中考数学二轮专项复习——二次函数（压轴题专项）（含答案）

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中考数学二轮复习——二次函数（压轴题专项）
1、【遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．






2、如图，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．










3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n＜0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为M.

(1)求k的值；
(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．









4、已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低点的纵坐标为－4.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；
(3) 如图2，平移抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝－2上有一动点P，
过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)，
求证：直线EF恒过某一定点.






5、如图1，点A是直线y＝kx(k＞0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．(点A，E，F两两不重合)
(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)
(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值．
　　
　　　　图1　　　 　图2







6、已知直线y＝x－2t与抛物线y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k为已知数)，在t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

(1)求k的值；
(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y＝x－2t的值总小于y＝a(x－t)2＋k的值，
试求a与m的关系式；
(3)当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由．









7、如图，已知矩形ABCO在坐标系的第一象限，它的长AO是宽OC的倍，且有两边在坐标轴上．将△ACO沿对角线AC翻折的△ACP，P点落在经过矩形ABCO四个顶点的⊙E上，⊙E的半径为R.

(1)用R的式子表示点B的坐标；
(2)若抛物线y＝ax2＋x＋c经过P、A两点，请你判断点C是否在此抛物线上；
(3)若(2)中的抛物线的顶点为Q，该抛物线与x轴的另一个交点为M，那么直线OB将△AMQ的面积分为两个部分的比值k是否是一个定值？如果不是，请说明理由；如果是，请求出其比值k.








8、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋m(m为大于0的常数)与x轴相交于点A，与y轴相交于点C，开口向下的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，与x轴相交于另一点B，以AB为直径的⊙M经过点C．
(1)直接写出点A，C的坐标(用含m的式子表示)；
(2)求ac的值；
(3)若直线l平行于AC，且与抛物线y＝ax2＋bx＋c有且只有一个公共点P，连接PA，PC，当△PAC的面积等于4时，求⊙M与抛物线y＝ax2＋bx＋c的交点坐标．



9、如图1，抛物线y＝ax2﹣9ax﹣36a（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OC＝OA，点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，连接PB，试问△PCB的面积是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．
（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否能成为菱形？如果能，请直接写出点P的坐标；如果不能，请说明理由．









参考答案
1、【遂宁中考】如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．
②求证：∠BNM＝∠ONM．

【解析】（1）∵二次函数顶点为P（3，3）∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3∵二次函数图象过点A（6，0）
∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣ ∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x
（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x
∵OB交对称轴l于点M∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6
∴M（3，﹣b+6）∵点M、N关于点P对称∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）
①∵OP＝MN∴OP＝MP∴＝b﹣3解得：b＝3+3
∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3 ∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）
∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2
∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．
②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）
设直线BN解析式为y＝kx+d ∴ 解得：∴直线BN：y＝﹣bx+2b
当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6∴D（6，0）∵C（3，0），NC⊥x轴
∴NC垂直平分OD ∴ND＝NO ∴∠BNM＝∠ONM


2、如图，直线y＝－x＋n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A，交y轴于点B(0，－2)，点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长．

【解析】：(1)由直线y＝－x＋n过点
C(0，4)，得n＝4，
∴y＝－x＋4.令y＝0时，－x＋4＝0，解得x＝3.∴A(3，0)．∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(0，－2)，
∴∴
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)∵点P的横坐标为m，
∴P，D(m，－2)．
若△BDP为等腰三角形，则PD＝BD.
①当点P在直线BD上方时，PD＝m2－m.
(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m＜ 0，BD＝－m.
∴m2－m＝－m，∴m1＝0(舍去)，m2＝(舍去)．
(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m＞ 0，BD＝m.
∴m2－m＝m，∴m3＝0(舍去)，m4＝.
②当点P在直线BD下方时，m＞ 0，BD＝m，PD＝－m2＋m.∴－m2＋m＝m，∴m5＝0(舍去)，m6＝.
综上所述，当m＝或，△BDP为等腰直角三角形，此时PD的长为或.


3、如图，点O是坐标原点，点A(n,0)是x轴上一动点(n＜0)以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB＝2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE.过点A的直线y＝kx＋m交y轴于点F，FB＝FA．抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为M.

