2023届四川省成都市石室中学高三下学期第三周周练理科数学试卷含答案

这是一份2023届四川省成都市石室中学高三下学期第三周周练理科数学试卷含答案，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 成都市石室中学高2023届高三下数学周练三（理科）
一、单选题(共60分)
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．
2．已知复数，满足，，则（    ）
A． B． C． D．6
3．已知，为不共线的非零向量，，，，则（    ）
A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线
4．若非负数x，y满足，则事件“”发生的概率为（    ）
A． B． C． D．
5．的展开式中的系数为（    ）
A． B． C．64 D．160
6．小王于2015年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还货方式，且截止2019年底，他没有再购买第二套房子.下图是2016年和2019年家庭收入用于各项支出的比例分配图，根据以上信息，判断下列结论中正确的是（    ）
A．小王一家2019年用于饮食支出费用与2016年相同
B．小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍
C．小王一家2019年的家庭收入比2016年增加了一倍
D．小王一家2019年的房贷支出比2016年减少了
7．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间为（    ）
A．11小时 B．14小时 C．17小时 D．20小时
8．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（    ）
A． B． C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（    ）
A． B． C． D．
10．在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，将△ABD沿直线BD翻折成△A′BD，如图，则直线BA′与CD所成角的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的离心率为3，斜率为的直线分别交F的左右两支于A，B两点，直线分别交F的左、右两支于C，D两点，，交于点E，点E恒在直线l上，若直线l的斜率存在，则直线的方程为（    ）
A． B． C． D．
12．定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分)
13．设均为非零实数，且满足，则__________.
14．已知某几何体的三视图如图所示，所有线段的长均为1，弧线均为圆弧，则该几
何体的体积为________.  
15．为椭圆上一点，曲线与坐标轴的交点为，，，，若，则到轴的距离为__________.
16．设是曲线上的动点，且.则的取值范围是__________.
三、解答题(共70分)
17．在数列中，，且.
(1)令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记数列的前n项和为，求.










18．某公司在2013~2022年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
年生产台数（单位：万台）
3
5
5
6
6
9
9
10
10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
64
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
9.98
10.00
11.50
c
注：年返修率=年返修台数÷年生产台数..
(1)从2013~2021年中随机抽取两年，求这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
(2)公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从2013~2021年中随机选出3年，记X表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求X的分布列和期望；
(3)记公司在2013~2017年，2018~2022年的年生产台数的方差分别为，.若，请写出a的值.（只需写出结论）（注：，其中为数据的平均数）









19．如图，边长为的正方形中，分别为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且为等边三角形.
（1）证明：；
（2）点是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.























20．已知定点，为轴上方的动点，线段的中点为，点在轴上的射影分别为，是的平分线，动点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设上点满足，在轴上的射影为，求的最小值.



























21．已知函数，其中，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围.

























【选做题】
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
(1)写出直线l的直角坐标方程；
(2)设曲线C与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧），若直线l上存在点M，满足，求实数m的取值范围.









23．已知函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若存在，使得，求a的取值范围.



参考答案：
1．B
【分析】将集合分别化简，然后结合交集的运算即可得到结果.
【详解】因为，，所以．
故选:B
2．C
【分析】根据复数模长的运算性质，可得答案.
【详解】由，则，，
故选：C.
3．B
【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量逐项判断作答.
【详解】，为不共线的非零向量，，，，
则，，
因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；
因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.
故选：B
4．A
【分析】先画出可行域，再根据几何概型的概率公式可求.
【详解】由题意，知x，y满足约束条件作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示（五边形OEBCD（包含边界）），

