2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期第四次统测数学试题含答案

这是一份2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期第四次统测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2024届广东省潮州市潮安区凤塘中学高三上学期第四次统测数学试题 一、单选题1．已知集合，则集合的真子集的个数为（    ）A．16 B．15 C．32 D．31【答案】B【分析】先求出不等式的解集确定集合中元素，然后求出真子集的个数即可.【详解】不等式可化为，解得：，所以集合则其真子集的个数为.故选：B.2．已知，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由对数函数与指数函数的单调性求解即可【详解】因为，所以所以.故选：D3．已知向量，满足，，且，则向量，夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平面向量模的坐标表示求得，再利用平面向量数量积与模求得向量，夹角的余弦值.【详解】依题意，设与夹角为，因为，，，所以.故选：C.4．若等差数列的前5项和为75，，则（    ）A．40 B．45 C．50 D．55【答案】B【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列前项和与基本量和的关系将题目条件全部转化为基本量的关系，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，根据题意可得，解得，，.故选：B.5．已知函数，则不等式的解集为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，即可得解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，且，所以，函数为偶函数，当时，且不恒为零，所以，函数在上为增函数，由可得，则，可得，整理可得，解得.故选：D.6．在中，，AD平分交BC于点D，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，结合正弦面积公式和角平分线性质，化简易得，对由余弦定理可得，进而求得.【详解】因为，AD平分，，由，得，即，化简得．在中，，整理得，即，故．故选：B7．已知函数．若互不相等的实根满足，则的范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数图象有三个实数根的函数值在之间，第一段函数关于对称，即可求出，再根据图象得到的取值范围，即可得到答案.【详解】根据函数的解析式可得如下图象若互不相等的实根满足，根据图象可得与关于，则，当时，则是满足题意的的最小值，且满足，则的范围是.故选：A.8．在正三棱锥P－ABC中，O为△ABC的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（    ）A．49π B．36π C．32π D．28π【答案】A【分析】设侧棱长为x，由求得和的余弦值，利用二倍角公式可求得，从而求得棱锥的高，设球心为M，球半径为，表示出，然后由勾股定理可求得，得球表面积．【详解】设侧棱长为x，且易知则，因为，则,所以，解得，所以，设球心为M，则MP=MA=R，，因为，所，解得，所以表面积，故选：A. 二、多选题9．已知复数z满足，则下列说法中正确的是（    ）A．复数z的模为 B．复数z在复平面内所对应的点在第四象限C．复数z的共轭复数为 D．【答案】AD【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可.【详解】因为，所以，，有，故A正确；复数在复平面内所对应的点为，位于第一象限，故B错误；复数的共轭复数为，故C错误；因为，故D正确，故选:AD.10．秋季开学前，某学校要求学生提供由当地社区医疗服务站或家长签字认可的返校前一周（7天）的体温测试记录，已知小明在一周内每天自测的体温（单位：）依次为，则该组数据的（    ）A．极差为 B．平均数为C．中位数为 D．第75百分位数为【答案】ABD【分析】根据极差、平均数、中位数和百分位数的定义判断即可.【详解】体温从低到高依次为，极差为，故正确；平均数为，故B正确；中位数为，故错误；因为，所以体温的第75百分位数为从小到大排列的第6个数，是，故D正确.故选：ABD.11．已知向量，函数，则（    ）A．的最大值为2B．直线是图象的一条对称轴C．点是图象的一个对称中心D．在上单调递减【答案】ACD【分析】根据向量数量积求出解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.【详解】因为，所以的最大值为2，A正确；因为，，所以B错误，C正确；令，，解得，，所以的单调递减区间为，，所以D正确.故选：ACD12．如图在正方体中，分别是棱的中点，点是线段上的动点（不包含端点）则下列说法中一定正确的是（    ）A．MN平面APC；B．存在唯一点，使得平面；C．点到平面的距离为定值；D．若为棱的中点，则四面体的体积为定值.【答案】BD【分析】对A，举反例在平面上即可；对B，根据平面，结合线面平行的判定与性质判断即可；对C，推导可得在平面两侧即可判断；对D，连接交于，连接，根据平面判断即可.