2023届新疆维吾尔自治区喀什地区喀什第六中学高三上学期高考实用性（三）数学（理）试题含答案

2023届新疆维吾尔自治区喀什地区喀什第六中学高三上学期高考实用性（三）数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】首先求出集合，再根据计算可得.

【详解】解：；

又．

故选：A．

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.

2．在复平面内，若复数，则复数的共轭复数对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的模长及除法运算求解即可

【详解】则= ，其共轭复数为，对应的点为 位于第一象限

故选A

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．在平行四边形中，若交于点，则

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据题意知，点E为CD的中点，并设，根据向量加法、数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出，而根据三点B，F，D共线即可得出λ的值，从而用表示出．

【详解】如图，∵，∴E为CD的中点，

设，且B，F，D三点共线，

∴，解得，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．

4．某种动物繁殖量（只）与时间（年）的关系为，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到（    ）

A．200只 B．300只 C．400只 D．500只

【答案】A

【分析】根据这种动物第2年有100只，先确定函数解析式，再计算第8年的繁殖数量即可．

【详解】由题意，繁殖量（只）与时间（年）的关系为，

又这种动物第2年有100只，即当时，，

所以，解得，

故，

所以当时，．

故选：A．

5．曲线上的点到直线的最短距离是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】B

【分析】先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.

【详解】设与平行的直线与相切，

则切线斜率k=1，

∵∴，

由，得

当时,即切点坐标为P(1,0)，

则点(1,0)到直线的距离就是线上的点到直线的最短距离，

∴点(1,0)到直线的距离为：，

∴曲线上的点到直线l: 的距离的最小值为.

故选：B.

6．设变量满足不等式组，则的最小值是

A． B． C． D．5

【答案】B

【详解】由约束条件作出可行域如图，

的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，

则其最小值为

故选：B.

7．函数，则下列坐标表示的点一定在函数图像上的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】试题分析：因为函数，,所以,所以函数为偶函数，

则、均在函数图像上．故选D．

【解析】函数的奇偶性．

8．有名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【详解】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧，

选出一人排在左侧，有：种方法，

另外一人排在右侧，有种方法，

余下两人排在余下的两个空，有种方法，

综上可得：不同的站法有种.

本题选择B选项.

9．设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】本题主要考查等比数列的性质：等比数列连续项之和仍为等比数列．即成等比数列，则由等比中项的性质有整理得D选项．

10．如图所示直三棱柱内接于圆柱之中，圆柱的体积为，侧面积为，，若三棱柱的体积为，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，分别列出圆柱的体积公式和侧面积公式，解出底面圆的半径和圆柱的高，然后，根据三角形外接圆的性质求出边上的高的最大值，进而求出三棱柱的体积的最大值

【详解】设圆柱底面圆的半径为，设圆柱的高为，设圆柱的体积为，根据题意，列出方程得，

，解得，因为中，，

到的距离为，所以，在圆中，

到的最长距离为，所以，

所以，三棱柱的体积的最大值.

故选：A

11．过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得，由题知直线斜率存在，设直线的斜率为，，设直线为，然后根据圆的弦长公式，以及圆心到直线的距离，由，进而化简求解即可

【详解】由得，

曲线表示单位圆在轴上方的部分（含与轴的交点），

由题知，直线斜率存在，设直线的斜率为

若直线与曲线有两个交点，且直线不与轴重合，

则，直线的方程为：，即

则圆心到直线的距离

直线被半圆所截得的弦长为

令

则，

当，即时，有最大值为

此时，

又，

综上所述，直线的斜率是

故答案为：A

【点睛】关键点睛：通过圆的弦长公式和圆心到直线的距离，得出，进而令，可得，进而利用二次函数的性质求解即可，属于中档题

12．函数的零点个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【详解】函数零点的个数即为方程，

即为的解的个数，

从而可以转化为函数的图像与直线的交点的个数，

作出函数的图像与直线的图像，如图，

可以发现两条曲线有三个交点，从而可以得出函数的零点有3个，

故选：C.

二、填空题

13．在－1和7之间插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则公差为           ．

【答案】2

【分析】根据等差数列的通项公式直接求解.

【详解】由等差数列的通项公式可得公差．

故答案为：2

14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为          ．

【答案】

【详解】由题得所以

所以（舍去负根），所以，故填.

15．已知四棱锥的高为1，和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到，，，，距离都相等的点；

③可能有平面平面；

④四棱锥的体积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是          .

【答案】①②④

【分析】对①，分析当四棱锥为正四棱锥时是否满足条件即可；

对②，设四棱锥的高为，分析可得点满足；

对③，假设平面平面，再推导得出矛盾即可判断；

对④，设，得出四棱锥的体积表达式再求解即可

【详解】根据题意，设，则，又因为和均是边长为的等边三角形，易得，且

对①，当时，底面为正方形，且为底面中心，此时四棱锥可能为正四棱锥，故①正确；

对②，，故一定存在到，，，，距离都相等的点，故②正确；

对③，当平面平面时，因为，故平面，此时，又因为，此时重合，不满足题意，③错误；

对④，设，则

，因为，故，所以，故④正确

故答案为：①②④

16．已知函数若函数存在零点，则实数的取值范围为          ．

【答案】或

【详解】函数存在零点，即方程 存在实数根，

也就是函数与的图象有交点．如图：直线恒过定点 过点与的直线的斜率

设直线与相切于，则切点处的导数值为，则过切点的直线方程为由切线过则 得 ．此时切线的斜率为 ．由图可知，要使函数 存在零点，则实数的取值范围为 或

故答案为 或．

三、解答题

17．已知 分别为△的三个内角 的对边，满足 ．

（Ⅰ）求及△的面积；

（Ⅱ）设函数，其中，求的值域．

【答案】（I），；（II）.