作出直线，易得， ，，，，连接DE，
则非负数x，y对应的可行域的面积为，
事件“”对应的可行域的面积为，
所以所求概率为.
故选：A.
5．C
【分析】在二项展开式的通项公式中令x的幂指数为3，求出r的值，即可求得的系数.
【详解】的展开式的通项公式为，
令，则，故展开式中的系数为.
故选：C.
6．B
【分析】对于A，小王一家2019年用于饮食的支出费用比2016年多；对于B，设2016年收入为，则2019年收入为，由此能求出小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍；对于C，设2016年收入为，则2019年收入为；对于D，小王一家2019年用于房贷的支出费用与2016年相同．
【详解】对于A，小王一家2019年用于饮食的支出比例与跟2016年相同，但是由于2019年比2016年家庭收入多，小王一家2019年用于饮食的支出费用比2016年多，故A错误；
对于B，设2016年收入为，相同的还款数额在2016年占各项支出的，在2019年占各项支出的，年收入为：，小王一家2019年用于其他方面的支出费用为，小王一家2016年用于其他方面的支出费用为，
小王一家2019年用于其他方面的支出费用是2016年的3倍，故B正确；
对于C，设2016年收入为，则2019年收入为：，故C错误；
对于D，小王一家2019年用于房贷的支出费用与2016年相同，故D错误．
故选：B．
7．C
【分析】运用等差数列、等比数列的通项公式计算即可.
【详解】解：检测第n次时，给药时间为，则是以2为首项，3为公差的等差数列，则.
设当给药时间为小时的时候，患者的血药浓度为，血药浓度峰值为a，则数列是首项为a，公比为0.4的等比数列，所以，
令，即，解得，
所以当血药浓度为峰值的时，给药时间为.
故选：C.
8．D
【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.
【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.
设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.

由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，当且仅当时等号成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，当且仅当时等号成立，
因此，这块四边形木板周长的最大值为.
故选：D.
9．B
【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.
【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；
由图可知，利用整体代换可得，
所以，若为已知，则可求得.
故选：B
10．A
【分析】根据翻折过程中∠A′BD=30°，BA′可以看成以B为顶点，BD为轴的圆锥的母线，将问题转化为圆锥的母线与底面内的直线所成角的取值范围.
【详解】由题：在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，
取BC中点M，连接AM，易得四边形AMCD是平行四边形，所以AM=DC=AB，

所以△ABM是等边三角形，则∠ABC=60°，∠ABD=30°，∠A′BD=30°，CD⊥BD，
在翻折过程中，BA′绕着BD旋转，BA′可以看成以B为顶点，BD为轴的圆锥的母线，
CD为圆锥底面内的直线，
将本问题转化为求解如图圆锥中母线与底面直线所成角的取值范围，
其中母线与轴夹角为30°，所以母线与底面直线所成角的取值范围为

故选：A
【点睛】此题考查平面图形翻折问题，根据翻折变化求解直线所成角的取值范围，关键在于合理进行等价转化求解.
11．A
【分析】由点差法可得与关系式、与关系式，由E，M，N三点共线， 列式可得结果.
【详解】由题得，
设的中点的中点，
则，得，
所以，所以①，同理得②，
因为，则E，M，N三点共线，所以，将①②代入得，即，
因为直线l的斜率存在，所以，
所以，即点E在直线上.
故选：A.
12．C
【分析】由已知可得，则，.然后证明在上恒成立.令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出.令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得.
【详解】由已知可得，，则，
且，所以.
又，.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递增，所以，所以.
所以，，即.
令，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，
根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，
所以在上单调递减.
又，，所以.
因为在上单调递减，，所以.
又，所以，即.
令，，则恒成立，
所以，在上单调递减.
又，，
所以.
综上可得，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系.
13．1
【分析】先将原式化简得到，再令，
即可得到，从而求得结果.
【详解】由题意可得，，
令，则，
即，
所以，即
故
故答案为:
14．         
【分析】根据三视图得到，该几何体为一个棱长为1的正方体挖去一个半径为1的球，然后利用柱体和球的表面积和体积公式求解.
【详解】如图所示：

