2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第3次周考（文科）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第3次周考（文科）数学试题含答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
 成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届第三次周考
数学试题(文科)
一、选择题
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知正数x，y满足：（），则下列关系式恒成立的是（ ）
A. B.
C. （） D.
4．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收人是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收人构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（ ）

A．2021年甲系列产品收人和2020年的一样多
B．2021年乙和丙系列产品收人之和比2020年的企业年总收人还多
C．2021年丁系列产品收人是2020年丁系列产品收人的
D．2021年戊系列产品收人是2020年戊系列产品收人的2倍还多
5. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A. 1倍 B. 10倍 C. 100倍 D. 1 000倍

7. 已知等差数列的前项和为，公差为3，若，，成等比数列，则（ ）
A. 9或13 B. 13 C. 15或35 D. 35
8.已知点分别是平行六面体的棱上的点，且，，点分别是线段上的点，则满足与平面平行的直线有（ ）条
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
9．圆上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
11．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为（ ）．
A． B． C． D．
12. 对于函数，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是；
（2）当且仅当时，该函数取最大值；
（3）该函数的最小正周期为；
（4）当且仅当时，；
其中所有正确命题个数是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13．已知向量，，且，则______．
14. 若，满足约束条件，则的最大值为___________.
15. 已知，分别是椭圆C：（）的左，右焦点，B是C的上顶点，过的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，与的周长比为，则椭圆的离心率为_________；如果，且，则的面积为_________．
16. 已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）






四､解答题：
17文，党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力､人才是第一资源､创新是第一动力，深入实施科教兴国战略､人才强国战略､创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：
（1）根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.
参考数据：当认为两个变量间的相关性较强
参考公式相关系数，
回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.








18. 如图所示，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，，点分别为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，求点C到平面的距离.







19．已知为数列的前n项和，且满足，．单调递增等比数列满足，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数m，n使得成立？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．
故存在符合条件的止整数m，n，其中，．12分






20．已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．
（1）求E的方程；
（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．









21．已知函数，．
（1）若的最值和的最值相等，求m的值；
（2）证明：若函数有两个零点，则．










选做题：（在22题与23题中任选一题作答，并将所选的题目标记在答题卡上）
22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的方程为；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求．





23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的定义域为.
(1)求实数的范围；
(2)若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.









周考三
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】分别解不等式和求出集合，，再进行交集运算即可求解.
【详解】由可得：，所以，
由可得：，所以 ,
所以，
故选：A.
2. 若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的乘法和除法运算，进行化简即可.
【详解】解：已知，则.
故选：B.
3. 已知正数x，y满足：（），则下列关系式恒成立的是（ ）
A. B.
C. （） D.
【答案】D
【解析】
【分析】由对数函数的单调性可得，根据正弦函数的性质可判断A，根据不等式的性质可判断BCD.
【详解】由（）得,
因为正弦函数为周期函数，故的大小无法确定，故A错误，
由得,故B错误，
因为，所以，当时，，故C错误，
因为，所以，故D正确，
故选：D
4．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收人是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收人构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（ C ）

A．2021年甲系列产品收人和2020年的一样多
B．2021年乙和丙系列产品收人之和比2020年的企业年总收人还多
C．2021年丁系列产品收人是2020年丁系列产品收人的
D．2021年戊系列产品收人是2020年戊系列产品收人的2倍还多
5. 人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A. 1倍 B. 10倍
C. 100倍 D. 1 000倍
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数运算即可求解.
【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，
根据题意得＝，解得，，解得，所以
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
故选: B.



