2024届北京市第五十七中学高三暑期检测（开学考试）数学试题含答案

2024届北京市第五十七中学高三暑期检测（开学考试）数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知，再判断集合关系即可.

【详解】解：不等式等价于，解得

所以，

因为

所以，，.

故选：B

2．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由三角函数诱导公式并结合正弦函数的定义即可得解.

【详解】依题意得,又因为，所以有.

故选：.

3．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先判断为偶函数，在上单调递增，再根据奇偶性的定义与单调性的定义，结合初等函数的性质依次判断各选项即可.

【详解】解：对于函数，为偶函数，在上单调递增，

所以对于A选项，为奇函数，不满足；

对于B选项，不具有奇偶性，不满足；

对于C选项，是偶函数，在上单调递减，不满足；

对于D选项，是偶函数，且对于时，

由于，所以，所以，

所以，即.即函数在上单调递增，满足.

故选：D

4．函数是（    ）

A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为

C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为

【答案】C

【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得，由三角函数值域即可得，即可得出结果.

【详解】由题可知，的定义域为，关于原点对称，

且，

而，即函数为偶函数；

所以，又，

即，可得函数最小值为0，无最大值.

故选：C

5．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭（除燃料外）的质量间的关系为．若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据所给关系式，求出，近似计算得解.

【详解】由题意，火箭的最大速度为时，可得，

即，

因为，所以近似计算可得，

故选：B

6．如果函数在定义域内存在区间，使在上的值域是，那么称为“倍增函数”，若函数为“倍增函数”，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先判断出的单调性，然后根据倍增函数的定义列式求得的取值范围.

【详解】由于在定义域上是增函数，根据“倍增函数”的定义可知，且.则，所以.构造函数，即有两个解.，令，解得所以在区间上递减，在上递增，极小值也即是最小值为.注意到当时，，，当时，，所以.

故选：D

【点睛】本小题主要考查新定义函数性质的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值，属于中档题.

7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A．18 B．24 C．36 D．48

【答案】C

【详解】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．

【解答】据题意：圆（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形．点为后轮上的一点，

如图建立平面直角坐标系：

则，，．

圆的方程为，可设，

所以，．

故

．

故选：C．

8．已知函数，若存在使得恒成立，则的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题得，根据函数的单调性得到，所以，，构造函数，利用导数研究函数的性质，从而得到实数的取值范围.

【详解】由，可得，

设函数，则在R上恒成立，

所以单调递增，所以，

则，，

令，，则，当时，，

令得：，令得：，

所以，又，，其中，

所以实数的取值范围是.

故选：D.

9．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼数，则区间内的所有期盼数的和等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．

【详解】解：，，

，

又为整数，

必须是2的次幂，即．

内所有的“幸运数”的和：

，

故选：D．

10．已知成等比数列，且．若，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断.

【详解】令则，令得，所以当时，，当时，，因此，

若公比，则，不合题意；

若公比，则

但，

即，不合题意；

因此，

，选B.

【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如

二、填空题

11．若复数，，则的共轭复数的虚部为      ．

【答案】/

【分析】先计算得，再结合共轭复数，复数虚部的概念求解即可.

【详解】解：因为复数，，

所以，，

所以的共轭复数为

所以的共轭复数的虚部为

故答案为：

12．若函数在区间内是减函数，则实数的取值范围是       .

【答案】

【详解】试题分析：时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．

【解析】1.三角函数的单调性；2.导数的应用．

13．若函数的定义域和值域的交集为空集，则正数的取值范围是      ．

【答案】

【分析】由题知，进而讨论得当，时，的值域为，再分和两种情况讨论求解即可.

【详解】解：因为当时，，

所以，要使函数的定义域和值域的交集为空集，则，

当，时，值域中有元素，此时不满足题意，

所以，当，时，的值域为，

下面分两种情况讨论，

当时，函数的值域为，

要使条件满足，则，解得：

当时，函数的值域为，

要使条件满足，则，解得，

综上，正数的取值范围是

故答案为：

三、双空题

14．已知数列的前项和为，，.是等差数列，且，，则的通项公式为        ；设，求=        .

【答案】         

【分析】根据和项与通项关系求通项公式，再根据等差数列通项公式基本量运算求解的通项公式，利用等比数列求和公式求和即可.

【详解】当时，，所以，

当时，，所以

因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，则，

所以，，设等差数列的公差为，则，

解得，所以；

所以，所以.

故答案为：，

四、填空题

15．已知函数，给出下列命题：

（1）无论取何值，恒有两个零点；

（2）存在实数，使得的值域是；

（3）存在实数使得的图像上关于原点对称的点有两对；

（4）当时，若的图象与直线有且只有三个公共点，则实数的取值范围是.

其中，所有正确命题的序号是           .

