2023届江苏省江都中学、仪征中学高三上学期10月联合测试数学试题含答案

这是一份2023届江苏省江都中学、仪征中学高三上学期10月联合测试数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江苏省江都中学、仪征中学高三上学期10月联合测试数学试题 一、单选题1．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】集合为不等式的解集，集合为函数的定义域，分别求解即可.【详解】由解得，函数，由得，.所以.故选：A.2．已知复数满足，则复数的虚部是（    ）A．i B．1 C． D．【答案】B【分析】首先根据复数的除法运算求出复数，即可求解的虚部．【详解】解：解法一：由得，∴复数的虚部是1．解法二：设，由得，即，所以，解得，∴复数的虚部是1．故选：B．3．“”是“”的 （  ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】要使，则，解得，即，解得“”是“”的充分不必要条件，故选A.【方法点睛】本题主要考查充分条件与必要条件，属于简单题.高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件开考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意一下几点：（1）要看清 ，还是 ；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3） 或 成立，不能推出成立，也不能推出成立， 且 成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提.4．在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数（，为常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中（单位：克）代表分钟末未溶解糖块的质量，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用题干数据代入，待定系数求解即可【详解】由题意，当时，；当时，故选：C5．已知黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度的比值为黄金比值（即黄金分割值，该值恰好等于），则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题知，进而结合正弦的和角公式得和二倍角公式求解即可.【详解】由已知可得，故，则.故选:D.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于利用诱导公式化简，进而根据二倍角公式求解.6．已知函数，则函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】得到函数的定义域，然后计算，然后根据，可得结果.【详解】由题可知：函数定义域为,所以，故该函数为奇函数，排除A,C又，所以排除D故选：B7．若，，则（    ）A． B．0 C． D．或0【答案】B【解析】根据题意，化简得到，所以，取得，再利用三角函数的基本关系式和两角和的正弦函数公式，即可求解.【详解】由，可得，即，因为，所以，所以，解得，所以，所以，所以，又，所以，所以.【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.8．已知a＝5，b＝15(ln4－ln3)，c＝16(ln5－ln4)，则（    ）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【答案】B【分析】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，再比较比较与大小，先比较与大小，比较与大小，从而可得答案【详解】先比较与大小，先比较1与大小，比较与大小，比较与大小，比较与大小，，，，，比较与大小，先比较与大小，比较与大小，，，，即，，故选：B． 二、多选题9．已知，则下列叙述中正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“，”的否定是“，”【答案】BC【解析】利用赋值法可判断选项A；去绝对值后可判断选项B；根据充分条件和必要条件的可判断C；根据含有一个命题的否定可判断D.【详解】对A，当，时， 不成立，故A错误；对B，因为，即，所以，所以，故B正确；对C，当时，，所以，故充分性成立；当，即或，故不一定成立，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；对D，命题“，”的否定是“，”，故D错误.故选：BC10．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列说法中正确的是（    ）A．存在点使得 B．异面直线与所成的角为C．三棱锥的体积为定值 D．到平面的距离为【答案】BCD【分析】对A，根据直线异面可判断；对B，连接，可得即为异面直线与所成的角；对C，求出三棱锥的体积即可判断；对D，利用等体积法可求.【详解】对A，若，则四点共面，与直线异面矛盾，所以不平行，故A错误；对B，连接，易得，即，则即为异面直线与所成的角，显然为等边三角形，，故B正确；对C，易得，点A到平面的距离，即点A到平面的距离为，则三棱锥的体积为，故C正确；对D，，则，又点A到直线EF的距离为，则，设到平面AEF的距离为h，则，，解得，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点睛：本题考查点面距离的求解，解题的关键是利用等体积法求解.11．已知函数，在恒成立，且在单调递增，则下列说法正确的是（    ）A．将函数的图象向左平移个单位所得图像关于轴对称B．的对称中心是C．若，则D．在上的值域为【答案】ACD【分析】由余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】∵函数，在恒成立，∴为函数的最小值，∴，即，又∵在单调递增，∴，即，则，即，将函数的图象向左平移个单位所得图像为，即，该函数为偶函数，则关于轴对称，故选项正确；令，解得，则对称中心，故选项不正确；若，则，故选项正确；当时，则，即，，故选项正确.故选：.12．已知，为函数的零点，，下列结论中正确的是（    ）A． B．a的取值范围是C．若，则 D．【答案】ABC【分析】对于A，只要利用函数零点存在性定理判断即可；对于D，由于有了A的结论，只要判断的范围即可；对于C，利用函数表达式，将所给的条件带入，联立方程即可；对于B，需要将原函数转换成容易求导的解析式，再构造函数即可.【详解】由指数函数与二次函数的性质可得方程有1个负根，2个正根，即， ， ，故A正确；当 时， ， 必无零点，故 ， ，故D错误；当 时，即 ，两边取对数得 ， ， ，联立方程 可得 ，由于 ， ，故C正确；考虑 在第一象限有两个零点：即方程 有两个不同的解，两边取自然对数得  有两个不同的解，设函数 ， ，则 时， ，当 时， ，当 时， ，所以 ，要使得 有两个零点，则必须，即 ，解得 ，故B正确；故选：ABC. 三、填空题13．若，使成立是假命题，则实数的取值范围是           .【答案】【分析】转化为“，使得成立”是真命题，利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.【详解】若，使成立是假命题，则“，使得成立”是真命题，即，恒成立，因为时等号成立，所以，所以，故答案为：.14．已知是可导函数，如图，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则         .【答案】【分析】由导数的几何意义可知，故先求出，然后利用求出的值.【详解】由图可知，曲线在处切线的斜率等于，∴.∵，∴，∴.