2022-2023学年福建省福州第十五中学高二下学期期末考试数学试题含答案

这是一份2022-2023学年福建省福州第十五中学高二下学期期末考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省福州第十五中学高二下学期期末考试数学试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先由指数不等式的解法化简集合，再由补集和交集的定义，即可得到所求集合.【详解】解：集合，，则，故选：C.【点睛】本题主要考查集合的混合运算，还考查指数不等式的解法；解题方法就是对各集合化简，然后运用集合的定义法求解即可；解题的关键点是指数不等式的求解和集合的交集、补集运算.2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】，所以复数对应的点为位于第四象限.故选：D.3．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数单调性和中间值比较大小【详解】因为，所以故选：A4．已知某圆台的高为，上底面半径为，下底面半径为，则其侧面展开图的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】可得展开图为圆环的一部分，求出小圆和大圆半径即可求出.【详解】易知母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为，易知展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为3，则大圆半径为6，所以面积.故选：C.5．已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层随机抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（    ）A．50% B．32% C．30% D．27%【答案】D【分析】先利用扇形统计图求出抽取的样本容量及小学生、初中生、高中生的人数，再利用条形统计图求出样本容量中近视的学生人数，从而求出平均近视率，得出结果.【详解】根据题意，抽取的样本容量为，其中小学生、初中生、高中生抽取人数分别为：350，450，200，根据图②知抽取的小学生、初中生、高中生中，近视的人数分别为：35，135，100，所以该地区学生的平均近视率为，故选：D.6．函数在处的切线方程为(    )A． B． C． D．【答案】C【分析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒【详解】，，，，在处的切线为：，即﹒故选：C﹒7．某单位为了方便员工，在某固定地点设置了两辆班车接员工上班，每一辆班车发车时刻和发车概率如下：第一辆车：在8:00、8:20、8:40发车的概率分别为，第二辆车：在9:00、9:20、9:40发车的概率分别为；两班车发车时刻是相互独立的，一位员工8:10到达乘车点，则该员工候车时间超过50分钟的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】该员工候车时间超过50分钟的情况有乘坐和两种情况，计算得到答案.【详解】该员工候车时间超过50分钟的情况有两种：乘坐和，故第一辆车在出发，概率为.故选：D.8．已知，是双曲线(，)的左､右焦点，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于点A，B，若为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】先结合等边三角形和双曲线的定义得到，，再在中利用余弦定理，结合的关系式，解得的关系，再计算得到的关系即得结果【详解】∵为等边三角形，∴，且，即，由双曲线的定义可得，B在双曲线上,，即，A在双曲线上，即，故，在中，又，由余弦定理可得，，即，所以，又焦点在x轴上，所以该双曲线的渐近线的斜率为.故选：C.【点睛】求双曲线的渐近线的方法：（1）定义法：直接利用a，b，求得比值，则焦点在x轴时渐近线，焦点在y轴时渐近线；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可. 二、多选题9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）A．若//，则B．若，则C．若，则向量在上的投影向量为D．若，则向量与的夹角为锐角【答案】ABC【分析】A选项，利用向量共线的条件计算；B选项，利用向量垂直的条件计算；C选项，利用投影向量的计算公式求解；D选项，注意向量与同向共线的情况.【详解】A选项，由向量共线的充要条件，//，解得，A选项正确；B选项，由向量垂直的充要条件，，解得，B选项正确；C选项，时，，由投影向量的公式，向量在上的投影向量为：，C选项正确；D选项，当时，满足，即与同向共线，此时夹角是，但也满足，D选项错误.故选：ABC10．已知，，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据基本不等式，结合指数的运算法则，逐一分析选项，即可得答案.【详解】对于A：由基本不等式，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B：由基本不等式，可得，当且仅当时等号成立，故B错误；对于C：，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D：，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：ACD11．已知函数，给出下列四个结论，其中正确的结论是（    ）.A．函数的最小正周期是B．函数在区间上是减函数C．函数的图象关于直线对称:D．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到【答案】BC【分析】先将化简为，再逐个选项判断即可．【详解】A选项，因为，则的最小正周期，结论错误；B选项，当时，，则在区间上是减函数，结论正确；C选项，因为为的最大值，则的图象关于直线对称，结论正确；D选项，设，则，结论错误．故选：BC．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.12．定义在R上的偶函数满足，当时，，设函数，则（    ）A．函数图象关于直线对称B．函数的周期为6C．D．和的图象所有交点横坐标之和等于8【答案】AD【分析】由题设得即可判断A选项；由对称性结合奇偶性得即可判断B选项；利用周期性及解析式求出函数值即可判断C选项；先求得函数图象关于直线对称，画出和的图象得到有四个交点，且关于直线对称，即可判断D选项.【详解】由定义域为R，可得，，即，则函数图象关于直线对称，A正确；由以及为偶函数可得，则，即函数的周期为4，B错误；由周期性知，，又，即，则，C错误；函数的定义域为，，可得函数图象关于直线对称，分别画出和的图象如图所示：由图可得和的图象有四个交点，且关于直线对称，则所有交点横坐标之和等于，D正确.故选：AD. 三、填空题13．已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数      ．