2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期第一次模拟考试数学试题含答案

2024届辽宁省沈阳市第二十中学高三上学期第一次模拟考试数学试题

一、单选题

1．设全集，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先计算出全集，再根据补集，求出集合M,分别判断各个选项即可.

【详解】由题意得，从而，故A正确，B，C，D都错误.

故选：A.

2．设a，，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由基本不等式结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】若，则成立，当且仅当时取等，

若，不妨设，则不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：C.

3．已知等差数列中，是其前项和，若，，则（    ）

A．63 B．90 C．99 D．117

【答案】C

【分析】代入等差数列的公式，求首项和公差，再代入前项和公式，即可求解.

【详解】设等差数列的首项为，公差为，根据题意可知，

，解得，

所以.

故选：C

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据和差公式，辅助角公式得到，再利用诱导公式，倍角公式求出答案.

【详解】因为，

所以，即，故，

.

故选：C

5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，则可排成不同的音序种数为（    ）

A．72 B．28 C．24 D．32

【答案】D

【分析】根据角音阶的位置分类，然后利用插空法可求出结果.

【详解】若角音阶排在两端，则宫、羽两音阶一定在角音阶的同侧，此时有种；

若角音阶排在正中间，则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧的情况；

若角音阶排在第二或第四个位置上，则有种排法.

根据分类加法计数原理可得共有种排法.

故选：D

6．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.

【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.

故选：A

7．已知函数及其导数的定义域均为，在上单调递增，为奇函数，若，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由是奇函数，根据奇函数的定义得到，结合的单调性，判断出的单调区间，利用的对称性及单调性，即可得到答案.

【详解】∵是奇函数，∴，令得：，

又在上单调递增，∴当，；当，，

故在上单调递减，在上单调递增.

∵，∴（为常数），

令得：，∴，即的图象关于直线对称，

由已知得：，，，，

∵，∴，

∵，∴.

∴，又在上单调递增，

∴，即.

故选：D.

8．函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ）

A． B．32 C．16 D．8

【答案】D

【分析】由题意可得是偶函数，则函数的零点都是以相反数的形式成对出现的，从而函数在上所有的零点的和为0，则函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和，即方程在上的所有实数解之和，作出函数的图象，数形结合可得答案．

【详解】∵函数是定义在上的奇函数，∴.

又∵函数，

∴

∴函数是偶函数，∴函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.

∴函数在上所有的零点的和为0，

∴函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和.

即方程在上的所有实数解之和.

由时，，故有，

∴函数在上的值域为，当且仅当时，.

又∵当时，，如图：

∴函数在上的值域为；函数在上的值域为；

函数在上的值域为，当且仅当时，，

即方程在上的有一个实数解，即有一个零点；

综上，函数在上的所有零点之和为8.

故选：D.

二、多选题

9．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为4 B．的最大值为

C．的最小值为2 D．的最小值为

【答案】ABD

【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；

对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误；

对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确．

故选：ABD．

10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】BD

【分析】根据给定的条件分析公比q的符号和大小，再逐项分析.

【详解】由题意，同号，即与同号，， 又有…①或…②；

若为①，则有 ，即；

若为②，则有，则不可能大于1，即②不成立；

，并且，，即是递减的正数列， A错误；

所以，B正确；

，即对任意的n都成立，C错误；

当时，，当时，，是的最大值，D正确；

故选：BD.

11．已知函数，部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称

B．的图象关于点中心对称

C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象

D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是

【答案】AD

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，结合图象及三角函数的性质可得结论．

【详解】由函数的图象可得，由，求得.

再根据五点法作图可得，即，

又，求得，∴函数，

，是最值，故A成立；

，不等于零，故B不成立；

将函数的图象向左平移个单位得到函数

的图象，故C不成立；

当时，，

，，

函数在上的图象如下，

由图可知，时，函数与直线有两个交点，

故方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，故D成立.

故选：AD.

12．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】由与，对化简，即可判断选项A、B、C、D；

【详解】令，则，当时，单调递增，

当时，单调递减，，即，

同理可得，

由得

，令，由，故在单调递减，故，即，故A正确

，令，则，

在单调递增，，，B正确；

由可得，可得，当等号成立，由得，C正确；

时，，则

，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．若为纯虚数，则复数的虚部为         .

【答案】

【分析】根据复数的运算法则，求得，根据题意列出方程组，求得，得到，即看求解.

【详解】由复数，

因为复数为纯虚数，可得，解得，

所以，所以复数的虚部为.

故答案为：.

14．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率         ．（结果用分数表示）

附参考数据：，.

【答案】

【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可.

【详解】由题知，

事件为“记该同学的成绩”，

因为，，

所以，

又，

所以.

故答案为：

四、双空题

15．若的展开式的系数和为1，二项式系数和为128，则a＝          ，展开式中x2的系数为          ．

【答案】     －1     －448

【分析】赋值令，和联立求解可得a；化简通项，根据x的指数等于2可解.