(1)求k的值；
(2)点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．
【解析】 (1)根据题意得到：E(3n,0)，G(n，－n)．当x＝0时，y＝kx＋m＝m，∴点F坐标为(0，m)．
∵Rt△AOF中，AF2＝m2＋n2，
∵FB＝AF，
∴m2＋n2＝(－2n－m)2，
化简，得m＝－0.75n，
对于y＝kx＋m，当x＝n时，y＝0，
∴0＝kn－0.75n，
∴k＝0.75
(2)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点E、F、G，
∴
解得a＝，b＝－，c＝－0.75n.
∴抛物线为y＝x2－x－0.75n.
解方程组：
得：x1＝5n，y1＝3n；x2＝0，y2＝－0.75n.
∴H坐标(5n,3n)，HM＝－3n，AM＝n－5n＝－4n，
∴△AMH的面积＝0.5×HM×AM＝6n2.
而矩形AOBC的面积＝2n2，
∴△AMH的面积∶矩形AOBC的面积＝3∶1，不随着点A的位置的改变而改变．

4、已知抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m(m＞0.5)的最低点的纵坐标为－4.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图1，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，D为抛物线上的一点，BD平分四边形ABCD的面积，求点D的坐标；
(3) 如图2，平移抛物线y＝x2＋(2m－1)x－2m，使其顶点为坐标原点，直线y＝－2上有一动点P，
过点P作两条直线，分别与抛物线有唯一的公共点E、F(直线PE、PF不与y轴平行)，
求证：直线EF恒过某一定点.

【解析】(1) y＝x2＋(2m－1)x－2m＝(x＋m－0.5)2－m2－m－0.25，∵最低点的纵坐标为－4，
∴－m2－m－0.25＝－4，即4m2＋4m－15＝0，∴m＝1.5或－2.5. ∵m＞0.5，∴m＝1.5.
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2) ∵y＝x2＋2x－3，∴A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3). 连AC交BD于E，
过A作AM⊥BD于M，过C作CN⊥BD于N，
由△ABD与△CBD面积相等，得AM＝CN.
于是易得△AEM≌△CEN(AAS)，∴AE＝CE，∴E(－1.5，－1.5).
又B(1，0)，∴直线BE的解析式为y＝0.6x－0.6.
由，解得D(－，－).
(3) 设E(t，t2)，F(n，n2)，设直线PE为y＝k1(x－t)＋t2，
由，得 x2－k1x＋k1t－t2＝0，△＝k12－4(k1t－t2)＝(k1－2t)2＝0，∴k1＝2t.
∴直线PE为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2. 令y＝－2，得xP＝.
同理，设直线PF为y＝k2(x－n)＋n2，xP＝，得：＝，
∵t≠n，∴tn＝－2.
设直线EF的解析式为y＝kx＋b，由，得x2－kx－b＝0，
∴xE·xF＝－b，即tn＝－b，∴b＝2. ∴直线EF为y＝kx＋2，过定点(0，2).




5、如图1，点A是直线y＝kx(k＞0，且k为常数)上一动点，以A为顶点的抛物线y＝(x－h)2＋m交直线y＝x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C．(点A，E，F两两不重合)
(1)请写出h与m之间的关系；(用含k的式子表示)
(2)当点A运动到使EF与x轴平行时(如图2)，求线段AC与OF的比值．
　　
　　　　图1　　　　图2
【解析】 (1)∵抛物线顶点(h，m)在直线y＝kx上，∴m＝kh；
(2)解方程组
将②代入①得到：(x－h)2＋kh＝kx，
整理得：(x－h)[(x－h)－k]＝0，
解得：x1＝h，x2＝k＋h.
代入到方程②得y1＝kh，y2＝k2＋hk.
所以点E坐标是(k＋h，k2＋hk)
当x＝0时，y＝(x－h)2＋m＝h2＋kh，
∴点F坐标是(0，h2＋kh)
当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，
即k2＋kh＝h2＋kh
解得：h＝k(h＝－k舍去，否则E，F，O重合)
此时点E(2k,2k2)，F(0,2k2)，C(k,2k2)，A(k，k2)
∴AC∶OF＝k2∶2k2＝1∶2

6、已知直线y＝x－2t与抛物线y＝a(x－t)2＋k(a>0，t≥0，a、t、k为已知数)，在t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．

(1)求k的值；
(2)t由小变大时，两函数值之间大小不断发生改变，特别当t大于正数m时，无论自变量x取何值，y＝x－2t的值总小于y＝a(x－t)2＋k的值，
试求a与m的关系式；
(3)当0≤t＜m时，设直线与抛物线的两个交点分别为A、B，在a为定值时，线段AB的长度是否存在最大值，若有，请求出相应的t的取值，若没有，请说明理由．
【解析】 (1)由题意，t＝2时，直线刚好经过抛物线的顶点．
而此时直线解析式为y＝x－4，
对称轴坐标为直线x＝2.
易得k＝－2.
(2)当t＞m时，无论自变量x取何值，一次函数的值总小于二次函数的值，
说明当t＝m时，直线与抛物线有且只有一个公共点．
可设此时直线与抛物线解析式分别为y＝x－2m和y＝a(x－m)2－2，联立消去y，得：
ax2－(2am＋1)x＋am2－2＋2m＝0，
由Δ＝0得：8a＋1－4am＝0.
(3)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，坐标系内构造直角三角形后易知，
AB＝
联立直线与抛物线解析式消去y，得：ax2－(2at＋1)x＋at2－2＋2t＝0.
由求根公式可知：
＝＝，
AB＝＝.
由于a为定值且a>0，所以－4a