2022-2023学年广东省广州大学附属中学等三校高二下学期期末联考数学试题含答案

2022-2023学年广东省广州大学附属中学等三校高二下学期期末联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求得，结合集合的交集的概念及运算，即可求解.

【详解】由集合，

所以.

故选：C.

2．设复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用复数除法运算求出复数z，进而求出其共轭复数作答.

【详解】依题意，，于是得，

所以z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D

3．的展开式中的常数项为（    ）

A．64 B．-64

C．84 D．-84

【答案】D

【分析】写出二项展开式的通项，令x的指数等于零，即可得出答案.

【详解】解：的二项展开式的通项为：

，

令，则，

所以，

即的展开式中的常数项为84.

故选：D.

4．要得到函数的图像，只需把函数的图像（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】D

【分析】根据题意，由辅助角公式可得，然后结合三角函数的平移变换，即可得到结果.

【详解】因为，

即只需要把函数的图像向右平移个单位长度即可.

故选：D

5．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.

【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：

若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有种方法，

最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案种，

若安徽与陕西不同色，先涂陕西有种方法，再涂湖北有种方法，涂安徽有3种方法，

涂江西、湖南也各有种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法，

所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有种.

故选：C

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到.

【详解】因为，，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

所以，

即，，即

所以，所以；

由，得，

由，得，

所以，

因为，

所以，所以，

所以，即，所以，

综上所述.

故选：A

7．已知双曲线的左、右焦点分别为，设点为右支上一点，点到直线的距离为，过的直线与双曲线的右支有两个交点，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．

C．直线的斜率的取值范围是 D．的内切圆圆心到轴的距离为1

【答案】D

【分析】根据题意作图，结合双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程，可得答案.

【详解】由题意，，，可作图如下：

对于A，由题意以及图象可知：当与右顶点重合时，取得最小值为，故A错误；

对于B，令且，则，故B错误；

对于C，由渐近线方程为，过的直线与双曲线的右支有两个交点，

结合图象可知：直线的斜率的取值范围为，故C错误；

对于D，若内切圆与三边相切于，如图象所示，

则，，，又，

即，

由，，即与右顶点重合，易知的内切圆圆心到轴的距离为，故D正确.

故选：D.

二、填空题

8．已知向量满足，则         ．

【答案】

【分析】利用向量的数量积的运算律及向量的模公式，结论向量的夹角公式即可求解.

【详解】，

，

，

.

故答案为：.

9．在正四棱台中，上、下底面边长分别为、，该正四棱台的外接球的球心在棱台外，且外接球的表面积为，则该正四棱台的高为         ．

【答案】

【分析】求出外接球半径，找到球心的位置，根据外接球的球心在棱台外，求出高.

【详解】  

设正四棱台的外接球的半径为，则，解得，

连接相交于点，连接相交于点，连接，

则球心在直线上，连接，

因为正四棱台的外接球的球心在棱台外，则球心在的延长线上，

由条件可得，，

因为上､下底面边长分别为，

所以，

由勾股定理得，，

此时该正四棱台的高为.

故答案为：

10．已知抛物线，焦点为，过定点且斜率大于0的直线交抛物线于两点，，线段的中点为，则直线的斜率的最小值为         ．

【答案】

【分析】根据已知条件做出图形，利用直线的斜截式方程和韦达定理，结合中点坐标公式和点在直线上，再利用斜率的坐标公式和基本不等式即可求解.

【详解】依题意，作出图形如图所示

设直线的方程为，，则

由，消去，得，

，

，即于是有，

，解得，

，

线段的中点为，设,

,

.

由，可得抛物线的焦点为，

,

当且仅当，即时，取等号，

故直线的斜率的最小值为.

故答案为：.

11．对，函数都满足：①；②；③；则         ．

【答案】

【分析】对函数的变量进行转化, 先得出的表达式, 再得出 的表达式，进而得出的表达式，即可求出的值.

【详解】由题意，，

在中，

，，，

解: 由题意, 有, ,

∵,

∴,

∴有,

∵,

∴,

∴当, 即 ,

∵,

∴,

∴，.

故答案为: .

三、解答题

12．已知锐角中，角所对的边分别为；且．

(1)若角，求角；

(2)若，求的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角差的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；

（2）根据（1）的结论及正弦定理，利用三角形的内角和定理及降幂公式，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1），

，即，

，

，

，

，

又，

，

.

（2）由（1）得，则，

由正弦定理得，

，

，

由正弦定理得则，

，

,

,

,

为锐角三角形，且，

，

，

，

当时，取得最大值为，

故的最大值为.