由三视图可知，该几何体是棱长为1的正方体 ，挖去一个以A为圆心，1为半径的球，
故该几何体的体积为：，
该几何体表面积为：.
故答案为：(1).     (2).
【点睛】本题主要考查三视图还原几何体及几何体的表面积和体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.
15．
【分析】首先表示出，，，的坐标，依题意可得，即可得到为椭圆上一点，联立两椭圆方程，求出，即可得解.
【详解】解：不妨设，，，，
则，为椭圆的焦点，所以，
又，所以，
且，所以在以、为焦点的椭圆上，且，所以，
所以为椭圆上一点，
由，解得，则，
故到轴的距离为.
故答案为：
16．
【分析】由当PA垂直于在点P处的切线时，取得最小值列式可得,代入中解不等式即可.
【详解】∵，∴，
设点，则在点P处的切线斜率为，
∵，即：当且仅当PA垂直于切线时，取得最小值，
又∵，
∴，即：，①
∴，即：，②
∴由①②得：，解得：或，
又∵由①知，，
∴，即：，解得：，
∴.
故答案为：.
17．(1)证明见解析，
(2)297

【分析】(1)由递推关系结合等差数列定义证明数列为等差数列，再由等差数列通项公式求数列的通项；
(2)由递推关系证明，利用等差数列求和公式和组合求和法求.
【详解】（1）因为，
所以，即，
又，
所以，又，
所以，数列为以1为首项，4为公差的等差数列，
所以.
（2）因为，
所以，即
所以


.
18．(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)7或12

【分析】（1）计算出各年产品的平均利润，得到平均利润不小于100元/台的有6个，小于100元/台的有3个，利用组合知识求出概率；
（2）计算出各年的年返修率，得到不超过千分之一的年份有7个，超过千分之一的年份有2个，得到X的可能取值和对应的概率，求出分布列及期望值；
（3）计算出，从而得到方程，求出a的值.
【详解】（1）2013年产品的平均利润为元/台，2014年产品的平均利润为元/台，
2015年产品的平均利润为元/台，2016年产品的平均利润为元/台，
2017年产品的平均利润为元/台，2018年产品的平均利润为元/台，
2019年产品的平均利润为元/台，2020年产品的平均利润为元/台，
2021年产品的平均利润为元/台，
故平均利润不小于100元/台的有6个，小于100元/台的有3个，
故从2013~2021年中随机抽取两年，这两年中至少有一年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为；
（2）2013年产品的年返修率为，2014年产品的年返修率为，
2015年产品的年返修率润为，2016年产品的年返修率为，
2017年产品的年返修率为，2018年产品的年返修率为，
2019年产品的年返修率为，2020年产品的年返修率为，
2021年产品的年返修率为，
年返修率不超过千分之一的年份有7个，超过千分之一的年份有2个，
X的可能取值为1,2,3，
则，，，
故分布列为：

1
2
3





故，
（3）2013~2017年年生产台数的平均数为（万台），
故，
2018~2022年的年生产台数的平均数为，
故，
解得：或12（万台），
故a的值为7或12.
19．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）可通过证明，，证明平面，得证；
（2）由（1）得平面平面，作于点，可得平面，过点作交于，得三线垂直，然后分别以为轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系.写出各点坐标，利用线面平行证明是中点，得点坐标，然后求出平面和平面的法向量，由法向量夹角余弦值得二面角余弦值．
【详解】（1）连接，由于为等边三角形且为的中点，
所以，
又因为四边形为正方形，且分别为的中点，所以，
因为且平面，所以平面，.
因为平面，所以.

