取到正无穷大或负无穷小，
故三次函数有且仅有一个零点，故D正确.
故选：ACD
12．端午节是中华民族的传统节日之一，而粽子是端午节不可缺少的传统美食. 粽子是中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，其主要材料是糯米、馅料，一般用箬叶包裹而成，形状多样，主要有角粽、塔粽、长粽、三角粽、四角粽、枕头粽等，其中塔粽的形状可以近似看成一个四棱锥. 现有一个塔粽，下列说法错误的是（    ）
A．在塔粽中，若，且，分别为的中点，则
B．若塔粽是所有棱长均为的正棱锥，现需要在这个塔粽内部放入一个牛肉丸子（牛肉丸子的形状近似地看成球），则这个牛肉丸子的最大体积为
C．若塔粽是底面边长为3的菱形，且为的中点，，若锐二面角的大小为，则直线与平面所成角的大小为
D．若塔粽的底面是平行四边形，点是侧棱上异于端点的一动点，则在侧棱上存在点，使平面
【答案】ABD
【分析】选项A，判断平面成立的条件；选项B，求正棱锥内切球的体积；选项C，根据二面角的定义，由已知角求边长，再求未知二面角；选项D，根据线面平行的条件判断点是否存在.
【详解】对于选项A，，当点同时是线段和线段的中点时，
，，平面，，
有平面，平面，有，由，才有，
而题设条件并没有说点同时是线段和线段的中点，∴不能得到，故A选项错误；
对于选项B，由题意知，只有当牛肉丸子内切于塔粽时，牛肉丸子的体积才最大，
设塔粽的体积为、表面积为、底面积为、高为h，牛肉丸子的半径为，则，
又∵，∴，，
又，，
∴牛肉丸子的最大体积为，故B选项错误；
对于选项C，过点在平面内作于点，连接（如图），
  
底面边长为3的菱形，且，则为等边三角形，为的中点，则，
，有，平面，，
平面，平面，故，
又，平面，，所以平面，
为在平面内的射影，是直线与平面所成角的平面角，
又，是锐二面角的平面角，
故，又，，
在等边中，，
在中，，
在中，，
，直线与平面所成的角的大小为. 故C选项正确；
对于选项D，设侧棱的中点为，
（1）当点在线段上移动时（点异于线段的端点），则在侧棱上存在点，使平面，
此时为的中点，即. 理由如下：
  
设，连接，易知为的中点，
当时，，平面，平面，
∴平面，故在侧棱上存在点，使平面.
（2）当点在线段上移动时（点与点不重合），要在上找一点使平面，
  
则点在线段的延长线上，且点为线段的中点，不符合题目的要求，
故在侧棱上不存在点，使平面.
综上所述，若塔粽的底面是平行四边形，点是侧棱上异于端点的一动点，
则在侧棱上不一定存在点，使平面. 故D选项错误.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：
空间图形中的垂直，平行和距离问题，要充分利用空间图形的结构特征.

三、填空题
13．若的二项展开式的各项的系数和为64，则其展开式的常数项为 .
【答案】20
【分析】由各项系数和求出，利用展开式的通项求常数项.
【详解】展开式的各项的系数和为64，令，有，解得，
故展开式的通项公式为，
令，解得，故展开式的常数项为.
故答案为：20
14．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，也称陀罗，图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中是圆锥的顶点，分别是圆柱的上、下底面圆的圆心，且，底面圆的半径为1，则该陀螺的表面积是 .
  
【答案】
【分析】求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，进而求出则该陀螺的表面积.
【详解】已知底面圆的半径，由，则，
圆锥的母线长为，圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
故该陀螺的表面积.
故答案为：
15．已知圆，直线，当圆被直线截得的弦长最短时，直线的方程为 .
【答案】
【分析】直线过的定点，当直线垂直于时，圆被直线截得的弦长最短，可求直线的方程.
【详解】由题意，直线的方程化为，
由得
∴直线过定点，显然点在圆内，
要使直线被圆截得弦长最短，只需与圆心的连线垂直于直线，
，解得，
代入到直线的方程并化简得.
故答案为：.
16．以下数表构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.
  
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后行仅有一个数，则这个数为 .
【答案】
【分析】利用归纳推理得出每一行第一个数的规律，继而确定数表的行数，即可求得答案.
【详解】由题意得：除最后两行外，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行的公差为4，…，第k行的公差为，
由数表知第一行的第一个数为：，
第二行的第一个数为：，
第三行的第一个数为：，
第四行的第一个数为：，
…
第行的第一个数为：，
又由于表中的下面一行的数的个数比上一行少一个，且第一行最后一个数为2023，
故数表中共有2023行，∴第2023行只有一个数，且这个数为：，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了归纳推理的知识，解答本题的关键是归纳得出每一行第一个数的规律，从而结合表中的行数，求得答案.

