中考数学二轮复习压轴题专题02 一次方程（组）的含参及应用问题（含解析）

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专题 02一次方程（组）的含参及应用问题


【考点1】一次方程的有关定义
【例1】（2019•呼和浩特）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为　________　．
【答案】x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3
【解析】∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，
∴当m＝1时，方程为x﹣2＝0，解得：x＝2；
当m＝0时，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2；
当2m﹣1＝0，即m时，方程为x﹣2＝0，
解得：x＝﹣3，
故答案为：x＝2或x＝﹣2或x＝﹣3．
点睛：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
【变式1-1】（2019•湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　．
【答案】4
【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，
∴3×2﹣2k+2＝0，
解得：k＝4．
故答案为：4．
点睛：此题主要考查了一元一次方程的解，正确把已知数据代入是解题关键．
【变式1-2】（2019•常州）若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝　　．
【答案】1
【解析】把代入二元一次方程ax+y＝3中，
a+2＝3，解得a＝1．
故答案是：1．
点睛：本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
【考点2】方程组的解法
【例2】（2019•南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【答案】A
【解析】，
①+②得：5a+5b＝10，
则a+b＝2，
故选：A．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式2-1】（2019•荆门）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【答案】A
【解析】，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．
【考点3】方程组的含参问题
【例3】（2019•朝阳）关于x，y的二元一次方程组的解是，则m+n的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】把代入得：，
解得：，
则m+n＝0，
故选：D．
点睛：此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【变式3-1】（2019•菏泽）已知是方程组的解，则a+b的值是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【答案】A
【解析】将代入，
可得：，
两式相加：a+b＝﹣1，
故选：A．
点睛：本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．
【变式3-2】（2019•巴中）已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【解析】将代入得：
，
∴a+b＝2；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
【考点4】二元一次方程的方案问题
【例4】（2019•天门）把一根9m长的钢管截成1m长和2m长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中1m长的钢管有a根，则a的值可能有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．9种
【答案】B
【解析】设2m的钢管b根，根据题意得：
a+2b＝9，
∵a、b均为整数，
∴，，，．
故选：B．
点睛：本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
【变式4-1】（2019•齐齐哈尔）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足球都买），该学校的购买方案共有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【解析】设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，
依题意，得：60x+75y＝1500，
∴y＝20x．
∵x，y均为正整数，
∴，，，，
∴该学校共有4种购买方案．
故选：B．
点睛：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程．
【考点5】一次方程组的应用问题
【例5】（2019•娄底）某商场用14500元购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价与销售价如表（二）所示：
类别
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
甲
25
35
乙
35
48
求：（1）购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利多少元？
【答案】（1）购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱；
（2）该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
【解析】（1）设购进甲矿泉水x箱，购进乙矿泉水y箱，
依题意，得：，
解得：．
答：购进甲矿泉水300箱，购进乙矿泉水200箱．
（2）（35﹣25）×300+（48﹣35）×200＝5600（元）．
答：该商场售完这500箱矿泉水，可获利5600元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-1】（2019•百色）一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
【答案】（1）该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时；
（2）甲、丙两地相距千米．
【解析】（1）设该轮船在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意，得：，
解得：．
答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时．
（2）设甲、丙两地相距a千米，则乙、丙两地相距（90﹣a）千米，
依题意，得：，
解得：a．
答：甲、丙两地相距千米．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
【变式5-2】（2019•呼和浩特）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐满滴快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为6公里与8.5公里，两人付给滴滴快车的乘车费相同．
（1）求这两辆滴滴快车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的1.5倍，且比另一人的实际乘车时间的一半多8.5分钟，计算俩人各自的实际乘车时间．
【答案】（1）∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟；
（2）小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．
【解析】（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）
∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y
0.3（x﹣y）＝5.7
∴x﹣y＝19
∴这两辆滴滴快车的实际行车时间相差19分钟．
（2）由（1）及题意得：
化简得
①+②得2y＝36
∴y＝18 ③
将③代入①得x＝37
∴小王的实际行车时间为37分钟，小张的实际行车时间为18分钟．
点睛：本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．

