2022-2023学年四川省成都市石室中学高三上学期周练（五）理科数学word版含解析

  成都石室中学高2023届高三上数学周练五(理)

                                                姓名：

一、单选题

1．已知集合A满足，则所有的个数为（   ）

A．8 B．7 C．6 D．15

2．设是两个随机事件，且，则“事件相互独立”是“事件互斥”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

4.在等比数列中,若,是方程的两根,则

A．          B．           C．           D．

5．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

6函数的单调递增区间是（    ）

A.      B.

C.       D.

7．已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，，若三棱锥的体积最大值为2，则球O的半径为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数的大致图像如图所示，将函数的图像向右平移后得到函数的图像，则（    ）

A． B． C． D．

9．当时，（且）恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．当m变化时，不在直线上的点构成区域G，是区域G内的任意一点，则的取值范围是（    ）

A． B．  C． D．

11．已知定义在上的奇函数满足：，则关于的不等式在的解集为（    ）

A． B．

C． D．

12．已知抛物线，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直线的垂线，垂足为P，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

二、填空题

13．复数的共轭复数___________.

14.在的展开式中,的系数为_________．（用数字作答）

15．已知椭圆C：的两个焦点为，，P为椭圆上任意一点，点为的内心，则m＋n的最大值为______.

16．若对任意，都有（其中为自然对数的底数）恒成立，则实数a的最小值为______．

三、解答题

17．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，满足，，且．

(1)求角A；

(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围．

18．在体育课投篮测试中，规定每个学生最多有5次投球机会，若学生累计投中3次或累计3次投不中即终止投球，投中3次为合格，3次投不中则不合格，已知某同学每次投球投中的概率为.

(1)求该同学投球3次就结束投篮测验的概率；

(2)求该同学在投篮测验中投球次数X的分布列，并求X的数学期望.

19．如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O，，矩形为该圆柱的轴截面，，点E在底面圆周上，点G为的中点.

(1)若，试问线段上是否存在点F，使得?若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由.

(2)求直线与平面夹角的正弦值的最大值.

20．已知，为椭圆的左、右焦点，点为其上一点，且​.

(1)求椭圆 的标准方程；

(2)过点的直线与椭圆相交于两点，点关于坐标原点的对称点，试问的面积是否存在最大值? 若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

21.已知函数，其中，e=2.71 828…是自然对数的底数.

（Ⅰ）当时，求函数的最大值；

（Ⅱ）证明：当时，方程无实根；

（Ⅲ）若函数是内的减函数，求实数的取值范围.

22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：．

(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)过点的直线l与C相交于A，B两点，求的值．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】由子集与真子集的概念即可得出结果．

【详解】由题意得，集合A中必含有元素1，含有2，3，4中的部分元素，

所以满足条件的集合A有：，，，，，，，共7个．

故选：B．

2．D

【分析】由独立事件及互斥事件的概念和性质即可得到二者间的逻辑关系

【详解】由“事件相互独立”得，；

由“事件互斥”得；

由不能得到；由不能得到

所以“事件相互独立”是“事件互斥”的既不充分也不必要条件

故选：D.

3．D

【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数的取值范围.

【详解】由题意得是真命题，即，，

当时，符合题意；

当时，有，且，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故选:D.

4．A

5．A

【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.

【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，

第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

所以共（种）选派方案，

故选：A.

6.C

7．D

【分析】根据已知条件及同弧所对圆心角与圆周角的关系，再利用勾股定理及棱锥的体积公式即可求解.

【详解】设的外接圆圆心为，依题意可知为正三角形，所以圆的半径，设球O的半径为R，因为平面，所以，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的高等于，所以三棱锥，得，解得.

所以球O的半径为.

故选:D．

8．A

【分析】根据图象先求得A和，得到，再将代入求得，再利用平移变换得到即可.

【详解】解：依题意，，，故，

故，故，

将代入可知，，

解得，故，

故，

则.

故选：A.

9．B

【分析】由在上恒成立，得，构造函数，则在上为增函数，从而可求出实数a的取值范围.

【详解】由在上恒成立，得，

令，

则在上为增函数，

所以由，得．

又因为，

所以，

故选：B

10．B

【分析】原方程化为关于的方程，得，，夹角记作，直线与圆相切，进而得，即可求解

【详解】原方程化为关于的方程，

时，

，得，

当，时，点不在直线上，

所以区域G是以点为圆心，半径为1的圆的内部（除外不包括圆上点），

，，，夹角记作，

由坐标可知三点共线，且，

当直线与圆相切于点时，，所以此时，

因此，．

故选：B

11．D

【分析】根据函数为奇函数，求出在上的解析式，从而问题转化为：当时，解不等式：，解此不等式要借助导数来解决；当时，解不等式：．分段求解不等式即可得到答案．

【详解】∵为定义在上的奇函数

∴当时，

不等式等价于：

当时，解不等式：

令，

∴，在单调递减

∵

∴使得

∴在单调递增，在单调递减

∵

∴当时,的解集为，即的解集为；

当时，解不等式：

化简为，即，解得．

综上，不等式在的解集为．

故选：D．

12．A

【分析】由条件确定点的轨迹，结合抛物线的定义，圆的性质求的最小值.

