2023届陕西省渭南市富平县高三上学期摸底数学（理）试题含答案

这是一份2023届陕西省渭南市富平县高三上学期摸底数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届陕西省渭南市富平县高三上学期摸底数学（理）试题 一、单选题1．设集合，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用集合交集的定义计算即可．【详解】，则故选：A2．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数运算法则直接求解即可.【详解】由题意得：.故选：B.3．抛物线的焦点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将抛物线方程转化为标准形式，再求得抛物线的焦点坐标.【详解】抛物线的标准形式为，所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，所以焦点坐标为.故选：B4．若函数()，则函数在其定义域上是A．单调递减的偶函数 B．单调递减的奇函数C．单调递增的偶函数 D．单调递增的奇函数【答案】B【详解】本题考查函数的奇偶性和单调性.,定义域为因为记则，所以函数是奇函数；设，又所以则函数在定义域R上是减函数.故选B5．若，则＝（    ）A．－ B． C．－ D．【答案】C【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.【详解】依题意，，所以.故选：C6．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由可得，由已知且，若，则，所以，，则，矛盾.若，则，从而，合乎题意.综上所述，“”是“”的充要条件.故选：C.7．执行如图所示的程序框图，则输出的S是（    ）  A．30 B．14 C．6 D．2【答案】B【分析】运行程序，从而计算出输出结果.【详解】运行程序，，判断是，，，判断是，，，判断是，，，判断否，输出.故选：B8．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差【答案】A【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为．则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确．②原始平均数，后来平均数平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确③由②易知，C不正确．④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确．【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.9．在正方体中，分别为的中点，则（    ）A．平面平面 B．C．平面平面 D．【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，根据面面平行、线线平行、面面垂直、线线垂直等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，A选项， ，设平面的法向量为，则，故可设，，设平面的法向量为，则，故可设，由于，所以、不平行，也即平面与平面平面不平行，A选项错误.B选项，，所以与不平行，也即与不平行，B选项错误. C选项，由于平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，平面的法向量为，，所以C选项错误.D选项，，所以，所以，D选项正确.故选：D10．已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，作出图形，结合题意得，再解方程求解即可.【详解】解：由题知，双曲线的焦点在轴上，设焦距为，因为双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，所以，作出图形如图，因为正方形的边长为2，所以，所以，整理得：，解得，（舍），所以.所以，双曲线的离心率为故选：A11．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积．若，，则△ABC面积S的最大值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】先利用正弦定理求出，代入公式，结合二次函数可求答案.【详解】因为，所以；因为，所以，当时，有最大值，最大值为.故选：C.12．已知是自然对数的底数，若，则有（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件变形为，令，利用导数法求解.【详解】解：因为，所以，令，则，当时，，当时，，又因为，所以，即，又因为，且递减，所以，故选：A 二、填空题13．若，则        ．【答案】【分析】利用赋值法求得正确答案.【详解】依题意，，令，得；令，得，所以.故答案为：14．设向量，的夹角为，且，，则        ．【答案】【分析】根据平面向量数量积运算求得正确答案.【详解】.故答案为：15．已知函数的部分图像如图所示，则使得成立的一个实数a的值为        ．  【答案】（答案不唯一）【分析】根据图象求得，根据对称性求得正确答案.【详解】依题意，由图可知，所以，其中，解得，所以，由得，所以直线是的一个对称轴.由得，所以的一个取值为.故答案为：（答案不唯一）16．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，底面是边长为的正三角形，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为        ．【答案】【分析】利用正弦定理可求得的外接圆半径，根据棱锥体积最大值可得到方程组，，由此可得外接球半径，代入球的表面积公式即可.