四、解答题
17．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．
(1)求角B的大小．
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理、正弦的两角和公式可求解；
（2）由正弦定理、辅助角公式及三角函数求范围可求得结果.
【详解】（1）由于（2a﹣c）cosB＝bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB＝sinBcosC，
即2sinAcosB＝sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB＝sin（B+C），可得：2sinAcosB＝sinA，
因为sinA≠0，所以，因为，所以．
（2）因为，，由正弦定理可得，
于是，＝＝，
因为△ABC为锐角三角形，且，
所以，，
所以，可得：，
所以△ABC周长的取值范围为：．
18．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节. 为了解某居民小区对垃圾分类的了解程度，随机抽取100名小区居民参与问卷测试，并将问卷测试的得分绘制成下面的频率分布表：
得分







男性人数
6
10
19
6
5
6
3
女性人数
2
5
8
13
11
4
2
(1)将小区居民对垃圾分类的了解程度分为“不太了解（得分低于60分）”和“比较了解（得分不低于60分）”两类，请先完成列联表，然后依据小概率值的独立性检验，分析小区居民对垃圾分类的了解是否与性别有关；
(2)从参与问卷测试且得分不低于80分的小区居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取5人，现从这5人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望.

不太了解
比较了解
合计
男性



女性



合计



附：.

0. 10
0. 05
0. 01
0. 005
0. 001

2. 706
3. 841
6. 635
7. 879
10. 828
【答案】(1)列联表见解析，小区居民对垃圾分类的了解与性别无关
(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）由频率分布表中提供的数据，完成列联表，计算，与临界值比较后确定结论；
（2）根据分层抽样确定样本中男性女性的人数，列出的可能取值，计算相应的概率，得到分布列，根据公式计算期望.
【详解】（1）根据频率分布表得到列联表：

不太了解
比较了解
合计
男性
35
20
55
女性
15
30
45
合计
50
50
100
零假设为：小区居民对垃圾分类的了解程度与性别无关，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即小区居民对垃圾分类的了解与性别无关.
（2）不低于80分的居民的样本中，男性有9人，女性有6人，
故抽取男性人，抽取女性人，
的可能取值为，则
，，
分布列为：

1
2
3




的数学期望为：.
19．如图，在四棱锥中，四边形为菱形，平面，且，点是的中点.
  
(1)求证：平面平面；
(2)在线段上（不含端点）是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在点，使得二面角的余弦值为

【分析】（1）根据四棱锥和菱形性质，利用线面垂直的判定定理即可证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得出证明.
（2）建立以为坐标原点的空间坐标系，设出点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，再由二面角的余弦值为即可求出符合题意的点.
【详解】（1）连接，如下图所示：
  
由四边形为菱形，可得，
又平面，又平面，所以，
，且平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）取的中点，连接，则，依题意易知三条线两两互相垂直，以为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系如下图所示：
  
由，可得
    
设点，则，其中，
由点在线段上，可设（其中），
即，可得，
所以
设为平面的法向量，
则即
令，则
设为平面的法向量，
则即
令，则
依题意可知，
即，
即，即或（舍），所以；
故存在点使得二面角的余弦值为.
20．已知正项数列满足；且对任意的正整数都有成立，其中是数列的前项和，为常数.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，证明：数列的前项和.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由首项可得，再利用即可求得数列是等差数列，进而写出等差数列通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和可得，又，即可得.
【详解】（1）当时，有，可解得；
即，
所以，
两式相减可得，
整理得
又，所以，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
因此.
数列的通项公式为
（2）由可得，
所以，
，
两式相减可得

，
即可得，
又，所以，即；
所以.
21．已知函数.
(1)设函数，且对，成立，求的最小值；
(2)若函数的图像上存在一点与函数的图像上一点关于轴对称，求的长.
【答案】(1)
(2)2

【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，由求的最小值；
（2）问题转化为函数的图像与函数的图像有交点，列等式化简求出交点坐标可得的长.
【详解】（1），函数定义域为R，
则，
由解得，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
，
由题意，则，
则的最小值为.
（2）由题意的图像与函数的图像有交点，
化为有解，
设，则；
则由得，
由得，
消去，得，    
显然；
当时，方程无解；
当时，方程无解；
故此方程的解为，即
，则.
【点睛】方法点睛：
函数的图像上存在一点与函数的图像上一点关于轴对称，可转化为的图像与函数的图像有交点，列出等式，利用指数式和对数式的运算，化简得到点纵坐标，可得的长.
22．直角坐标系中，已知动点到定点的距离比动点到定直线的距离小1，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若，证明：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）由题意动点到定点与到定直线的距离相等，满足抛物线的定义，可求轨迹方程；
（2）设，由得到的关系式，利用导数求过点曲线的切线方程，求出交点的坐标，利用向量法求，结合已知条件化简为常数.
【详解】（1）由题意，动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，
满足抛物线定义，则，得，
则的方程为；
（2）设，则，
，则.
即，
  
由，有，过点的切线的斜率为，
则切线的方程为，
同理切线的方程为，
联立方程组解得，
由点是曲线上位于直线的上方的点，可知，
则，，
则



代入，得
，
即为定值.
【点睛】方法点睛：
1.求动点的轨迹方程，可以直接利用已知的一些几何量的等量关系，表述成含的等式，就得到轨迹方程，如果轨迹符合解析几何中一些常用定义，可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
2.求定值问题常见的方法有：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.