【分析】（I）根据正弦定理，代入即可求得，再利用正弦定理求得，最后利用三角形面积公式可求得；

（II）根据向量数量积的坐标运算，结合辅助角公式化简函数，再结合三角函数的值域求法即可得值域．

【详解】（I）由正弦定理可得，代入即，化简可得,即；

又，故可得，则由正弦定理可得，

代入即可求得；

又.

（II）由（I）可得，则，

，，则.

值域为.

18．某学校高二年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以165cm作为身高达标的标准，由抽取的100名学生，得到以下的列联表：

（1）请将上表补充完整；

（2）是否有95%的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关．

附：

K2＝．

【答案】（1）答案见解析；（2）有的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关.

【分析】（1）根据题意填写列联表即可；

（2）由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论．

【详解】（1）根据题意，填写列联表如下；

（2）由表中数据，计算观测值

又∵4.815＞3.841

∴有95%的把握认为经常参加体育锻炼与身高达标有关.

19．如图所示等腰梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿AE将折起，使得点D到达F位置.

(1)当时，求证：平面AFC；

(2)当时，求二面角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得结论成立.

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的大小.

【详解】（1）设，

由于四边形是等腰梯形，是的中点，，

所以，所以四边形是平行四边形，

由于，所以四边形是菱形，

所以，

由于，是的中点，

所以，

由于，

所以平面.

（2）由于，

所以三角形、三角形、三角形是等边三角形，

设是的中点，设，

则，

所以，所以，

由于两两垂直.

以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

，

,

平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，故可设，

由图可知，二面角为钝角，设二面角为，

，则.

20．已知椭圆的离心率为，点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.

【答案】(1)

(2)是定值，理由见解析

【分析】（1）根据椭圆的离心率以及点左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得的值，从而得椭圆的标准方程；

（2）根据直线与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点，的坐标关系，利用直线，的斜率之积等于，可得，分别求与原点到的距离，求的面积，即可判断其是否为定值.

【详解】（1）解：椭圆离心率为，即，

点与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形，

，，，故椭圆的方程为.

（2）解：由直线与椭圆交于，两点，设，，则

联立得，

，则

，

.

，

.

原点到的距离，

为定值.

21．已知函数，其中，且

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)设，若存在极大值，且对于的一切可能取值，的极大值均小于，求的取值范围.

【答案】(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）按的正负分类讨论，根据导数与单调性的关系即得；

（2）求出导数，根据函数的单调性求函数极大值，构造函数，利用导数求函数的最值即得．

【详解】（1）当时，，

故，

当时，，由，得，由，得，

因此的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，，由得，由得，

因此单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）由题可知，

显然，设的两根为，

则当或时，，当时，，

故极大值只可能是，且，

所以，又，

故，且，，

从而，

令，

则，

故在单调递减，从而，

因此，

解得.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

22．选修4－4：坐标系与参数方程

已知曲线C的参数方程为（为参数），以直角坐标系xoy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．

（1）将曲线C的参数方程化为极坐标方程；

（2）已知直线的极坐标方程为（），若曲线C上至少有3个点到直线的距离为1，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）根据同角三角函数关系消参数得普通方程，再根据,,得极坐标方程（2）根据直线与圆位置关系得圆心到直线的距离不大于1，再根据点到直线距离公式列不等式，解得结果.

【详解】（1）由得，所以，

即，

由,,,得曲线的极坐标方程为

（2）（法一）由（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，此时圆心到直线的距离不大于1，

设直线的直角坐标方程为，即，其中，

∴圆心到直线的距离为，解得，即，

∵，∴．

（法二）由题意及（1）知曲线是以为圆心，2为半径的圆，直线与圆相交于原点，当曲线上至少有3个点到直线的距离为1时，直线与圆相交的弦长不小于，将代入曲线的极坐标方程，得，

即，

又，∴，

故，即的取值范围是．

【点睛】化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消元法、加减消元法、恒等式(三角的或代数的)消元法，经常用到公式：.不要忘了参数的范围.

23．已知函数f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；

（2）当f（x）≤1，求实数a的取值范围．

【答案】（1）[2,+∞）；（2）0≤a≤4．

【解析】（1）将函数写成分段函数的形式，画出函数图像，数形结合求得不等式解集；

（2）将恒成立问题转化为求解绝对值不等式的最值问题，再利用绝对值三角不等式求得最值即可.

【详解】（1）a＝1时，

函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣2|﹣1；

画函数f（x）的图象，如图所示；

由图象知，不等式f（x）≥0的解集为[2,+∞）；

（2）令f（x）≤1，得f（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|﹣1≤1，

即|x﹣a|﹣|x﹣2|≤2（*）；

设g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，

则g（x）≤|（x﹣a）﹣（x﹣2）|＝|﹣a+2|＝|a﹣2|，

当且仅当时，或时，取得最大值.

不等式（*）可化为|a﹣2|≤2，

即﹣2≤a﹣2≤2，

解得0≤a≤4；

所以实数a的取值范围是0≤a≤4．

【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及利用绝对值三角不等式求解绝对值函数的最值，属综合基础题.