【详解】对A，因为分别是棱的中点，故，所以共面，故当是线段与平面的交点时，平面不成立，故A错误；对B，因为分别是棱的中点，易得均全等，故，所以四边形为菱形，故.又平面，平面，故平面.又因为，连接交于，此时平面；当不为交点时，与平面不平行，故B正确；对C，取中点，由A可得，同理，又，故.故平面即平面，易得在平面两侧，故点到平面的距离不为定值，故C正确；对D，连接交于，连接.因为为中点，故，平面，平面，故平面，故到平面的距离为定值，故四面体的体积为定值，故D正确；故选：BD 三、填空题13．已知向量，且，则          .【答案】【分析】根据向量平行列出方程，求出m的值.【详解】由题意得：，解得：.故答案为：-114．已知，则          ．【答案】【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】.故答案为：15．某部门为了了解一批树苗的生长情况，在3000棵树苗中随机抽取200棵，统计这200棵树苗的高度（单位：，将所得数据分为7组：，并绘制了频率分布直方图（如图），根据该图可推测，在这3000棵树苗中高度小于的树苗棵数是            棵【答案】600【分析】根据频率分布直方图的性质求出，再求出在这3000棵树苗中高度小于的频率，然后根据频数=样本容量×频率可求出结果.【详解】根据频率分布直方图可知，，得，所以在这3000棵树苗中高度小于的频率为，所以在这3000棵树苗中高度小于的树苗棵数是棵.故答案为：.16．已知奇函数在上单调递减，且，则函数的解析式可以为=      .（写出一个符合题意的函数即可）【答案】（答案不唯一）【分析】根据正弦函数的周期和单调性的性质，直接写出符合题意的解析式即可.【详解】因为，所以奇函数的周期为4，所以可得，时，，可知此时在上单调递减.故答案为： 四、解答题17．已知．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）联立，解出，进而求得；（2）原式，分子分母同时除以，转化为含的式子，代入（1）的结论即可求得它的值.【详解】（1）因为，故．则．又，且，则．故．又，二者联立解得：，，故．（2）18．设内角A、B、C所对边分别为a,b,c,已知,.(1)求角B的大小;(2)若,求的面积.【答案】(1)(2) 【分析】(1)根据正弦定理和余弦定理对进行化简,得到的值,进一步得到角B的大小;(2)先根据正弦定理求出的值,结合角的取值范围,即可得到角的大小,再依据三角形内角和求得角的大小,利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）∵,∴,∴,∴,又,故.（2）由正弦定理得:即,所以,又,所以,则,,所以.19．已知等差数列满足．(1)求的通项公式；(2)设是等比数列，，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）结合题意利用等差数列的通项公式求出公差，即可求出通项公式；（2）根据是等比数列及，即可求出等比数列的通项公式，再利用分组求和即可求出.【详解】（1）是等差数列且（2）是等比数列，采用分组求和即得.20．随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：，.参考公式：相关系数.线性回归方程的斜率，截距.附：相关性弱一般强【答案】(1)，与具有很强的线性相关关系(2)，预测2023年该公司的研发人数约为613人 【分析】（1）首先求，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解；（2）根据参考公式求和，即可求得回归直线方程，并代入求预报值.【详解】（1）由条形统计图，得，，所以，.所以.因为相关系数，所以与具有很强的线性相关关系，且为正相关.（2），所以，所以.由题意知，2023年对应的年份代码，当时，，故预测2023年该公司的研发人数约为613人.21．已知函数.(1)求的最大值；(2)在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若求BC边上高AD的长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简整理可得，再根据正弦函数的有界性求最值.（2）根据题意可求得，利用余弦定理可求得，再结合面积公式求高AD的长.【详解】（1）由题意可得：，故当，即时，取到最大值.（2）由题意可得：，即，∵，则，∴，则，在中，由，可得，又∵，即，∴，故BC边上高AD的长为.22．在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据平行四边形，可得线线平行，进而可证明线面平行.（2）根据空间向量，计算法向量，利用法向量的夹角求二面角.【详解】（1）证明：取的中点，连接，，又是的中点，所以，且．因为四边形是矩形，所以且，所以，且．因为是的中点，所以，所以且，所以四边形是平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，四边形是矩形，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示）．设，所以，．因为，分别为，的中点，所以，，，所以，，．设平面的一个法向量为，由即令，则，，所以．设平面的一个法向量为，由即令，则，，所以．所以．由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．