【详解】∵  抛物线的方程为，

∴  ，抛物线的准线方程为，

∵ 方程可化为，

∴过定点，

设，设的中点为，则，因为，为垂足，

∴，所以，

即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

过点作准线的垂线，垂足为，则,

∴ ,，又，当且仅当三点共线且在之间时等号成立，

∴ ，

过点作准线的垂线，垂足为，则,当且仅当三点共线时等号成立，

∴ ，当且仅当四点共线且在之间时等号成立，

所以的最小值为，

故选：A.

13．##

【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.

【详解】因为，

所以，

故答案为：

14．40

15．

【分析】由，得到，再由内切圆的性质和焦半径公式得到，消去得到内切圆圆心的轨迹方程，再利用三角换元，根据三角函数的性质求解.

【详解】解：设，内切圆的半径为r，

所以，

则，

设椭圆的左右焦点为，

则，

同理，

又内切圆的性质得，

所以，

消去得，即，

又因为，

所以，

设，

则，

所以m＋n的最大值为，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是内切圆性质的应用及椭圆焦半径公式的推导与应用.

16．

【分析】恒成立等价于恒成立，构造函数，即恒成立，求判断函数单调递增，则有恒成立，即，令，求导求的最大值即可求出的最小值.

【详解】解：因为对任意，恒成立，所以有恒成立；

令，即证，则有，所以在上单调递增，即有在上恒成立，即在上恒成立；

令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；所以，即.

故答案为：.

17．(1)或

(2)

【分析】（1）由可得，由正弦定理可得，即可结合角的范围求出角A；

（2）是锐角三角形，，，结合正弦定理得，由三角恒等变换得，根据B的范围讨论值域即可

（1）

因为，，且，所以，即．

在中，由正弦定理得，而，所以，又，所以或．

（2）

因为是锐角三角形，所以，所以，又，且，所以．

由及正弦定理得，则，，

所以，

而，则，故，

所以的取值范围．

18．(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）该同学投球3次就结束了则3次都投中或都没投中，利用相互独立事件乘法公式计算即可；

（2）求得的可能取值及对应概率，完成分布列，进而求得数学期望．

（1）

该同学投球3次就结束了投篮测验的概率为：；

（2）

由题知：可能取的值为3，4，5，

；

；；

所以的分布列为：

．

19．(1)存在，为线段的中点

(2)

【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设，设，根据，可得，求出，即可得出结论；

（2）设，利用向量法求解即可.

（1）

解：假设存在，

如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，

则，

则，

不妨设，

则，

因为，

所以，解得，

所以当为线段的中点时，；

（2）

解：设，则，

，

则，

设为平面的一个法向量，

则有，可取，

设直线与平面的夹角为，

则，

则当时，，

所以直线与平面夹角的正弦值的最大值为.

20.（1）由题意设椭圆的标准方程为 ，

因为点 为椭圆上一点，且，

所以，解得

所以椭圆的标准方程为 .

（2）设直线，，

由，得，

，

则，

设的面积为，则

，

令，则，

令（），则，

所以在上为增函数，

所以，

所以的最大值为，此时，

所以存在当 时，即直线的方程为，的面积有最大值，其最大值为 3 .

21.解：(Ⅰ) 当时，，，……………………………………1分

当，，在内单增；

当，，在内单减，

.   ……………………………………………………………………  2分

(Ⅱ)由，得，即，原方程无负实根，

故有，………………………………………………………………………………3分

令，，

当，，在内单增；

当，，在内单增，                   

则，而当时，，

故值域为.    …………………………………………………………………5分

方程无正实根等价于当，即，也即，

综上，当时，方程无实根.  ……………………………………………6分

（Ⅲ），

由题设知，，无妨取，有，即，也即. ……………………………………………………………………………………7分

      当时，且，有，

        由(Ⅰ)知，也有，

故，函数在内单减. …………………………………………9分

      当时，， 且，即，

令，，

，

当，，在内单增，

，此时，在内单增，

，与题设矛盾. ………………………………………………………11分

      综上，当且仅当时，函数是内的减函数.   ………………………12分

      (注：不能说明当时命题不成立，最多得9分)

22．(1)；

(2)

【分析】（1）消去参数得直线的普通方程，由公式化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）把直线的参数方程化为标准形式，代入曲线方程，由参数的几何意义求弦长．

（1）

由于，消t得，即，

由得，∴曲线C的直角坐标方程是：

（2）

将直线l: 化为标准形式（为参数），

代入，并化简得

，设A，B对应参数为，，，,

所以

23．(1)

(2)

【分析】（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集；

（2）利用绝对值三角不等式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

（1）

因为，

所以等价于，或，或，

解得或或，所以，即不等式的解集为．

（2）

因为，当且仅当时等号成立；

所以函数的最小值为，