【答案】（3）（4）

【分析】本题考查函数的相关性质：（1）利用零点即对应方程的根进行分析处理；（2）结合图像分析值域；（3）考查对称点问题，转化为两个函数交点问题进行处理；（4）利用数形结合分析处理相关问题，把直线绕定点旋转确定临界位置．

【详解】（1）显然则, 若恒有两个零点，则有且只有一个零点，

当时，无零点，不符合题意，∴（1）不成立；

（2）显然，若的值域是，则的值域包含，则,

但时，的对称轴，即在内递增，，∴（2）不成立；

（3）的图像上关于原点对称的点有两对，则可得：有两解，

当时，的对称轴，开口向下， 与有两个交点，∴（3）成立；

（4）如图，直线过定点,数学结合可知：,

又∵,则,

综上所诉：，∴（4）成立．

故答案为：（3）（4）．

五、解答题

16．已知函数（，）．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数解析式的两个合理条件作为已知，

条件①：的最大值为1；

条件②：的一条对称轴是直线；

条件③：的相邻两条对称轴之间的距离为．

求：

(1)函数的解析式；

(2)若将函数图像上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，若在区间上的最小值为，求的最大值．

【答案】(1)选择条件①③得；

(2)

【分析】（1）由题知，进而结合已知条件选择①③能确定函数解析式，再求解即可；

（2）结合函数平移变换得，进而根据题意得，再解不等式即可得答案.

【详解】（1）解：，

当选条件②，的一条对称轴是直线时，，即，显然不成立，

条件①③能确定函数解析式，

因为的最大值为1，的相邻两条对称轴之间的距离为

所以，，解得，，

所以，

（2）解：根据题意得，

因为，所以，

因为在区间上的最小值为

所以，，解得.

所以，的最大值为.

17．中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，面积是面积的2倍．

(1)求；

(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

【答案】（1）；（2）1

【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用三角形的面积公式求解；（2）借助题设余弦定理立方程组求解.

试题解析：

（1），，

∵，，∴．

由正弦定理可知.

（2）∵，，

∴．

设，则，

在△与△中，由余弦定理可知，

，

，

∵，∴，

∴，解得，

即．

【解析】三角形的面积公式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．

18．已知函数，其中.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线在点处的切线与y轴的交点为，求的最小值.

【答案】（1）增区间为和，减区间； （2）.

【分析】（1）当时，求得，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）由（1）及根据导数的几何意义，求得切线方程，得到，进而得到，令，利用导数求得函数单调性和最小值，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数，可得，

当时，

令，即，解得或；

令，即，解得，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间.

（2）由（1）知，

可得，即，

又由，

可得切线方程为，即，

令，可得，即，

则，

令，可得，

令，即，解得；

令，即，解得，

所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，

所以当时，函数取得最小值，最小值为.

【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略：

1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；

2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；

3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

19．已知椭圆的左顶点为，上、下顶点分别为，，直线的方程为．

(1)求椭圆的方程及离心率；

(2)是椭圆上一点，且在第一象限内，是点关于轴的对称点．过作垂直于轴的直线交直线于点，再过作垂直于轴的直线交直线于点．求的大小．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先由直线的方程求出、的坐标，即可求出、的值，从而求出，即可得到椭圆方程与离心率；

（2）设，，则，求出点坐标，再求出直线的方程，即可求出点坐标，从而求出，即可求出的倾斜角，即可得解.

【详解】（1）因为直线的方程为，

所以，，即，，所以，

所以椭圆方程为，离心率

（2）依题意，设，，则，

且点是椭圆上一点，可得，

直线的方程为，由，可得，

所以，

直线的方程为，令，

得，

即，

所以，

即直线的倾斜角是，所以.

【点睛】关键点睛：本题解答的关键是设而不求，求出直线的斜率，即可求出.

20．已知函数（）．

(1)求的单调区间；

(2)若，求证：函数只有一个零点，且；

(3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有，求实数的最大值．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）求出函数的定义域，求导，在分类讨论，根据导函数的符号即可求出函数的单调区间；

（2）当时，由（1）知，的极小值为，极大值为，再结合零点的存在性定理即可得证；

（3）因为，所以任意且，由（2）可知，且，由此能推导出使得恒成立的的最大值．

【详解】（1）解：函数的定义域为，

，

令，则或，

当，即时，，

所以函数在上递增，

当，即时，

或时，，，，

所以函数在上递减，在上递增，

当，即时，

或时，，，，

所以函数在上递减，在上递增，

综上所述，当时，函数的增区间为，

当时，函数的减区间为，增区间为，

当时，函数的减区间为，增区间为；

（2）证明：当时，

由（1）知，的极小值为，极大值为，

因为，，

且在上是减函数，

所以至多有一个零点．

又因为，

所以函数只有一个零点，且；

（3）解：因为，

所以任意且，

由（2）可知且，

因为函数在上是增函数，在上是减函数，

所以，，

所以，

当时，，

所以，

所以的最小值为，

所以使得恒成立的的最大值为．

【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的实数的最大值的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题．

21．已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．

(1)判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;

(2)若具有性质,证明:;

(3)给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．

【答案】(1)不具有性质,具有性质,

(2)证明见解析

(3)

【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;

(2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.

(3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.

【详解】（1）解:由题知,

即

因为,

所以不具有性质,

由于,

即

因为

故具有性质,

因为

故;

（2）“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,

假设两个元素均不在中,

则有

不妨设,

若,

则由,

可得,

与矛盾,

故,

同理,

从而,

所以,

与具有性质矛盾,

所以假设不成立,即;

（3）设

规定时,,

时,,

则,

所以,

考虑数列,

,

由题设可知,他们均具有性质,

设中元素个数最小值为,

所以,

所以,

由(2)知,从而,

当时,令,

当时,令,

此时均有,

所以中元素个数的最小值为.

【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:

(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;

(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;

(3)将已知条件代入新定义的要素中;

(4)结合数学知识进行解答.