2024届江苏省镇江市丹阳高级中学高三（重点班）上学期7月阶段检测数学试题含答案

2024届江苏省镇江市丹阳高级中学高三（重点班）上学期7月阶段检测数学试题

一、单选题

1．设集合，B=，则（    ）

A．{-2，-1，1} B．{-2， 0， 1} C．{-2，-1} D．{-1， 1}

【答案】A

【分析】由题知，再根据集合的补集运算与交集运算求解即可.

【详解】，则或，

所以.

故选：A.

2．已知，则“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

【答案】C

【分析】根据指数函数单调性解不等式，进而根据充分、必要条件分析判断.

【详解】因为，则等价于，

又因为在定义域内单调递增，则等价于，

即等价于，故“”是“”的充要条件.

故选：C.

3．已知函数在上为减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为，所以为减函数．又由函数在上为减函数，

可得函数在上大于零，且，故有，解得．

故选：A．

4．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（    ）参考数据：．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意可得，解得，从而求得关于残留数量与过滤时间的函数关系式，再将代入即可求得答案.

【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．

再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．

故选：C.

5．已知正实数满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C．8 D．9

【答案】C

【分析】化简已知式可得，因为，由基本不等式求解即可.

【详解】

，

而，

当且仅当，即取等.

故选：C.

6．函数在区间的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.

【详解】令，

则，

所以为奇函数，排除BD；

又当时，，所以，排除C.

故选：A.

7．若函数有两个极值点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由极值点定义确定的关系，化简，由此求的范围.

【详解】因为函数有两个极值点，

又函数的定义域为，导函数为，

所以方程由两个不同的正根，且为其根，

所以，，，

所以，

则

，

又，即，可得，

所以或（舍去），

故选：C.

8．已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意求得函数为偶函数，再利用导数求得函数在上单调递增，结合偶函数和单调性分析判断.

【详解】因为，可得函数为偶函数，

当时，则，可得，

构建，则，

令，解得；令，解得；

所以在上单调递减，在上单调递增，

可得，

即在上恒成立，故在上单调递增，

又因为，且，

所以，即.

故选：D.

二、多选题

9．下列结论中，所有正确的结论是（    ）

A．若，则

B．命题的否定是：

C．若且，则

D．若，则实数

【答案】AB

【分析】对A，根据不等式的性质推导即可；对B，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对C，利用作差法判断即可；对D，举反例判断即可.

【详解】对A，，则，又，则，，故A正确；

对B，命题的否定是：，故B正确；

对C，，因为且，故，即，故C错误；

对D，当，时，不成立，故D错误；

故选：AB

10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（    ）

A．事件发生的概率为

B．事件发生的概率为

C．事件发生的概率为

D．从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为

【答案】BC

【分析】根据题意，分别列举出事件和事件所包含的基本事件，再逐项判断，即可得出结果.

【详解】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；

“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共个基本事件；

“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，，，，，，，，共个基本事件；

即事件是事件的子事件；

因此事件发生的概率为，故A错；

事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；

事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；

从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，，，，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.

故选：BC.

【点睛】本题主要考查求古典概型的概率，考查求并事件和交事件的概率，属于基础题型.

11．已知函数，令，则（    ）

A．或时，有1个零点

B．若有2个零点，则或

C．的值域是

D．若有3个零点，且，则的取值范围为

【答案】BCD

【分析】画出函数的图象，转化为函数与的交点横坐标，结合选项和函数的图象，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示，

由函数，则的零点，即，

即函数与的交点横坐标，

对于A中，当时，函数没有零点，所以A错误；

对于B中，要使得函数有2个零点，即函数与有两个不同的交点，

结合图象，可得或，所以B正确；

对于C中，由函数的图象，可得函数的值域为，所以C正确；

对于D中，由有3个零点，且，

可得，

由，即，所以，可得，

又由，解得，

所以的取值范围为，所以D正确.

故选：BCD.

12．已知函数，，则（    ）

A．函数在上存在唯一极值点

B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是

C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为

D．若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对于A：利用导数推出在单调递增，可得A错误；对于B：利用导数研究函数的性质，得其图象，根据函数的图象与直线有两个交点，可得B正确；对于C：根据在单调递增，将不等式化为恒成立，右边构造函数求出最大值，可得C正确；对于D：根据以及指对同构得，将化为，再求导可求出最大值，可得D正确.

【详解】对于A：，令，则，

令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，

故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；

对于B：，令，则，

当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，

又时，，作出函数的图象，如图：

若函数有两个零点，得 有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，

由图可知，，故B正确；

对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，

设，则，

令，解得：，令，解得：，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，故，则实数的最小值为，故C正确；

对于D：若，则，

即，

∵，∴，，，

由A知，在上单调递增，故，

所以，

设，则，

令，解得：，令，解得：，

故在上单调递增，在上单调递减，

故，此时，

故的最大值是，故D正确；

故选：BCD

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，总有成立，故；

（2）若，总有成立，故；

（3）若，使得成立，故；

（4）若，使得，故.

三、填空题

13．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有           种.(用数字作答)

【答案】

【分析】依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，②选两名男志愿者，按照分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有种选派方法；

②选两名男志愿者，则有种选派方法；

综上可得一共有种选派方法；

故答案为：

14．在的展开式中，项的系数为         ．

【答案】

【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.