【详解】解：由题意得且

所以n＝7，a＝－1，

所以的展开式的通项为

令，得k＝1．

∴x2的系数为．

故答案为：－1，－448．

五、填空题

16．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数的值为         ．

【答案】

【分析】由偶函数定义结合对数运算可得，进而整理可得，利用换元法令，根据题意结合分类讨论解决二次函数的最值问题.

【详解】∵函数是偶函数，则，

故，

∴，则，

可得：，

令，当且仅当，即时等号成立，则，

由题意可得：在上的最小值为，

∵的对称轴为，则有：

若，即时，在上单调递增，当时取到最小值，

则，解得：；

若，即时，在上单调递减，在上单调递增，当时取到最小值，

则，解得：（舍去）；

综上所述：.

故答案为：.

六、解答题

17．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，是角α终边上一点，且.

(1)求m的值；

(2)求的值.

【答案】(1)1

(2)

【分析】（1）利用正弦函数的定义求解；

（2）由（1）的结论，利用正切函数的定义求得，利用诱导公式和同角三角函数的关系将所求式子转化为的表达式，然后代入计算.

【详解】（1）,解得

（2）,

=

=

18．已知数列满足.

(1)求的通项公式；

(2)已知，，求数列的前20项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，将替换，然后两式相减作差即可得到结果；

（2）根据题意，由分组求和法，分别求出奇数项和与偶数项和，即可得到结果.

【详解】（1）当时，可得，

当时，，

，

上述两式作差可得，

因为满足，所以的通项公式为.

（2），，

所以，

.

所以数列的前20项和为.

19．为坚持上饶市“创文活动”某社区特制订了饲养宠物的管理规定，为了解社区住户对该规定的态度（赞同与不赞同），工作人员随机调查了社区220户住户，得到如下2×2列联表（单住户）：

同时工作人员还从上述调查的不赞同管理规定的住户中，用分层抽样的方法按家有宠物，家里没有宠物抽取了12户组成样本T，进一步研究完善宠物的管理规定；

(1)根据上述列联表，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有越物有关系”?

(2)工作人员从样本T中随机抽取6户住户进行访谈，X为抽取的6户住户中为家里没有宠物住户的户数，求X的分布列及期望.

附：，其中.

【答案】(1)不能

(2)分布列见解析，期望为

【分析】(1)根据独立性检验的概念，求得，即可下结论；

(2)利用超几何概率分布模型求解即可.

【详解】（1）因为，

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，

不能认为“社区住户对饲养宠物的管理规定的态度与家里是否有越物有关系”.

（2）根据图表可得在不赞同管理规定的住户中，

用分层抽样的方法按家有宠物，家里没有宠物抽取了12户组成样本T，

则家里有宠物住户有家里没有宠物住户有

所以可能的取值有，

分布列如下，

所以.

20．已知函数.

(1)若，求函数在处的切线方程；

(2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数的几何意义，求切线方程；

（2）首先得，这样问题转化为函数在区间上没有零点，这样求函数的导数，讨论极值点与定义域的关系，判断函数的单调性，即可求解的取值范围.

【详解】（1）当时，，，

，，

所以函数在处的切线方程为；

（2），易知，

所求问题等价于函数在区间上没有零点，

因为，，得，

当，，所以在上单调递减，

当，，在上单调递增.

①当，即时，函数在区间上单调递增，所以，

此时函数在区间上没有零点，满足题意.

②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，

要使在上没有零点，只需，即，解得，

所以.

③当，即时，函数在区间上单调递减，

在区间上满足，此时函数在区间上没有零点，满足题意.

综上所述，实数的范围是或.

21．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.

(1)求的解析式与单调递减区间；

(2)已知在时，求方程的所有根的和.

【答案】(1)， ，

(2)

【分析】（1）将函数变形为，由函数的周期及奇偶性可求解；

（2）解方程得或，即或，利用正弦函数的性质可求解.

【详解】（1）

图象的相邻两对称轴间的距离为，

的最小正周期为，即可得，

又为奇函数，则，，又，，

故的解析式为，

令，得

函数的递减区间为，.

（2），，，

方程可化为，

解得或，即或

当时，或或

解得或或

当时，，所以

综上知，在时，方程的所有根的和为

22．已知函数.

(1)求证：；

(2)若，试比较与的大小；

(3)若，问是否恒成立？若恒成立，求的取值范围； 若不恒成立，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)恒成立，

【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；

（2）作差令，分区间讨论其导函数符号得出单调性及最小值即可；

（3）令，利用端点效应即得出时恒成立，再证明充分性即可.

【详解】（1）即证，令，，

当所以此时单调递减；

当所以此时单调递增；

即当时，取得极小值也是最小值，所以，得证；

（2）设，则，

①当时，，所以，

而此时，故，在减函数，，

即；

②当时，由（1）知

，

令，即在单调递增，

所以，即，当且仅当时取得等号，

又恒成立，当且仅当时取得等号，

所以，即，即

综上，若，.

（3）恒成立，

设，

即证在上恒成立，

易得，

当时，若，

下面证明：当时，，在上恒成立，

因为，设，

则，

所以在上是单调递增函数，

所以，所以在上是严格增函数，

若时，，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足恒成立，

故当时，不等式恒成立.