（2）由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，
作于点，因为平面平面，所以平面，
过点作交于，所以，
如图，以为原点，分别以为轴， 轴， 轴正方向建立空间直角坐标系.
在中，因为，
所以，所以，,
所以，，，
，
设直线与直线确定平面，设平面与直线交于点，连结，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以，
又因为平面，，平面，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为，所以，且，
所以点是棱的中点，所以.
所以，设平面的法向量为，
所以即令，则，
所以平面的一个法向量，
因为平面，所以平面的一个法向量，
所以，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查线面垂直的性质定理，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，解题中未知的垂直关系需要证明，未知的点的位置需要确定．不能随便想象出一个结论就加以应用．
20．（1）；（2）
【分析】（1）解法一：根据三角形角平分线的几何性质，以及平行线性质，得到，得到点的轨迹是顶点在原点，焦点为的抛物线（原点除外），得到曲线的方程；（2）设点，，所以点，根据，求得，
，利用基本不等式求最值；解法二：设点，所以点，所以，根据角平分线的性质可得点到的距离，建立等式，再化简求点的轨迹方程，（2）根据，且，表示直线的方程，与抛物线方程联立，求得，，利用基本不等式求最值.
【详解】解法一：（1）设坐标原点为，因为，所以，

因为是的平分线，所以，
所以，所以，
因为为线段的中点，，
所以，因为，所以，
因为为轴上方的动点，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
所以动点的轨迹是顶点在原点，焦点为的抛物线（原点除外），
设的方程为，则，所以，
所以的方程为.
（2）设点，，
所以点，，，
所以，
因为，且，所以，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为
解法二：（1）设点，所以点，所以，
因为是的平分线，所以点到直线的距离，
因为直线的方程为，
整理得，所以，
所以，整理得，
所以动点的轨迹的方程为
（2）设点，，
所以点，所以，
因为，所以直线的方程为，
即，代入的方程得：，
所以，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
【点睛】本题考查直接法求轨迹方程，以及基本不等式求最值，重点考查转化与化归的思想，数形结合分析问题的能力，计算,变形能力，属于中档题型.
21．（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）
【分析】（1）求导，根据，分和两种情况讨论求解.
（2）首先将对任意的，恒成立，转化为，对任意的恒成立，令，然后用导数法证明即可.
【详解】（1）.
当时，，所以在上单调递减.
当时，对于方程，
，所以当时，方程有两个不相等的实数根，
设为，，解方程，不妨取，，
因为，所以，，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）可化为，
由于，所以，
所以，即.
令，于是对任意的，恒成立.
，
令，则，
令，即时，，
所以在上是减函数，
所以当时，，
即，所以在上是减函数，，符合题意.
当时，，，当时，，即，
所以在上是增函数，
所以当时，，
即，所以在上是增函数，，这与矛盾，不符合题意.
当时，令，得，得，
所以在上是增函数，
当时，，即，
所以在上是增函数，
当时，，这与矛盾，不符合题意.
因此实数a的取值范围为.
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.
22．(1)
(2)

【分析】（1）利用三角函数的差角公式，整理直线方程，根据极坐标与直角坐标的转换公式，可得答案；
（2）将参数方程整理为普通方程，求得，由题意，建立方程，将问题转化为直线与圆的位置问题，可得答案.
【详解】（1）∵，∴，
即.又∵，，
∴，即直线l的直角坐标方程为；
（2）由，且，则曲线C的普通方程为，
其与x轴的交点分别为，.
设点，由，得，
即，
∴，它表示圆心为，半径为的圆.
∵点既在直线l上，又在圆E上，∴，即，
∴，
即实数m的取值范围为.
23．(1)
(2)

【分析】（1）分类讨论取绝对值可求出不等式的解集；
（2）去绝对值转化为不等式组在时有解，进一步转化为可求出结果.
【详解】（1）当时，原不等式可化为.
当时，原不等式可化为，整理得，所以.
当时，原不等式可化为，整理得，所以此时不等式的解集是空集.
当时，原不等式可化为，整理得，所以.
综上，当时，不等式的解集为.
（2）若存在，使得，即存在，使得①.
①式可转化为，即②.
因为，所以②式可化为③，
若存在使得③式成立，则，即，
所以，即a的取值范围为.