2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测（一）数学试题含答案

这是一份2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测（一）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期统测（一）数学试题 一、单选题1．下列不等式中，解集为或的不等式是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解绝对值不等式得到A正确，B错误；将分式不等式化为一元二次不等式求解；D选项可直接求解.【详解】A选项，，即，所以或，解得或，A正确；B选项，或，解得或，B错误；C选项，等价于，解得或，C错误；D选项，变形为，解得或，D错误.故选：A2．已知集合，集合，则有A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合A，B，再逐个分析判断.【详解】因为，，所以，，，所以ABC错误，D正确，故选：D3．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】化简，根据真子集关系可得答案.【详解】因为，且是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．下列各命题的否定为真命题的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据全称命题与特称命题的否定，结合二次不等式以及举反例的方法，可得答案.【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，由恒成立，则命题“，”是假命题，故A错误；对于B，命题“，”的否定为“，”，当时，，则命题“，”是假命题，故B错误；对于C，命题“，”的否定为“，”，当时，，则命题“，”为假命题，故C错误；对于D，命题“，”的否定为“，”，当时，，则命题“，”是真命题，故D正确.故选：D.5．已知且，，则（    ）A．﹣1 B． C．0 D．1【答案】A【解析】根据题意，由函数的解析式可得，可解得a、b的值，即可得的值，进而可计算得答案．【详解】解：根据题意，且，，则，解可得，则，则.故选：A【点睛】本题考查了分段函数求函数值的问题，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论.6．下列命题为真命题的是（    ）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”是“”的充分不必要条件C．，成立的一个充分不必要条件是D．“，”的否定是“，”（e为自然对数的底数）【答案】C【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A、B、C，根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断D.【详解】对于A：由推不出，如，满足，但是，故充分性不成立，由也推不出，若，满足，但是，故必要性不成立，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误；对于B：由，即，所以，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误；对于C：，，则，，所以，因为，所以，成立的一个充分不必要条件可以是，故C正确；对于D：命题，的否定是，，故D错误；故选：C7．下列命题正确的是（     ）A．“” 的否定为假命题B．若，则C．若“”为真命题，则D．的必要不充分条件是【答案】B【分析】A选项，先写出存在性命题的否定命题，然后得到，A正确；B选项，由基本不等式得到；C选项，考虑与，结合根的判别式得到答案；D选项，举出反例得到充分性不成立，由推出，必要性成立，【详解】A选项，“” 的否定是“”，因为，所以，为真命题，A错误；B选项，若，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，即，解得或（舍去），故，B正确；C选项，若“”为真命题，当时，，不对任意恒成立，不合要求，当时，则，解得，综上所述，，C错误；D选项，，若，则不能得到，充分性不成立，若，则，故，必要性成立，D正确.故选：B8．已知正数、满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知等式变形可得，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为正数、满足，在等式两边同时除以可得，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故选：B. 二、多选题9．下列各组函数是同一函数的是（    ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】AD【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同，值域相同，故与是同一函数，A正确；对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为，故二者不是同一函数，C错误；对于D，，与的定义域以及对应关系都相同，故二者是同一函数，D正确，故选：AD10．下列关于充分条件和必要条件的判断，其中正确的是（    ）A．“，都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．设，，，则“”是“”的充要条件D．设，，则“且”是“”的必要不充分条件【答案】AC【解析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，若都是偶数，可得是偶数，所以充分性成立；反之：比如，此时是偶数，但不是偶数，所以 “都是偶数”是“是偶数”的充分不必要条件，所以正确；对于B中，由，解得，所以 “”是“”的充分不必要条件，所以不正确；对于C中，由，可得，解得，故“”是“”的充要条件，所以正确；对于D中，设，若且，可得，所以充分性成立，反之：若，不能得出且，所以必要性不成立，所以，则“且”是“”的充分不必要条件，所以不正确.故选：AC.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．11．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）A．函数有且仅有一个零点0 B．