2023届广东省罗定中学城东学校高三上学期12月调研数学试题含答案

2023届广东省罗定中学城东学校高三上学期12月调研数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简集合，利用交集的定义计算求解.

【详解】因为，

且，所以，

故选：C.

2．已知复数(为虚数单位)，其共轭复数为，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的运算法则，化简得，得到，结合复数的概念，即可求解.

【详解】由复数的运算法则，可得，

则复数的共轭复数为，所以其虚部为.

故选：B.

3．已知且，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由，利用对数的运算性质，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由，可得或，

当时，可得或成立，即充分性成立；

反之：当或时，则不一定成立，即必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选: B.

4．已知向量，满足，且．则向量与向量的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据两向量垂直数量积为0，结合已知可得，然后由向量夹角公式可得.

【详解】因为，

所以

又因为，

所以

得

所以

因为

所以

故选：C

5．的展开式中的常数项为（    ）

A．64 B．-64

C．84 D．-84

【答案】D

【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数等于零，即可得出答案.

【详解】解：的二项展开式的通项为：

，

令，则，

所以，

即的展开式中的常数项为84.

故选：D.

6．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用二倍角降幂公式和诱导公式可求得的值.

【详解】由二倍角的降幂公式可得.

故选：B.

7．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.

【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：

若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，

最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，

若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，

涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法，

所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.

故选：C

8．已知椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，过点与轴垂直的直线与直线交于点.若线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】联立直线与，得到，继而得到，代入椭圆求解即可

【详解】由题意，

由直线方程的截距式可得直线为：

过点与轴垂直的直线为：

联立可得

故，中点，

代入椭圆方程得，

解得（舍负）

故选：A

二、多选题

9．新中国成立以来，我国共进行了次人口普查，这次人口普查的城乡人口数据如图所示．根据该图数据判断，下列选项中正确的是（    ）

A．乡村人口数均高于城镇人口数 B．城镇人口比重的极差是

C．城镇人口数达到最高峰是第次 D．和前一次相比，城镇人口比重增量最大的是第次

【答案】BC

【分析】根据柱状图和折线图的数据依次判断各个选项即可.

【详解】对于A，年，城镇人口数高于乡村人口数，A错误；

对于B，城镇人口比重的极差为，B正确；

对于C，城镇人口数最高峰为年，即第次，C正确；

对于D，和前一次相比，第次普查，城镇人口比重增量为；第次普查，城镇人口比重增量为；则城镇人口比重增量最大的是第次，D错误.

故选：BC.

10．已知双曲线，（    ）

A．

B．若的顶点坐标为，则

C．的焦点坐标为

D．若，则的渐近线方程为

【答案】BD

【分析】本题首先可根据双曲线的解析式得出，通过计算即可判断出A错误，然后根据双曲线的顶点的相关性质即可判断出B正确，再然后分为、两种情况，依次求出，即可判断出C错误，最后根据双曲线的渐近线方程的求法即可得出结果.

【详解】A项：因为方程表示双曲线，

所以，解得或，A错误；

B项：因为的顶点坐标为，

所以，解得，B正确；

C项：当时，，

当时，，C错误；

D项：当时，双曲线的标准方程为，

则渐近线方程为，D正确，

故选：BD.

11．已知函数，则下列结论中错误的是（    ）

A．点是的一个对称中心点

B．的图象是由的图象向右平移个单位长度得到

C．在上单调递增

D．是方程的两个解，则

【答案】BCD

【分析】首先利用三角恒等变化将函数化为一个角的一种函数形式即，然后根据三角函数的性质进行判断.

【详解】

对于A：令，解得，

当时，，所以点是的一个对称中心点，故A正确；

对于B：的图象向右平移个单位长度得到的图象的函数解析式为，所以平移得到的图象不是的图象，故B错误；

对于C：当时，，而函数在上单调递减，所以在上单调递减，故C错误；

对于D：令，解得或，

即或，所以，故D错误.

