2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第一次周考数学（理科）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第一次周考数学（理科）试题含答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届第一次周考
数学试题(理科)
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1．已知为虚数单位，则（    ）
A．1+ B．1－ C．－1+ D．－1－
2．设集合．若集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ）
A． B． C． D．
3．若实数满足约束条件，则的最小值为（    ）．
A．2 B．3 C．5 D．6
4．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（     ）．
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
5.抛物线的焦点坐标为（     ）
A． B． C． D．
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑。如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（    ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
8．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：


用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（     ）
A．57周岁以上参保人数最少 B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐 D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
9．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．已知双曲线的左､右焦点分别是,点在双曲线的右支上,则下列说法中不正确的是(    )
A．若直线的斜率为,则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有4个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点,则的最小值为
11.在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，PA=6，AB=1，AD=.若E,F分别为AB,PD的中点,经过C,E,F三点的平面与侧棱PA相交于点G.若四棱锥G-ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为( )
A. B. C. D.2
12.已知中，角A,B,C的对边分别为,,.若，，则tanA的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.
13．展开式中含项二项式系数为__________．
14．锐角满足，则____________.
15．定义在上的奇函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为___________.
16.已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.








18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)求二面角的余弦值．













19．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．

组别
分组
频数
频率
第1组

14
0.14
第2组



第3组

36
0.36
第4组


0.16
第5组

4


合计



(1)求，，，的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．














20．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．

















21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
























（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1`的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数，）；射线，，，与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D
(1)若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；
(2)求的值．







23．已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．












第一次周考（理）
1．B
【分析】利用复数运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
2．D
【分析】根据并集结果可列举出集合所有可能的情况，由此可得结果.
【详解】，，
集合所有可能的结果为：，，，，
满足条件的集合共有个.
故选：D.
3．A
【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线经过点A时，
z取得最小值，联立，
此时．

故选：A

4．在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（    ）．
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.
【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是必然事件.
故选：C
5.抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程化成标准型后可求焦点坐标.
【详解】抛物线的标准方程为：，故焦点坐标为：，
故选：C.

6.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑。如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.
【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，,
则是等边三角形，，侧面中，，
，即.

故选：A
7．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（    ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
【答案】D
【分析】根据已知分析数列中当时，，且，即可根据数列前项和的定义得出答案.
【详解】，在时，，且时，，
则数列中当时，，且，
，
则当其前项和最小时，n是4或5，
故选：D.
8．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：


用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）．
A．57周岁以上参保人数最少 B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐 D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
【答案】B
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.
故选：B
9．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.
【详解】由题设，可得，
所以，则，故，
所以教师用户超过20000名至少经过12天.
故选：D
10．已知双曲线的左､右焦点分别是,点在双曲线的右支上,则下列说法中不正确的是(   )
A．若直线的斜率为,则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有4个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点,则的最小值为
【答案】D
【分析】对于A,设,根据题意,将直线的斜率为化简为二次函数,利用二次函数求出范围;对于B,和各有两个,可判断正误;对于C,利用点到直线距离公式可求点到两条渐近线的距离,进而判断C的正误;对于D,根据点与双曲线的位置关系和双曲线的定义进行转化,当三点共线时,可求最小值.
【详解】对于A,由题意可知,,设,
则直线的斜率为,
,
令
则,
，
令
则在单调递减,

则故A正确.
对于B,当,则满足条件的有两个;
当,则满足条件的有两个;
易得不存在满足,
满足为等腰三角形的有4个,故B正确.
对于C,渐近线方程为,即
所以,故C正确.

11.在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为矩形，底面ABCD，PA=6，AB=1，AD=.若E,F分别为AB,PD的中点,经过C,E,F三点的平面与侧棱PA相交于点G.若四棱锥G-ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的半径为( B )
A. B. C. D.2
12.已知中，角A,B,C的对边分别为,,.若，，则tanA的最大值为（ C ）
A. B. C. D.