7. 已知等差数列的前项和为，公差为3，若，，成等比数列，则（ ）
A. 9或13 B. 13
C. 15或35 D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】利用，，成等比数列得到关于 的方程，解出，再利用等差数列前n项和公式求出.
【详解】因为，，成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
而当 时， 不合题意，故 ，
.
故选：D
8.已知点分别是平行六面体的棱上的点，且，，点分别是线段上的点，则满足与平面平行的直线有（ D ）条
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
9．圆上恰好存在2个点，它到直线的距离为1，则R的一个取值可能为（ B ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
10. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】令，则为奇函数，根据已知求出，，再由即可求出答案.
【详解】解：根据题意，函数，
则，
则有，
故，
若，则，
故选：C.
11．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．又点A，B，C都在球O的球面上，且点O到平面ABC的距离为，则球O的体积为（ B ）．
A． B． C． D．
12. 对于函数，给出下列四个命题：
（1）该函数的值域是；
（2）当且仅当时，该函数取最大值；
（3）该函数的最小正周期为；
（4）当且仅当时，；
其中所有正确命题个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】因为，
所以，，
对于（3），
，所以，函数为周期函数，
作出函数的图象（图中实线）如下图所示：

结合图形可知，函数的最小正周期为，（3）对；
对于（1），由图可知，函数的值域为，（1）错；
对于（2），由图可知，当且仅当或时，函数取得最大值，（2）错；
对于（4），由图可知，当且仅当时，，（4）对.
故选：B.
13．已知向量，，且，则______．
14. 若，满足约束条件，则的最大值为___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义可求得最大值.
【详解】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，得，
由，得，由图可知，当直线过时，
直线在轴上的截距最小，有最大值为3.
故答案为：3.
【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
15. 已知，分别是椭圆C：（）的左，右焦点，B是C的上顶点，过的直线交C于P，Q两点，O为坐标原点，与的周长比为，则椭圆的离心率为_________；如果，且，则的面积为_________．
【答案】
【解析】设，由题意，的周长为；
因为，所以的周长为，所以，
整理得，平方同除可得，解得.
因为，所以，所以，即椭圆的方程为；
焦点，所以直线的斜率为1，
因为，所以直线的斜率为，即直线的方程为.
联立，得，即或；
不妨设，
所以的面积为.
故答案为： ；.
16. 已知函数，所有满足的点中，有且只有一个在圆上，则圆的标准方程可以是_______.（写出一个满足条件的圆的标准方程即可）
【答案】．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
【解析】由函数得，
所以在定义域上单调递增，
又因为，
所以关于对称，
则，即，
因为，所以，即，
所有满足的点中，有且只有一个在圆上，
则直线与圆相切，假设圆心，
所以，所以圆可以是，
故答案为: ．（注：圆心到直线的距离为半径即可）
四､解答题：本题共6
17文，党的二十大报告提出：“必须坚持科技是第一生产力､人才是第一资源､创新是第一动力，深入实施科教兴国战略､人才强国战略､创新驱动发展战略，开辟发展新领域新赛道，不断塑造发展新动能新优势.”某数字化公司为加快推进企业数字化进程，决定对其核心系统DAP，采取逐年增加研发人员的办法以提升企业整体研发和创新能力.现对2018~2022年的研发人数作了相关统计（年份代码1~5分别对应2018~2022年）如下折线图：

（1）根据折线统计图中数据，计算该公司研发人数与年份代码的相关系数，并由此判断其相关性的强弱；
（2）试求出关于的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数（结果取整数）.
参考数据：当认为两个变量间的相关性较强
参考公式相关系数，
回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，.
17.解：（1）由题知

因为，所以认为相关变量有较强的相关性
（2）由（1）得
回归方程为
当时，即2023年该公司投入研发人数约540人
17理. 为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立.若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜.甲答对每个问题的概率为，答错的概率为，回答完5个问题后，记甲上的台阶等级数为.
（1）求；
（2）求的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，.
【解析】
【分析】（1）分析时甲答对的问题数，然后根据独立重复试验的概率公式求解出；
（2）分析的可取值，然后计算出每个的取值对应的概率，由此得到的分布列并计算出数学期望值.
【详解】当时，则甲答对了个问题，答错了个问题，
所以；
（2）由题意可知，的可取值有：，
，
，
；
；
；
；
所以分布列为：














所以.

