中考数学一轮复习单元检测5　四边形（含解析）

单元检测五　四边形

(时间:90分钟　总分:120分)

一、选择题(每小题4分,共40分)

1.当多边形的边数增加1时,它的内角和与外角和(　　)

A.都不变

B.内角和增加180°,外角和不变

C.内角和增加180°,外角和减少180°

D.都增加180°

答案B

2.李明设计了下面四种正多边形的瓷砖图案,用同一种瓷砖可以平面密铺的是(　　)

A.①②④ B.②③④ 

C.①③④ D.①②③

答案A

3. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,H为AD边的中点,若菱形ABCD的周长为20,则OH的长为 (　　)

A.2 B.

C.3 D.

答案B

4. 如图,矩形ABCD的周长为20 cm,两条对角线相交于点O,过点O作AC的垂线EF,分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则△CDE的周长为(　　)

A.10 cm B.9 cm C.8 cm D.5 cm

答案A

5.如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,AF⊥DE于点O,则等于(　　)

A. B. C. D.

答案D

6.如图,P是矩形ABCD的边AD上一个动点,矩形的两条边AB,BC的长分别为3和4,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)

A. B. C. D.不确定

答案A

7. 如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为(　　)

A.3 B.6

C.3 D.6

答案D

8.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+S2的值为(　　)

A.16 B.17 C.18 D.19

答案B

9. 正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图,点G在线段DK上,正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为              (　　)

A.10 B.12 C.14 D.16

答案D

10. 如图,将两张长为5,宽为1的矩形纸条交叉,让两个矩形对角线交点重合,且使重叠部分成为一个菱形.当两张纸条垂直时,菱形周长的最小值是4,把一个矩形绕两个矩形重合的对角线交点旋转一定角度,在旋转过程中,得出所有重叠部分为菱形的四边形中,周长的最大值是(　　)

A.8 B.10 C.10.4 D.12

答案C

二、填空题(每小题4分,共24分)

11. 已知正六边形的边长为1 cm,分别以它的三个不相邻的顶点为圆心,1 cm长为半径画弧(如图),则所得到的三条弧的长度之和为　　　　　cm.(结果保留π) 

答案2π

12.如图,两个全等菱形的边长为1 m,一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2 015 m停下,则这个微型机器人停在点　　　　　. 

答案G

13. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=　　　　　. 

答案

14.如图,边长为1的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这两个正方形重叠部分的面积是　　　　　. 

答案-1

15.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8 cm,D是AB的中点.现将△BCD沿BA方向平移1 cm,得到△EFG,FG交AC于点H,则GH的长等于　　　　　cm. 

答案3

16.如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q.若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为　　　　　. 

答案15

三、解答题(56分)

17.(6分)已知,如图,E,F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.

(1)求证:△AFD≌△CEB;

(2)四边形ABCD是平行四边形吗?请说明理由.

(1)证明∵DF∥BE,∴∠DFA=∠BEC.

∵在△AFD和△CEB中,DF=BE,

∠DFA=∠BEC,AF=CE,

∴△AFD≌△CEB(SAS).

(2)解四边形ABCD是平行四边形,

理由如下:∵△AFD≌△CEB,

∴AD=CB,∠DAF=∠BCE.∴AD∥CB.

∴四边形ABCD是平行四边形.

18.(8分)如图,在▱ABCD中,E是BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F.

(1)求证:AB=CF;

(2)连接DE,若AD=2AB,求证:DE⊥AF.

证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB∥DF(平行四边形两组对边分别平行),

∴∠BAE=∠F(两直线平行,内错角相等).

∵E是BC的中点,∴BE=CE.

在△AEB和△FEC中,

∴△AEB≌△FEC(AAS).

∴AB=CF(全等三角形对应边相等).

(2)∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=CD(平行四边形的对边相等).

∵AB=CF,DF=DC+CF,

∴DF=2CF,∴DF=2AB.

∵AD=2AB,∴AD=DF.

∵△AEB≌△FEC,

∴AE=FE(全等三角形对应边相等).