故选：BCD.

【点睛】求三角函数单调区间的方法：

首先把三角函数化简为或的形式，再求或的单调区间，只需把看作一个整体代入或相应的单调区间即可.

12．设a＞0，b＞0，a＋2b＝1，则（    ）

A．ab的最大值为 B．a2＋4b2的最小值为

C．的最小值为8 D．2a＋4b的最小值为

【答案】ABD

【解析】利用均值不等式对选项进行逐一求解，可判断出正误，得出答案.

【详解】，得，当且，时取等号，故正确；

，当且仅当，时取等号，故正确；

，当且仅当时取等号，故错误；

，当且仅当，时取等号，故正确，

故选：ABD.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.

三、填空题

13．已知等差数列的前项和为，若，则           .

【答案】45

【分析】根据等差数列的性质，求得，结合求和公式，即可求解.

【详解】由等差数列的性质且，可得，

因此.

故答案为45.

14．一只红铃虫产卵数和温度有关，现测得一组数据，可用模型拟合，设，其变换后的线性回归方程为，若，，为自然常数，则        .

【答案】

【分析】经过变换后将非线性问题转化为线性问题，在求样本点的中心，回归直线一定过该点，即可求出参数.

【详解】经过变换后，得到，根据题意，故，又，故，，故，于是回归方程为一定经过，故，解得，即，于是.

故答案为：.

15．若函数，则        ．

【答案】/

【分析】先根据时，得，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.

【详解】因为时，，所以，

即，故.

.

故答案为：

四、双空题

16．已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是      ；直线与直线所成角的取值范围为      .

【答案】         

【分析】设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心，设正四面体的棱长为x，球O的半径为R，球心O在上，列式求出得 ，则可求出 ，，推导出P的轨迹为平面内以E为圆心，为半径的圆，三点共线时，且P在之间时，可求得的最小值；以E为圆点，所在直线为x轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出直线与直线所成角的取值范围．

【详解】在正四面体中，设A在面内的投影为E，故E为三角形的中心，

设正四面体的棱长为x，球O的半径为R，

则 ，

依题意正四面体内接于半径为的球中，故球心O在上，

设球的半径为R,则，

即，解得 ，（舍去），

则，，

又，

故P的轨迹为平面 内以E为圆心，为半径的圆，

而，当三点共线时，且P在之间时，最小，最小值是；

以E为圆心，所在直线为x轴，在底面内过点E作的垂线为y轴，为z轴，建立如图所示直角坐标系，

则,,,，

设，，

故，,

设直线与直线所成角为，

 ,

因为，故，故，

 又，故，故，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：求解的最小值时，关键在于根据正四面体中的相关计算，确定点P的轨迹为以E为圆心，为半径的圆，结合圆的几何性质，即可求得答案.求解直线与直线所成角时，将问题转化为利用向量的夹角公式求解，关键是要明确向量的夹角与直线所成的角之间的关系.

五、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，_________．

①；②；③．

从以上三个条件中选择一个条件补充在题干中，完成下列问题．

（1）求B；

（2）求△ABC的面积．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

【答案】选择见解析；（1）；（2）或．

【分析】（1）由题知，，进而选条件①，结合已知和得，进而得；选条件②得，进而得；

选条件③由余弦定理得，进而得；

（2）由（1），进而结合正弦定理得，故分和两种情况讨论求解即可.

【详解】解：（1）∵，由正弦定理得：，又，

联立解之得，．

选条件①，

所以，

因为，，所以，

因为，所以

选条件②，由可得，因为，所以

选条件③，因为，所以由余弦定理，因为，所以

（2）由（1），由正弦定理，所以

（i）当时，，此时的面积

（ii）当时，，此时的面积

综上，的面积为或．

18．已知数列的前n项和为，，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据以及可得该数列是等差数列，然后根据等差数列的、写出数列的通项公式即可.