18.文 如图所示，在四棱锥中，，底面是边长为2的菱形，，点分别为棱的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，求点C到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，连，，通过证明四边形为平行四边形，可得，再根据直线与平面平行的判定定理可得平面；
（2）取的中点，连，过作，可证平面，则为点到平面的距离，计算可得，根据平面，可得点C到平面的距离.
【详解】（1）取的中点，连，，

因为分别为的中点，所以，，
又，，
所以且，所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
（2）连，因为底面是边长为2的菱形，所以，
因为，，所以平面，
所以，又，，
所以平面，所以，
取的中点，连，
因为底面是边长为2的菱形，且，所以，
为正三角形，所以，又，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，
过作，则平面，则为点到平面的距离，

因为，，所以，
所以，
因为，平面，平面，可得平面，
所以点C到平面的距离为.
【点睛】关键点点睛：（2）中，转化为求点到平面的距离是关键点一，过作，利用面面垂直的性质定理得到平面是关键点二.

18理．刍甍，中国古代数学中的一种几何体．中国传统房屋的顶部大多都是刍甍．《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍,，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．如图下面的五面体为一个刍甍，其五个顶点分别为A，B，C，D，E，F，四边形ABCD为正方形，，平面ABCD，，，平面平面ABCD，O为BC中点．

（1）求证：平面ADE；
（2）求平面ADE和平面BCF所成角锐二面角的大小．

18．解：（1）取AD中点M，连接OF，OM，ME．∵，O为BC中点，∴，
又∵，故平面OMEF，故．
又∵，∴①．3分
在直角梯形OMEF中，，，，可得，，
又可得，②．
由①②，，可得平面．6分
（2）如图，以O为坐标原点，OM所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，OF所在直线为z轴，建立坐标系．可得，，

则由（1）知平面ADE的一个法向量为．
平面BCF的一个法向量为．
故．平面ADE和平面BCF所成角锐二面角大小为．12分
19．已知为数列的前n项和，且满足，．单调递增等比数列满足，，．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数m，n使得成立？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．


20．解：（1）由得，，上两式相减得：，∴，∴是公差为2，首项为1的等差数列，∴，3分
∴由，，得：，，，
∴单调递增等比数列的通项公式为，5分
（2）由（1）得的前n项和，6分
故不等式等价于，即，，
也即，∴，9分
∴（*），由得，代入（*）可得，
所以，
故存在符合条件的止整数m，n，其中，．12分
20．已知椭圆的右焦点为F，P，Q分别为右顶点和上顶点，O为坐标原点，（e为椭圆的离心率），的面积为．
（1）求E的方程；
（2）设四边形是椭圆E的内接四边形，直线与的倾斜角互补，且交于点，求证：直线与交于定点．
20．（1）∵，∴，∴，
又，，∴，，
∴椭圆E的方程为．
（2）∵直线与的倾斜角互补，且交于点，
∴直线与关于x轴对称，∴A与D，B与C分别关于x轴对称．
设，，则，，
∴直线的方程为，
直线的方程为，
联立解得，，

∴直线与交于点．
设直线的方程为，
与椭圆E的方程联立得，
由题意得，，解得，
又，，
∴，
∴直线与交于定点．
21．已知函数，．
（1）若的最值和的最值相等，求m的值；
（2）证明：若函数有两个零点，则．
21．（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）对函数求导可得：，令，可得：，
所以函数在上递增，在上递减，
则，又，所以，，
令，可得：，所以函数在单调递减，在单调递增，
则，
由题意可知：，，
所以m的值为．
（2）若有两个零点，，不妨设，
，设，，
由，得，
因为函数是增函数，所以，
则，设，则，，
欲证，即证，即证，
只需证（*）
设，，
，在上，，单调递减，
所以，所以，
令即得（*）成立，
从而，命题得证．
选做题：（在22题与23题中任选一题作答，并将所选的题目标记在答题卡上）
22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的方程为；以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）若直线与曲线交于两点，求．
22　(1)将曲线的方程为展开整理得
利用，化为……3分
由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为．……5分
【或者：，，】
(2)由得，
设对应的极径分别为，则，，……8分
∴；……10分
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数的定义域为.
(1)求实数的范围；
(2)若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.
23．(1)解：函数的定义域为，
恒成立，
，
，.
(2)解：由（1）知，由柯西不等式知，

，
当且仅当时取等号，的最小值为.