∴ED⊥AF(等腰三角形三线合一).

19.(10分)如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.

(1)试说明AC=EF;

(2)求证:四边形ADFE是平行四边形.

(1)解∵△ABE是等边三角形,FE⊥AB于点F,

∴∠AEF=30°,AB=AE,∠EFA=90°.

在Rt△AEF和Rt△BAC中,

∴△AEF≌△BAC(AAS).∴AC=EF.

(2)证明∵△ACD是等边三角形,

∴∠DAC=60°,AC=AD.

∴∠DAB=60°+30°=90°.

又EF⊥AB,∴∠EFA=90°=∠DAB.

∴AD∥EF.

又AC=EF(已证),AC=AD,∴AD=EF.

∴四边形ADFE是平行四边形.

20.(10分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A'B'CD'(此时,点B'落在对角线AC上,点A'落在CD的延长线上),A'B'交AD于点E,连接AA',CE.

求证:(1)△ADA'≌△CDE;

(2)直线CE是线段AA'的垂直平分线.

证明(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=CD,∠ADC=90°.∴∠A'DE=90°.

根据旋转的方法可得,∠EA'D=45°.

∴∠A'ED=45°.∴A'D=ED.

在△ADA'和△CDE中,

∴△ADA'≌△CDE.

(2)∵AC=A'C,∴点C在AA'的垂直平分线上.

∵AC,A'C是正方形ABCD,正方形A'B'CD'的对角线,∴∠CAE=∠CA'E=45°.

∵AC=A'C,CD=CB',∴AB'=A'D.

在△AEB'和△A'ED中,

∴△AEB'≌△A'ED,∴AE=A'E.

∴点E也在AA'的垂直平分线上.

∴直线CE是线段AA'的垂直平分线.

21.(10分)如图,△ADC,△ABE,△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.

(1)当AB≠AC时,证明四边形ADFE为平行四边形;

(2)当AB=AC时,顺次连接A,D,F,E四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.

(1)证明∵△ABE,△BCF为等边三角形,

∴AB=BE=AE,BC=CF=FB,

∠ABE=∠CBF=60°.

∴∠FBE=∠CBA.∴△FBE≌△CBA.

∴EF=AC.

又△ADC为等边三角形,

∴CD=AD=AC.

∴EF=AD.同理可得AE=DF.

∴四边形ADFE是平行四边形.

(2)解构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.

当图形为菱形时,∠BAC≠60°(或A与F不重合、△ABC不为正三角形);

当图形为线段时,∠BAC=60°(或A与F重合、△ABC为正三角形).

22.(12分)(2019海南中考)如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.

(1)求证:△PDE≌△QCE;

(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB=PQ时,

①求证:四边形AFEP是平行四边形;

②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.

(1)证明∵四边形ABCD是正方形,

∴∠D=∠BCD=90°,

∴∠ECQ=90°=∠D.

∵E是CD的中点,∴DE=CE.

又∠DEP=∠CEQ,

∴△PDE≌△QCE.

(2)①证明如图,由(1)可知△PDE≌△QCE.

∴PE=QE=PQ.

又EF∥BC,

∴PF=FB=PB.

∵PB=PQ,∴PF=PE,∴∠1=∠2.

∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°.

在Rt△ABP中,F是PB的中点,

∴AF=BP=FP,

∴∠3=∠4.又AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF.

∴∠1=∠4,∴∠2=∠3.

又∵PF=FP,

∴△APF≌△EFP,∴AP=EF,

又∵AP∥EF,

∴四边形AFEP是平行四边形.

②解四边形AFEP不是菱形,理由如下:

设PD=x,则AP=1-x.

由(1)可知△PDE≌△QCE.

∴CQ=PD=x.∴BQ=BC+CQ=1+x.

∵点E,F分别是PQ,PB的中点,

∴EF是△PBQ的中位线,

∴EF=BQ=.

由①可知AP=EF,

即1-x=,解得x=.

∴PD=,AP=.

在Rt△PDE中,DE=,

∴PE=.

∴AP≠PE.∴四边形AFEP不是菱形.