【详解】展开式的通项公式，

令可得，，

则项的系数为.

故答案为：60.

15．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为        ．

【答案】2

【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义列出方程并求解作答.

【详解】函数，求导得，依题意，，又，

消去a得：，而，解得，

所以的值为2.

故答案为：2

四、双空题

16．若对于恒成立.当时，的最小值为         ；当时，的最小值是            .

【答案】     1    

【分析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，结合函数图象数形结合确定的最小值.

【详解】当时，，令，则，

令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，所以，因此，故的最小值为，

的图像如下所示：

由于，而点是直线与轴的交点，因为 ，由图象显然虚线不符合题意，实线中直线与函数相切时，在轴上的截距较大，其中当直线与函数相切且切点为函数与轴的交点时，截距最大，令，所有函数与轴的交点为，故，即，故.

故答案为：1，.

【点睛】恒成立问题解题思路：

（1）参变量分离：

（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参数分离即可解决问题.

五、解答题

17．设，其中，．

（1）若，写出二项展开式第四项；

（2）若，求出的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求第四项；（2）利用赋值令或求奇数项系数的和.

【详解】（1）时二项式展开式第四项为：；

（2），

令，，

令，，

所以．

【点睛】本题考查二项式定理，系数和，重点考查计算能力，属于基础题型.

18．设全集，，．

(1)当a＝1时，求，；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；或

(2)

【分析】（1）解不等式可得集合，将代入解出集合，根据集合基本运算即可求得结果；

（2）根据题意可得集合是集合的真子集，根据集合间的基本关系即可求得实数a的取值范围．

【详解】（1）令可得，解得，

所以，或

当时，，

所以，

或.

（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，

又，

所以，解得，

故实数a的取值范围为．

19．已知函数（a，b为常数）且方程有两个实根为．

(1)求函数的解析式；

(2)设，解关于x的不等式：．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意把方程的根3,4分别代入方程，解方程组可得答案；

（2）根据（1），把代入不等式化简可得，根据k与2的大小关系，可得不等式的解集.

【详解】（1）将代入，

可得：，解得，

则，

因为，则，即符合题意，

所以.

（2）由（1）可得：，整理得，

则，

令，解得或或，

且，可得或，

所以不等式的解集为.

20．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．

(1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间t的关系式；

(2)第一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？

【答案】(1)，

(2)第天这家公司的日销售利润最大，最大是万元

【分析】（1）根据图象结合一次函数的解析式及二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；

（2）先求出每件产品的利润，从而可求得日销售利润，再分类讨论即可.

【详解】（1）当时，设，

则有，解得，所以，

当时，设，

则有，解得，所以，

综上，

设，

则有，解得，

所以；

（2）设每件产品的利润为，日销售利润为，

当时，设，

则有，解得，所以，

当时，，

综上，

所以，

当时，，

所以函数在上递增，

所以，

当时，，

则，

当时，，

综上所述，，

所以第天这家公司的日销售利润最大，最大是万元.

21．网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账､微信或支付宝支付等方式在线汇款，根据年中国消费者信息研究，超过的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方､品牌官方网站和微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了年月日至日这天到该专营店购物的人数和时间第天间的数据，列表如下：

（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计月日到该专营店购物的人数(人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算时精确到).

参考数据：.附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距.

（2）运用分层抽样的方法从第天和第天到该专营店购物的人中随机抽取人，再从这人中任取人进行奖励，求这人取自不同天的概率.

（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满元可减元；方案二，一次性购物金额超过元可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打折，中奖两次打折，中奖三次打折.某顾客计划在此专营店购买元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠.

【答案】（1）可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系，月日到该专营店购物的人数约为；（2）；（3）选择方案二更划算.

【分析】（1）利用题中所给数据和公式，求出相关系数的值，由此判断变量与具有很强的线性相关性，再求出和，得线性回归方程，令代入即可求解；

（2）先利用分层抽样得到第1天和第5天取的人数分别为3人和4人，然后由古典概型概率计算公式即可求解；

（3）分别求出方案一和方案二所需付款数，比较即可求解.

【详解】解：（1）由表中数据可得，，，

，，

所以，

所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系.

而，

则，

所以，

令，可得.

答：月日到该专营店购物的人数约为.

（2）因为，所以从第天和第天取的人数分别为和，从而人取自不同天的种数为，

所以概率.

答：这人取自不同天的概率为.

（3）若选方案一，需付款元.

若选方案二，设需付款元，则的取值可能为，，，，

则，

，

，

，

所以，

因此选择方案二更划算.

22．已知函数

（1）若在处有极值，求实数的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）若函数有两个零点，求实数的范围.

【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.

【分析】（1）由题可得，再分析处是否为极值即可；

（2）求导可得，再分与讨论单调区间即可；

（3）由（2）可得，再根据零点存在性定理可得，求得，再分别证明与即可

【详解】解：（1）函数在处有极值

，又因为，解得

当

列出表格如下：

所以，在处有极大值.

（2）     

当时，在上为单调增函数

当，令，得

时，在为单调增函数

时，在单调减函数

综上：当时，增区间为，无减区间

当时，增区间为，减区间为

（3）因为函数有两个零点，由（2）知，

增区间为，减区间为

解得：

因为，

 所以在上恰有一个零点

由得

下证

令

在

即，所以在上恰有一个零点

综上：时，有两个零点