（2）有题意可知，然后根据裂项求和即可求得.

【详解】（1）解：由题意得：

由题意知，则

又，所以是公差为2的等差数列，则；

（2）由题知

则

19．如图，在多面体中，，，垂直于底面，且满足，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2).

【分析】(1)根据已知条件，先证明平面，即可证明；

(2)求解二面角，可以建立空间直角坐标系，转化为向量来处理.

【详解】(1)证明：由题意得，，，

，，垂直于底面，

，，，，

可得，所以，故.

由，，，，，得.

又，由，得，所以，

故.

又，因此平面，

因为平面，故.

(2)如图，以的中点为坐标原点，分别以射线，为，轴的正半轴，

过点作平行于且向上的射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

由题意知各点坐标如下：

，，，

，，

因此，，

，.

设平面的法向量，

所以，即，则；

同理可得，平面的一个法向量，

，

故二面角的余弦值为.

【点睛】求解二面角常用向量法，利用公式(，分别为两平面的法向量)进行求解，注意与二面角大小的关系，是相等还是互补，需结合图形进行判断.

20．年7月日第届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于至之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中的值，并估计这名学生成绩的中位数；

(2)在这名学生中用分层抽样的方法从成绩在，，的三组中抽取了人，再从这人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望；

【答案】(1)；

(2)分布列见解析；

【分析】（1）由频率之和为，可构建的方程，求解即可；令中位数为，由的频率之和为，可构建的方程，求解即可;

（2）先按抽样比算出各层样本数，接着我们发现服从超几何分布，写出分布列，算出期望即可.

【详解】（1）由频率分布直方图的性质可得，，

解得，

设中位数为，

，解得．

（2），，三组的频率之比为，

从，，中分别抽取7人，3人，1人，

则可取，

，

，

，

，

故的分布列为：

故．

21．已知椭圆C：上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1

（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C右焦点F2，作直线l与椭圆交于A，B两点（A，B不为长轴顶点），过点A，B分别作直线x=4的垂线，垂足依次为E，F，且直线AF，BE相交于点G．

①证明：G为定点；

②求△ABG面积的最大值．

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．

【分析】（1）由题知，进而得答案；

（2）①当直线斜率不存在时，方程为，点；当直线斜率存在且不为零时，设，，方程为，进而联立方程并结合韦达定理求解直线，的交点坐标满足，且，故为定点．

②直线斜率不存在时，可知；而当斜率不为零时，．

【详解】解：（1）设椭圆的半焦距为，由题意得，解得，，

所以椭圆的方程为．

（2）①由（1）知，

当直线斜率不存在时，方程为，

可得，；可得，，

即有，相交于点；

当直线斜率存在且不为零时，设，，则，，

方程为，联立可得，

化简得，

由韦达定理得，，

而直线，相交时，

联立作差可得，

且，

则代入，，

化简得

即，相交于点，

综上可证为定点．

②直线斜率不存在时，可知；

而当斜率不为零时，由（i）可得

．

故面积的最大值为．

22．已知函数.

（1）若有两个零点，求的取值范围；

（2）设，若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】把函数有两个零点，转化为与的图象有两个交点，，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象，即可求解；

（2）根据题意转化为在上恒成立，令，求得，令，利用导数求得函数在上为增函数，得到，使得，进而得出函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】令，则，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

当时，；当时，；当时，，

要使得函数有两个零点，即与的图象有两个交点，如图所示，

可得，即，此时有两个零点，

所以有两个零点时，的范围是.

（2）因为对任意的，不等式恒成立，

即在上恒成立，

令，则，

令，则，

所以在上为增函数，

又因为，，

所以，使得，即，

当时，，可得，所以在上单调递减；

当时，，可得，所以在上单调递增，

所以，

由，可得，

令，则，

又由，所以在上单调递增，

所以，可得，所以，即，

所以，所以，

综上所述，满足条件的的取值范围是.

【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．