【详解】设球心到底面的距离为，球的半径为，的外接圆半径为，由正弦定理得：，解得：，，若三棱锥体积最大，则点到底面的距离最大，则，解得：，又，，解得：，球的表面积.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查几何体外接球表面积的求解问题，解题关键是能够确定棱锥的高的最大值为外接球半径和球心到底面的距离之和，结合勾股定理可构造方程组求得外接球半径. 三、解答题17．设是首项为的等比数列，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)若数列满足，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求得等比数列的公比，由此求得.（2）利用等差数列前项和公式求得.【详解】（1）设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，所以.（2）由（1）得，所以，设，则，所以数列首项为，公差为的等差数列，所以.18．为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．  (1)求这些产品质量指标值落在区间内的频率；(2)若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取2件，记这2件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望．【答案】(1)(2)分布列详见解析，数学期望为 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得正确答案.（2）利用二项分布的知识求得分布列以及数学期望.【详解】（1）产品质量指标值落在区间内的频率为：.（2）依题意，，且，所以，，，所以的分布列为：且.19．如图，在三棱柱中，底面，，，分别为，的中点．  (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明详见解析(2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值．【详解】（1）连接，由于分别为，的中点，所以，由于平面，平面,所以平面.（2）由于底面，，所以底面底面，所以，由于，所以两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面，即平面的法向量为，则，故可设.设直线与平面所成角为，则.  20．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过点作倾斜角为的直线与椭圆C相交于两点，且，为坐标原点．(1)求椭圆的方程；(2)过点作与直线平行的直线与椭圆相交于两点，直线与的斜率分别为，求．【答案】(1)(2) 【分析】（1）求得点坐标并代入椭圆的方程，结合求得，从而求得椭圆的方程.（2）求得直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，进而求得.【详解】（1）过作轴，垂足为，由于，所以，由于，所以，，所以，将点坐标代入椭圆的方程得，由，解得，所以椭圆的方程为.（2）直线的方程为，即，由，消去并化简得，不妨设，则，，所以.【点睛】求解椭圆标准方程有关问题，关键在于利用已知条件求得，是两个未知数，要求得两个未知数，则需要两个已知条件，本题中，第一个已知条件是焦点坐标，第二个已知条件是椭圆上一点的坐标，通过这两个条件即可求得椭圆的方程.21．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：有且仅有两个实数根，且这两个实数根互为相反数．【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）先求导数，得到切线斜率，利用点斜式可得方程；（2）把方程根的问题转化为函数零点问题，根据导数判断单调性结合零点存在定理可证结论.【详解】（1）由题意，，所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，所以要证有且仅有两个实数根，即证在时有且仅有两个零点，令，所以；当时，，为减函数且；当时，，为增函数；由于，所以存在一个使得；综上可得时，，为减函数，时，，为减函数，时，，为增函数，因为，，所以在和各有一个零点，设零点为，不妨设，所以，即；所以，即也是的零点，故；所以有且仅有两个实数根，且这两个实数根互为相反数.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把方程根的问题转化为函数零点问题，利用两次导数判断单调性，结合零点存在定理可以证明.22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：（为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2)若M是曲线C上一点，N是曲线E上一点，求M、N这两点间的最小距离．【答案】(1)曲线C的普通方程为，曲线E的直角坐标方程为.(2) 【分析】（1）根据参数方程，消去参数可得普通方程，利用极坐标公式可得曲线E的直角坐标方程；（2）先求圆心和半径，利用圆心到直线的距离可得M、N这两点间的最小距离．【详解】（1）曲线C的参数方程为：（为参数）,消去参数可得，故曲线C的普通方程为.因为，所以可化为，故曲线E的直角坐标方程为.（2）曲线C的普通方程为，所以圆心为，半径为1；所以圆心到直线的距离为，因为M是曲线C上一点，N是曲线E上一点，所以M、N这两点间的最小距离为.23．已知函数，.(1)若，求不等式的解集；(2)若对，不等式都成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）分， ，三种情况去绝对值再逐个求解即可；（2）根据绝对值三角不等式可得，再解绝对值不等式即可【详解】（1）当时，，则，当时，，则无解，当时，令，解得，则，当时，，则恒成立，则，综上所述，不等式的解集为.（2）因为对都成立，所以恒成立，只需，由绝对值三角不等式知，所以，解得或.故实数的取值范围为.