1．（2019•南充）关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【解析】因为关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，
可得：a﹣2＝1，2+m＝4，
解得：a＝3，m＝2，
所以a+m＝3+2＝5，
故选：C．
点睛：此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答．
2．（2019•阜新）某种衬衫因换季打折出售，如果按原价的六折出售，那么每件赔本40元；按原价的九折出售，那么每件盈利20元，则这种衬衫的原价是（　　）
A．160元 B．180元 C．200元 D．220元
【答案】C
【解析】设这种衬衫的原价是x元，
依题意，得：0.6x+40＝0.9x﹣20，
解得：x＝200．
故选：C．
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2019•鸡西）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】B
【解析】设一等奖个数x个，二等奖个数y个，
根据题意，得6x+4y＝34，
使方程成立的解有，，，
∴方案一共有3种；
故选：B．
点睛：本题考查二元一次方程的应用；熟练掌握二元一次方程的解法是解题的关键．
4．（2019•孝感）已知二元一次方程组，则的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6
【答案】C
【解析】，
②﹣①×2得，2y＝7，解得，
把代入①得，x＝1，解得，
∴
故选：C．
点睛：此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2019•乐山）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（　　）
A．1，11 B．7，53 C．7，61 D．6，50
【答案】B
【解析】设有x人，物价为y，可得：，
解得：，
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2019•台州）一道来自课本的习题：
从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少？
小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．
故选：B．
点睛：此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
7．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．
【答案】B
【解析】设合伙人数为x人，
依题意，得：5x+45＝7x+3．
故选：B．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
8.（2019•铁岭）若x，y满足方程组，则x+y＝　　．
【答案】7
【解析】，
①+②得：4x＝20，
解得：x＝5，
把x＝5代入②得：y＝2，
则x+y＝2+5＝7，
故答案为：7
点睛：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2019•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_____________．
【答案】
【解析】设木条长x尺，绳子长y尺，
依题意，得：．
故答案为：．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（2019•眉山）已知关于x，y的方程组的解满足x+y＝5，则k的值为　　．
【答案】2
【解析】，
②×2﹣①，得3x＝9k+9，解得x＝3k+3，
把x＝3k+3代入①，得3k+3+2y＝k﹣1，解得y＝﹣k﹣2，
∵x+y＝5，
∴3k+3﹣k﹣2＝5，
解得k＝2．
故答案为：2
点睛：此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．
11．（2019•自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　　．
【答案】
【解析】设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
，
故答案为：，
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
12．（2019•泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为　　．
【答案】
【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：
，
故答案为：．
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
13．（2019•毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　　元．
【答案】2000
【解析】设这种商品的进价是x元，
由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．
解得：x＝2000，
故答案为2000
点睛：本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程解答．
14．（2019•南通）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有x个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为　　．
【答案】9x﹣11＝6x+16
【解析】设有x个人共同买鸡，根据题意得：
9x﹣11＝6x+16．
故答案为：9x﹣11＝6x+16．
点睛：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
15．（2019•烟台）亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
【答案】（1）计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者；
（2）需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
【解析】（1）设计划调配36座新能源客车x辆，该大学共有y名志愿者，则需调配22座新能源客车（x+4）辆，
依题意，得：，
解得：．
答：计划调配36座新能源客车6辆，该大学共有218名志愿者．
（2）设需调配36座客车m辆，22座客车n辆，
依题意，得：36m+22n＝218，
∴n．
又∵m，n均为正整数，
∴．
答：需调配36座客车3辆，22座客车5辆．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
16．（2019•淮安）某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

所用火车车皮数量（节）
所用汽车数量（辆）
运输物资总量（吨）
第一批
2
5
130
第二批
4
3
218
试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？
【答案】每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨
【解析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，
根据题意，得，
∴，
∴每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；
点睛：本题考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键．
17．（2019•河池）在某体育用品商店，购买30根跳绳和60个毽子共用720元，购买10根跳绳和50个毽子共用360元．
（1）跳绳、毽子的单价各是多少元？
（2）该店在“五•四”青年节期间开展促销活动，所有商品按同样的折数打折销售．节日期间购买100根跳绳和100个毽子只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？
【答案】（1）跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个；
（2）该店的商品按原价的9折销售．
【解析】（1）设跳绳的单价为x元/条，毽子的单件为y元/个，可得：，
解得：，
答：跳绳的单价为16元/条，毽子的单件为4元/个；
（2）设该店的商品按原价的a折销售，可得：（100×16+100×4）1800，
解得：a＝9，
答：该店的商品按原价的9折销售．
点睛：本题主要考查二元一次方程组及一元一次方程的应用，理解题意找到相等关系是解题关键．
18．（2019•泸州）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．
（1）A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元？
（2）该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
【解析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，
依题意，得：，
解得，
答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为30万元；
（2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车（10﹣m）辆，根据题意得：

解得：3≤m＜5，
∵m是整数，
∴m＝3或4，
当m＝3时，该方案所用费用为：25×3+30×7＝285（万元）；
当m＝4时，该方案所用费用为：25×4+30×6＝280（万元）．
答：最省的方案是购买A型汽车4辆，购进B型汽车6辆，该方案所需费用为280万元．
点睛：本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组和方程组，利用方程和不等式的性质解答．