13．如图，三棱柱中，是的中点，.

(1)证明：平面；

(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据是的中点得到，利用线面垂直的判定得到平面，进而得到，再利用线面垂直的判定即可证明；

（2）根据线面垂直的判定得到平面，进而得到面面垂直，利用面面垂直的性质，过点作于点，进而得到平面，求出所需的各边长，进而计算即可求解.

【详解】（1）因为是的中点，

所以，因为，平面，

所以平面，又平面，

所以，

因为是的中点，所以，

又因为，平面，

所以平面.

（2）由（1）知，平面，

所以平面，因为，所以，

取的中点，连接，

可得，所以平面即为平面，又平面，

所以平面平面，

过点作于点，则平面，

所以，

在三棱柱中，四边形为平行四边形，

所以，因为，

所以，所以，所以，

又因为，所以，.

因为平面，

所以

因为，所以.

14．正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．

(1)求的通项公式；

(2)求证：．

【答案】(1)；.

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列是以为首项，为公差的等差数列，再由数列的通项公式可得数列的通项公式；

（2）根据题意，由裂项相消法分，与分别证明，即可得到结果.

【详解】（1）成等差数列，成等比数列，

，，

数列为正数数列，，

当时，，，

，且，则，

，，，，

，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

，，

当时，满足上式，，

当时，，

当时，满足上式，.

（2）证明：

当时，；

当时，；

当时，

.

综上所述，对一切正整数，有.

15．在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：

(1)甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测.已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是.问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；

(2)甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项､两个选项､二个选项的概率分别为.已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分.某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，根据独立事件和互斥事件的概率公式，求得，结合条件概率的公式，即可求解.

（2）由题意得到所有可能的取值为，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.

【详解】（1）解：记事件为“该单项选择题回答正确”，事件为“甲会该单项选择题”，

因为，

所以，

甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，会这道单项选择题的概率是.

（2）解：由题意知：所有可能的取值为，

设事件表示甲选择了个选项，事件表示选择的选项是正确的，

所以，

，

，

所以随机变量的分布列为：

所以期望为.

16．已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右顶点，分别为椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，且的外接圆半径为．

(1)求椭圆的方程；

(2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线的斜率分别为．

（i）求的值；

（ii）若，则求的面积的取值范围．

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）根据已知求出的关系，可推得，结合的外接圆半径，利用正弦定理求得c，即可求得，即得答案；

（2）设l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数关系，（i）化简整理可得以及的值；（ii）利用（i）的结论推出，结合根与系数的关系式化简可求得m的值，继而求得的面积的表达式，结合函数的单调性即可求得答案.

【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故，

故，则，

又，则，

又的外接圆半径为，则，

解得，故，

故椭圆方程为；

（2）（i）设l与x轴的交点为D，由于直线交椭圆于两点（在轴的两侧），

故直线l的斜率不为0，

设l的方程为，联立，

则，需满足，

设，则，

又，故，

同理可得；

（ii）因为，

则，

又直线l与x轴不垂直可得，则，

即，所以，

即，

即，

即，

整理得，解得或，

因为在轴的两侧，故，则，

故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点；

此时，

，

令，由于l与轴不垂直，故，所以，

故，

设，时，，

即在上单调递增，即，

故，即的面积的取值范围为.

【点睛】难点点睛：解答此类直线和椭圆位置关系中的范围问题，解答的思路并不困难，一般是联立方程，得到根与系数的关系，进而化简，难点在于计算的过程比较复杂且计算量较大，因此对于含有字母的复杂计算要十分细心.

17．已知函数，，其中，.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）是否存在实数，使得只有唯一的，当时，恒成立，若存在，试求出，的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）1；（2）存在，，.

【分析】（1）由，得到，再利用导数法求解；

（2）将时，恒成立，转化为恒成立，求导，，分， ，，，四种情况讨论求解.

【详解】（1）当时，，

则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以时，,

（2）因为时，恒成立，

所以恒成立，，，

1°.当时，，，在上单调递增，

要使恒成立，只须即可，得，此时不唯一（舍去）.

2°.当时，令，解得，

当时，，当时，，

所以时，单调递增；时，单调递减

若时，，，满足，此时不唯一（舍去）.

若时，，，由零点存在性定理得：，且，

当时，与题意矛盾（舍去）.

3°.当时，成立，则在上单调递增，只须，此时不唯一.

4°.当时，令，解得，

当时，，当时，，

所以时，单调递增；时，单调递减，

要使恒成立，且唯一，只须，所以有，

令，，故在上单调递增，在上单调递减，则须使，解得，符合题意，综上：，.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.