2024届陕西省汉中市高三上学期第一次联考数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省汉中市高三上学期第一次联考数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届陕西省汉中市高三上学期第一次联考数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用列举法求出集合，再利用并集的定义求解作答.【详解】依题意，，而，所以.故选：B2．若，则在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先根据，将化简为，可确定其对应点在第三象限.【详解】，故在复平面内对应的点为，在第三象限.故选：C3．已知向量，满足，，则（    ）A．9 B．3 C．6 D．【答案】D【分析】将条件式子两边平方，利用数量积的运算化简已知条件，从而求得.【详解】，，即得，又，同理可得，两式相减得，即.故选：D.4．某汽车集团第一年全年生产新能源汽车1万辆，在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都近似为前一年的150%，那么第8年全年新能源汽车的产量约为（    ）A．辆 B．辆C．辆 D．辆【答案】C【分析】利用等比数列通项求第8年全年新能源汽车的产量.【详解】由题意，年生产新能源汽车数量是首项为1，公比为的等比数列，所以，第8年全年新能源汽车的产量约为万辆.故选：C5．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数及幂函数的单调性比较指数幂的大小.【详解】由题设，，，由为增函数，且，故；由在上为增函数，且，故；综上，.故选：B6．已知函数，则的极小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用导数求出函数极小值作答.【详解】函数的定义域为，求导得，，，则由，得或，由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，则当时，取得极小值，所以函数的极小值为.故选：A7．某机构对名网络购物者年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在内，其频率分布直方图如图所示，则这名购物者消费金额的平均数约为（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（    ）  A．（万元） B．（万元）C．（万元） D．（万元）【答案】B【分析】根据分布列的性质求出，再由各组频率乘以各组区间的中点值后相加可求出平均数.【详解】由，得，这名购物者消费金额的平均数约为（万元）.故选：B8．某实验室有5只小白鼠，其中有3只测量过某项指标.若从这5只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解.【详解】设过某项指标的3只小白鼠为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种.其中恰好有2只测量过该指标的取法有共6种，所以恰好有2只测量过该指标的概率为.故选：C.9．设是定义在上的奇函数，且.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知推得是周期为4的奇函数，应用周期性、奇函数性质求函数值.【详解】由题设，，则，所以，即，故是周期为4的奇函数，所以.故选：A10．直线l经过椭圆的两个顶点，若椭圆中心到l的距离为其长轴长的，则该椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的性质求得直线l为，利用点线距离公式列方程求离心率即可.【详解】不妨设椭圆为且，，由椭圆对称性，令过，则，即，所以，则，即，故.故选：D11．在三棱锥中，，的边长均为6，P为AB的中点，则异面直线PC与BD所成角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】取中点，连接，，易得，要求与所成角的余弦，只要求出即可.【详解】如图，取中点，连接，，  是中点，，，则是PC与BD所成角的平面角（或补角），在中，，，由余弦定理，，在中，，，同理，，在中，由余弦定理可得，，异面直线与所成角的余弦为.故选：C.12．设数列满足，且，则数列的前9项和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】应用累加法求的通项公式，再由裂项相消求数列的前9项和.【详解】由题设，，所以，故.故选：C 二、填空题13．设，满足约束条件，则的最小值为      .【答案】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求解作答.【详解】不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，  目标函数，即表示斜率为2，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点时，直线的纵截距最大，最小，即，所以的最小值为.故答案为：14．体积为27的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为      .【答案】【分析】根据正方体的体积求出棱长和对角线长，再根据正方体的对角线是球的直径可得球的直径，再由球的体积公式可求出结果.【详解】设正方体的棱长为，则，得，则正方体的对角线长为，又正方体的顶点都在同一球面上，则该球的直径为，半径为，所以该球的体积为.故答案为：15．已知抛物线：的焦点为，曲线与交于点，轴，则      .【答案】【分析】根据抛物线方程得，根据轴得，，再代入抛物线方程可求出结果.