13．展开式中含项二项式系数为__________．
【答案】
【分析】根据二项式系数的定义运算求解.
【详解】展开式中含项二项式系数为.
故答案为：20.
14．锐角满足，则____________.
【答案】
【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.
【详解】由题意可知，，
又，且为锐角，所以，
即.
故答案为：

15．定义在上的奇函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为___________.
【答案】
【分析】判断出的对称性、周期性，画出的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】解：依题意，定义在R上的奇函数满足，
，所以关于对称，

，所以是周期为的周期函数.
，
所以关于点对称.
由于函数关于原点对称，图象可以由图象向右平移个单位得到，
所以函数关于对称，
画出，的图象如下图所示，
由图可知，，有个公共点，
所以的所有零点和为.
故答案为：

16.已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.
【答案】##
【分析】令，进而根据向量模的不等式关系得，且，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.
【详解】设，则，
所以，
，
由二次函数性质可得，，即：
所以，
所以的最小值为
故答案为： .
17．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
（2）,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：

.
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．

(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明
（2）建系，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）取PA的点Q，满足，连接MQ，QB，

因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，即，且，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
则，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．
（2）如图所示，以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，
又N为BC的中点，则，
所以，，，，
设平面CPD的法向量为，
则，令，则，
设平面CPN的法向量为，
则，令，则，
所以，
由题意可得：二面角的平面为钝角，故其余弦值为．
19．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．

组别
分组
频数
频率
第1组

14
0.14
第2组



第3组

36
0.36
第4组


0.16
第5组

4


合计



(1)求，，，的值；
(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)，，，
(2)分布列见解析，数学期望为

【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.
（2）服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果.
【详解】（1）由题意可得第四组的人数为，
所以，，
又内的频率为，所以，
内的频率为0.04，所以．
（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为，
由题意可取0，1，2，3，且，
所以，，
，，
所以的分布列为：

0
1
2
3
P





．
20．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
【答案】(1)
(2)6

【分析】（1）由离心率为可得，又面积的最大值为，联立方程求解即可得答案；
（2）设直线BC方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理可得，又，，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，根据韦达定理化简可得，从而即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，
设，由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，
所以椭圆的标准方程为；
（2）解：设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，
直线BA的方程为，令得点M纵坐标，
同理可得点N纵坐标，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，

，
由，故，解得．
21．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递减；在上单调递增.
(2)证明见解析

【分析】（1）先求函数的定义域，对函数求导，令导数为0，解出，然后在定义域范围内分析即可.
（2）利用分析法证明，变形要证明的式子，结合构造新函数利用函数的导数进行证明.
【详解】（1）的定义域为，
，
令，得：，
当变化时的关系如下表：


0

1



无意义

0



无意义




在上单调递减；在上单调递增.
（2）证明：要证，
只需证：
根据，只需证：
不妨设，由得：；
两边取指数，，化简得：
令：，则，
根据（1）得在上单调递减；
在上单调递增（如下图所示），

由于在上单调递减，在上单调递增，
要使且，
则必有，即
由得：.
要证，只需证：，
由于在上单调递增，要证：，
只需证：，
又，只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
只需证：，
即证，
令，
只需证：，
，
令，
在上单调递减，
所以，
所以
所以在上单调递减，所以
所以
所以：.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.

22．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1`的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数，）；射线，，，与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D
(1)若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；
(2)求的值．
【答案】(1)，：，：
(2)

【分析】（1）把、的方程化为直角坐标方程，根据曲线关于曲线对称，知圆心在上，从而求得的值；
（2）由题意得，，，，再由两角和与差的余弦公式计算求解．
【详解】（1）：，∵曲线关于曲线对称，∴圆心在上，即，整理得，即．
∴：．
（2），，，，
∴
．
23．已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．

【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分，，三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.
（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出的最小值，结合（1）分情况讨论，解不等式即可.
【详解】（1）法一：由题得，
其中，当时，，从而易得函数的值域为．
法二：由绝对值不等式的性质可得，，
所以，当且仅当，即或时取得等号，
故函数的值域为．
（2）由基本不等式，得，
当且仅当时取得等号，故的最小值为2．
由题得，，即，
等价于或或，
由此可解得，故原不等式的解集为．