故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算及导数的几何意义，较简单. 解答时牢记曲线在某点处的切线斜率等于.15．已知正实数满足，则的最小值是          ．【答案】9【分析】设，可得，结合得到，利用基本不等式可得结果.【详解】，，，设，可得，则，当时，当“=”成立，即的最小值是9，故答案为9.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.16．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于x的方程有4个不同实根，则实数a的取值范围是      .【答案】【分析】根据给定条件探讨函数性质，进而探求出函数的性质，并作出其图象，数形结合求出a的范围.【详解】依题意，，当时，，则当时，，又为偶函数，即，即，当，即时，，当，即时，，因此，当时，，显然有，于是得是周期为4的周期函数，当时，，当时，，令，则，函数是R上的偶函数，的图象关于y轴对称，讨论的情况，再由对称性可得的情况，当时，，则时，，当时，，当时，函数的图象、性质与的的图象、性质一致，关于x的方程有4个不同实根，即直线与的图象有4个公共点，当时，函数的部分图象如图，观察图象知，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有5个公共点，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有3个公共点，当直线绕原点逆时针旋转到直线时，旋转过程中的每个位置的直线(不含边界)与的图象总有4个公共点，于是得，当时，关于x的方程有4个不同实根，有，由对称性知，当时，关于x的方程有4个不同实根，有，所以实数a的取值范围是：.故答案为：【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数. 四、解答题17．已知函数.（1）若的值域是，求的值；（2）若函数恒成立，求的值域．【答案】（1）或；（2）.【分析】（1）根据的值域是，得到，结合二次函数的性质，列出方程，即可求解；（2）由恒成立，求得，再由，结合分段函数和二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）因为的值域是，即，即，解得或.（2）函数恒成立，则，即，解得，所以，当时，，可得；当时，，可得，所以函数的值域是．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及分段函数的值域的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.18．已知锐角三角形ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求B；(2)若，求c的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理及正弦的两角和公式将，变形为，再化简可求解；（2）由，即可求解.【详解】（1）由及正弦定理得，所以，因为，所以，所以，从而.因为，所以，所以.（2）由正弦定理得，所以.因为是锐角三角形，所以，解得.因为在上单调递增，所以.从而，所以，即c的取值范围是.19．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，，，点是棱的中点，点在上，且．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接，设，连接，根据平面几何知识证得，再根据线面平行的判定可得证；（2）由线面垂直的判定定理可证得平面．以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，根据线面角的空间向量求解方法可求得答案.【详解】（1）证明：连接，设，连接．因为是中点，所以，因为，即，所以，所以，又平面，平面，所以平面；（2）解：因为，所以，．又因为，，所以，所以，所以，因为，面，所以平面，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，由（1）知，设平面的法向量，则，，令，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．          20．近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含男生55人，求的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望. 选择“物理”选择“地理”总计男生 10 女生25  总计   附：，  【答案】(1) ；(2) 有把握；(3) .【分析】(1)根据分层抽样的定义列方程求得的值；(2)根据所给数据填写列联表,利用公式计算，对照临界值表得出结论；(3)根据题意知可为0，1，2，3，4，利用组合知识，结合古典概型概率公式计算对应的概率值，写出分布列，利用期望公式可计算数学期望值.【详解】（1）由题意得，解得． （2）列联表为： 选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计7030100，故有99%的把握认为选择科目与性别有关（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9名女生中有5人选择物理，4人选择地理，9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择地理的人数可为0，1，2，3，4. 设事件发生概率为，则，，，， .    所以的分布列为：01234期望.【点睛】本题主要考查分层抽样、独立性检验的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.21．已知双曲线的离心率为2，的右焦点与点的连线与的一条渐近线垂直．(1)求的标准方程．(2)经过点且斜率不为零的直线与的两支分别交于点，．①若为坐标原点，求的取值范围；②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点．【答案】(1)(2)①；②证明见解析 【分析】（1）由，得到，求得其渐近线方程，因为，得到的值，即可求解；（2）①设其方程为，，联立直线与的方程，结合，求得， 设，，则，，，结合向量的运算得到，即可求得的取值范围；②求得直线的方程为，令，求得，即可求得直线过定点．【详解】（1）解：由题意得，其中，则，所以，即，所以的渐近线方程为．因为，与的一条渐近线垂直，所以，解得，所以，所以的标准方程为．（2）解：显然直线的斜率存在，设其方程为，，联立直线与的方程，消去得，因为直线与的两支分别交于点，，所以，得， 设，，则，，．①，所以的取值范围是．②因为，所以直线的方程为，由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，在直线的方程中，令，得，所以直线过定点，定点坐标为．22．已知函数，.(1)若在点处的切线与在点处的切线互相平行，求实数a的值；(2)若对，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)2(2)[ ， +∞） 【分析】（1）分别求得和，根据，列出方程，即可求解；（2）将不等式变形转化为，构造函数，，利用导数求得函数单调性和最值，即可求出实数的取值范围．【详解】（1）依题意，，，则，，因为在点,处的切线与在点,处的切线互相平行，所以，又因为，所以（2）由，得，即，即，设，则，，由，设，可得，所以时，，单调递减；当时，，单调递增，所以,所以在上单调递增，所以对恒成立，即对恒成立，设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故，所以实数的取值范围为．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.