2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第5次周考（理科）数学试题含答案

  成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届第五次周考

数学试题(理科)

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.

1.已知集合,,则(   )

A.    B.    C.     D.

2.若复数是纯虚数,则实数(   )

A.        B.         C.         D.

3.已知数列为递减的等比数列,,且,,则的公比为(   )

A.          B.      C.          D.

4.已知,则(   )

A.         B.       C.         D.

5.正六边形中,用和表示,则(   )

A.   B.   C.   D.

6.某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布：,且,,(   )

A.        B.        C.       D. 

7.设抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上位于第一象限内的一点,过作的垂线,垂足为,若直线的倾斜角为,则(   )

A.           B.           C.          D. 

8.已知,且,则的最小值是(   )

A.           B.           C.          D.

9.若直线与函数和的图象都相切,则(   )

A.          B.           C.           D.

10.函数,的部分图象如图中实线所示,图中圆与的图象交于两点,且在轴上,则下说法正确的是(   )

A.函数的最小正周期是

B.函数在上单调递减

C.函数的图象向左平移个单位后关于直线对称

D.若圆的半径为,则函数的解析式为

11.已知长方体中,,为的中点,为的中点,过的平面与,都平行,则平面截长方体所得截面的面积为(   )

A.       B.         C.         D.

12. 南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”,这是数学史上的一个伟大的成就,如图所示,在“杨辉三角”中,前n行的数字总和记作.设,将数列中的整数项依次组成新的数列,设数列的前n项和记作,则的值为(   )

A. 6067        B. 5052        C. 3048         D. 1518

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.

13.展开式中的常数项为              .

14.半正多面体亦称“阿基米德体”,是以边数不全相同的正多边形为面的多面体.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此共可截去八个三棱锥,得到一个有十四个面的半正多面体,它的各棱长都相等,其中八个面为正三角形,六个面为正方形,称这样的半正多面体为二十四等边体.

则得到的二十四等边体与原正方体的体积之比为              .

15.定义在上的函数,满足为偶函数,为奇函数,若,则              .

16.过双曲线上的任意一点,作双曲线渐近线的平行线,分别交渐近线于点,若,则双曲线离心率的最大值是              .

三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.为了切实加强学校体育工作,促进学生积极参加体育锻炼,养成良好的锻炼习惯,某高中学校计划优化课程,增加学生体育锻炼时间,提高体质健康水平,某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试,得到如下表格：

记这10名学生体质测试成绩的平均分为.

(1)求;

(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格,从这10名学生中任取3名,记体质测试成绩不合格的人数为,求的分布列;

18.设的内角所对的边分别为,且有.

(1)求角;

(2)若边上的高,求.

19.如图,在边长为的正三角形中,分别为边的中点,将沿翻折至,得到四棱锥,为的中点.

(1)证明:平面;

(2)若平面平面,求直线与平面所成的角的正弦值.

20.已知平面内动点到定点的距离和到定直线的距离的比为定值.

(1)求动点的轨迹方程;

(2)设动点的轨迹为曲线,过点的直线交曲线于不同的两点,过点分别作直线的垂线,垂足分别为,判断是否存在常数,使得四边形的对角线交于一定点?若存在,求出常数的值和该定点坐标;若不存在,说明理由.

21.设函数.

(1)求在区间,上的极值点个数;

(2)若为的极值点,则,求整数的最大值.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.

22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为（为参数）,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线的方程是.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;

(2)若点的坐标为,直线与曲线交于两点,求的值.

23.已知函数.

(1)当时,求函数的定义域;

(2)设函数的定义域为,当时,,求实数的取值范围.

成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届第五次周考

数学试题(理科)答案

一、选择题

CAADB    CBCDD    AD

二、填空题

13.160    14.    15.1    16.

三、解答题

17.

18.

20.

21.

22. (1)由 可得

将上式分别平方,然后相加可得

由可得

即,则

(2)由（1）可知直线的斜率为,则其倾斜角为,且点在直线上,

所以直线的参数方程为：,即（为参数）

将直线的参数方程代入曲线C的普通方程,整理得

设点A,B对应的参数分别为,则

则

23.(1)当时,,依题意,,

当时,不等式化为：,解得,则有,

当时,不等式化为：,解得,则有;

当时,不等式化为：,解得,则有,

综上得：或,

所以函数的定义域为.

(2)因当时,,则对,成立,

此时,,,则,

于是得,成立,而函数在上单调递减,

当时,,从而得,解得,又,则,

所以实数的取值范围是.