C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】BC【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；由于，故B正确；当时，所以在上单调递增，故C正确；当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．故选：BC．12．设正实数，满足，则下列说法正确的是（    ）A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最小值为2 D．的最小值为【答案】ABD【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；对于C，，则，当且仅当，即，时，故C错误；对于D,，当且仅当，时取等号，故D正确．故选：ABD． 三、填空题13．函数，则定义域是        ．【答案】【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.【详解】由可得，，解得，所以函数的定义域为.故答案为： .14．已知二次函数满足，，则不等式的解集为      ．【答案】．【分析】由二次函数满足，可设的表达式为（，为常数），根据得到，最后求解的解集即可．【详解】由二次函数满足，设的表达式为（，为常数），则；，根据，得，解得，所以，令，则，解得，所以的解集为．故答案为：．15．已知不等式的解集为，若函数（且），则      ．【答案】6【分析】由题意可得是方程的两个根，然后利用根与系数的关系可求出，从而可求出的解析式，进而可求得.【详解】因为不等式的解集为，所以是方程的两个根，所以，解得，所以，所以.故答案为：616．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为          .【答案】【分析】将问题转化为，利用基本不等式求出的最小值，再解一元二次不等式即可.【详解】因为不等式恒成立，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得.故答案为： 四、解答题17．已知数列的前项和，且；(1)求它的通项(2)若，求数的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）运用求出；（2）运用分组求和分别求出和的前n项和即可.【详解】（1），当时，，当时，，经验证，满足，；（2），，数列是以首项为1，2为公比的等比数列，；综上，，.18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，的面积为，求c的值．【答案】(1)(2)2 【分析】（1）结合三角恒等变换，根据正弦定理边化角求解即可.（2）由面积公式得，再根据余弦定理得，进而求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理得，又，所以，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以．（2）因为的面积为，所以，所以，由余弦定理得，所以．所以，与联立，得．19．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有 100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分 100 分）分成 ，，，，，这六组，制成如图 所示的频率分布直方图.  (1)求图中的值，并估计这 100 人问答成绩的平均数 (同一组数据用该组数据的中点值代替）；(2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.【答案】(1)，72(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出参数的值，在根据平均数公式计算可得；（2）求出，中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.【详解】（1）由图可知，，解得，估计这人问答成绩的平均数为：.（2）由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为. 用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为 5 的样本，则问答成绩在内的有(人)，分别记为、，问答成绩在 内的有(人)，分别记为、、，从中任意抽取 2 人，则实验的样本空间为：共有 个样本点.设事件 为 2 人的问答成绩均在内，则，所以这 2 人的问答成绩均在 内的概率.20．已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）对函数直接求导，根据导数正负与原函数单调性关系直接求解即可；（2）根据（1）中单调性得到函数极大值与极小值，通过变化趋势列出不等式组求解即可.【详解】（1）函数的导数，当时，；当时，.所以的单调递减区间为.（2）由（1）得：当时，取得极大值；当时，取得极小值.由三次函数性质知：当时，；当时，.所以若有三个零点，则，解得.所以的取值范围为.21．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：//平面AEC(2)设三棱锥的体积是，，求平面DAE与AEC的夹角．【答案】(1)证明过程见解析(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的运算公式进行计算证明即可；（2）根据空间向量夹角公式，结合棱锥体积公式进行求解即可.【详解】（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，由几何关系有：，则直线的方向向量为：，，设平面的法向量，则：，据此可得：平面的一个法向量为，结合可知：，即据此可得：平面.（2）因为平面ABCD，E为PD的中点．，所以点E到平面ABCD的距离为，因为三棱锥的体积是，所以有，结合（1）的结论可知：，则平面的一个法向量为.由平面可知平面的一个法向量为：，据此可得：，则，观察可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.22．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得的值，即可求得椭圆的方程；（2）联立方程组，根据，得到的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，所以椭圆的方程为.（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，联立方程组，整理可得，由判别式，解得，设，则，可得，所以，当且仅当时，等号成立，所以所求直线的方程为或．