【详解】由得，，故，因为轴，所以，，又，所以，得，又，所以.故答案为：.16．已知函数，当取得最大值时，      .【答案】【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质易得取得最大值有，进而求.【详解】由且，所以，此时，所以，故.故答案为： 三、解答题17．为加强学生对垃圾分类意义的认识，让学生养成良好的垃圾分类的习惯，某校团委组织了垃圾分类知识问卷调查.从该校随机抽取100名男生和100名女生参与该问卷调查，已知问卷调查合格的人中女生比男生多10人，且共有50人不合格.(1)完成以下列联表，并求男生问卷调查不合格的频率； 问卷调查合格问卷调查不合格合计男生   女生   合计   (2)判断能否有的把握认为问卷调查是否合格与学生性别有关联.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828【答案】(1)列联表见解析，(2)没有的把握认为问卷调查是否合格与学生性别有关联 【分析】（1）先由题意求出问卷调查合格的女生人数和问卷调查合格的男生人数，再列出列联表；（2）计算，得出统计结论.【详解】（1）已知问卷调查合格的人中女生比男生多10人，且共有人合格，所以问卷调查合格的女生有人，问卷调查合格的男生有人，所以问卷调查不合格的男生有人，问卷调查不合格的女生有人，所以列联表如下： 问卷调查合格问卷调查不合格合计男生7030100女生8020100合计15050200男生问卷调查不合格的频率为.（2）由（1）中列联表得，所以没有的把握认为问卷调查是否合格与学生性别有关联.18．在中，角的对边长分别为，且.(1)求；(2)若的面积为，，求的周长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理角化边得，再根据余弦定理可求出结果；（2）根据三角形面积公式求出，由配方得，再将代入求出可得结果.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，所以，因为，所以.（2）因为，所以，由（1）知，，所以，所以，所以，所以，所以的周长为.19．在直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，.(1)证明：；(2)求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，证明∽，进而证得，再利用线面垂直的性质判定推理作答.（2）由（1）的信息，求出长即可作答.【详解】（1）在直三棱柱中，由侧面为正方形，得，而，，平面，则平面，又平面，即有，即，，则，因为，则，，由E，F分别为AC和的中点，得，于是，而，则∽，有，又，即有，则，即，由，为的中点，得，而平面，平面，则，又，平面，于是平面，而平面，则，因为，平面，因此平面，而平面，所以.（2）由（1）知平面，则长即为点到平面的距离，在中，，则，所以点到平面的距离.20．已知函数.(1)若直线与曲线相切，求a；(2)若存在，使得成立，求a的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）若切点为，利用导数几何意义列方程求参数即可；（2）问题化为，讨论、，利用导数研究最值即可求范围.【详解】（1）由且，又直线与曲线相切，若切点为，则，即，故.（2）存在，使得成立，即即可，由，当时，显然存在，满足题设；当，则上，递增，上，递减，此时，只需，则，故，综上，.21．已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程；(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据焦距和焦点到近线的距离，求出可得双曲线的标准方程；（2）讨论直线的斜率是否存在，且当直线的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，求得面积，即可证明.【详解】（1）依题意得，，一条渐近线为，即，右焦点为，所以，即，，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，将代入，得，将代入，得，则，.当直线的斜率存在，设直线，且，联立，消去并整理得，因为动直线与双曲线恰有1个公共点，所以，得，设动直线与的交点为，与的交点为，联立，得，同理得，则因为原点到直线的距离，所以，又因为，所以，即，故的面积为定值，且定值为.  【点睛】关键点点睛：利用，找到参数之间的关系，再利用弦长公式求得，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，进而求出面积是解题关键.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线的普通方程和曲线的极坐标方程；(2)直线与曲线交于两点，，求.【答案】(1)直线的普通方程为，曲线的极坐标方程为(2) 【分析】（1）消去参数，可得直线的普通方程；消去参数得曲线的普通方程，再将，代入可得曲线的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入到曲线的普通方程，利用直线的参数方程中参数的几何意义可求出结果.【详解】（1）由消去得，即直线的普通方程为.由消去得，将，代入得，所以曲线的极坐标方程为.（2）显然点在直线上，将代入，整理得，设点对应的参数分别为，则，，所以.23．已知函数.(1)解不等式；(2)记的最小值为，若正数满足，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分类讨论去绝对值求解即可得解；（2）分类讨论去绝对值求出，再根据基本不等式可求出的最小值.【详解】（1）当时，，故；当时，，故；当时，不成立，综上所述：不等式的解集为.（2）当时，，当时，，当时，，所以，，因为，所以，当且仅当，又，即，时，取得等号.所以的最小值为.