【答案】2【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.【详解】由函数是幂函数，则，得或，当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件；当时，函数是奇函数，不合题意.故答案为：2.14．在等差数列中,,其前项和为,则           .【答案】110【分析】构造,可知是以2为首项,1为公差的等差数列,求出的通项公式,即可求得,进而求得.【详解】解:由题知为等差数列,记数列,所以,由,可知,所以是以2为首项,1为公差的等差数列,所以,所以,所以.故答案为:11015．已知圆C：，点P是圆C上的动点，点，当最大时，所在直线的方程是      .【答案】【分析】设，在中，由余弦定理，得，利用基本不等式可以找到PM，易得此时，可得PM的斜率，从而求得PM的方程.【详解】设，则，在中，由余弦定理，得，当且仅当时，等号成立，此时最大，且，故，又，所以，故所在直线的方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查点斜式求直线的方程，涉及到余弦定理、基本不等式、圆等知识，考查学生的计算能力以及逻辑推理能力，是一道中档题. 四、双空题16．若曲线只有一条经过点的切线，则的值可以为      ，此时切线方程为      ．【答案】     0或4/4或0     或4 【分析】本题考查导数的几何意义，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养．【详解】设切点坐标为．由，得，所以切线方程为．将点的坐标代入，得．整理，得．由题意可知，方程有两个相等的实数根，则，解得或．当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即．故答案为：0或4；或4  五、解答题17．已知函数.（1）求的值和的最小正周期；（2）设锐角的三边，，所对的角分别为，，，且，，求的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将化简为，进而求得的值和的最小正周期即可.（2）根据(1)与可得，再利用正弦定理转化为求三角函数的范围即可.【详解】由题.（1）,.（2），，所以，利用正弦定理，解得，，所以，由于，解得，所以，所以，综上可得的取值范围是.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.18．已知等差数列，满足，.(1)求数列的通项公式以及前项和；(2)若从数列中依次取出第项，按原来的顺序构成一个新数列，试求数列的前项和.【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式可构造方程组求得，进而可得；（2）由可得，采用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得：，，.（2）由（1）知：，，.19．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：平面AEC；（2）若，，，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）连BD，设BD∩AC=O，连EO，根据E是PD的中点，O为BD的中点，得到．再利用线面平行的判定定理证明. （2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面AEC的一个法向量，又为平面DAE的一个法向量，然后利用公式求解.【详解】（1）如图所示：连BD，设BD∩AC=O，连EO，因为E是PD的中点，O为BD的中点，所以．又因为平面AEC，平面AEC，所以平面AEC；（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，．设为平面AEC的一个法向量，则，令，则，又为平面DAE的一个法向量，由向量的夹角公式，可得所以二面角的平面角的余弦值为．【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，二面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理、运算求解的能力，属于中档题.20．某市工会组织了一次工人综合技能比赛，一共有名工人参加，他们的成绩都分布在内，数据经过汇总整理得到如下的频率分布直方图，规定成绩在分及分以上的为优秀.（1）求图中的值；（2）估计这次比赛成绩的平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）；（3）某工厂车间有名工人参加这次比赛，他们的成绩分布和整体的成绩分布情况完全一致，若从该车间参赛的且成绩为优秀的工人中任选两人，求这两人成绩均低于分的概率.【答案】（1）0.01；（2）69.44；（2）.【分析】（1）由纵坐标组距频率，以及所有组频率之和为，即可列式求出；（2）根据频率分布直方图平均数公式，即可求得结果；（3）先求出人中优秀人数为人，再根据列举法，运用古典概型求出概率；【详解】（1）由频率分布直方图可知：，解得：（2）设这次比赛的平均数为，则 （3）名工人参加比赛，优秀人数为：人，名优秀工人中内有人设为,有一人设为，则人中选人有以下情况：,,,,,,,,,共有种情况，人成绩均低于分有,,,,,，共6种情况.则人任选人，两人成绩均低于92分的概率无.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应用，涉及到频率频数、平均数等以及古典概型求概率，同时考查对数据的处理能力.21．设椭圆：（）的左、右交点分别为，，下顶点为.已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点.【答案】(1).(2)证明见解析. 【分析】（1）由已知建立关于a，b，c的方程，求解即可；（2）设，当直线l的斜率不存在时，设其方程为，有，根据两点的斜率公式有，解得；当直线l的斜率存在时，设其方程为，与椭圆的方程联立消y得：，得出根与系数的关系，再代入两点的斜率公式，化简得，代入直线方程中可得直线经过定点.【详解】（1）解：由已知得，解得，又椭圆过点，所以，即有，解得，所以椭圆的方程是；（2）解：由（1）得，设，当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则，所以，解得，此时直线l的方程为；当直线l的斜率存在时，设其方程为，与椭圆的方程联立消y得：，则，又，所以，即，所以，整理得，因为直线不过点A，所以，所以，即，所以直线的方程为，即，恒过点，此点也在直线上，所以直线经过定点.22．已知函数，.(1)讨论函数的单调性；(2)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）求出函数的导函数，分，讨论研究的正负情况即可；（2）将原不等式转化为对任意的恒成立，令，利用导数的知识求出的最小值即可，这个过程中需要二次求导，估算的导函数的零点，求出的单调性，进而计算的最小值.【详解】（1）由已知当时，恒成立，此时函数在上单调递增；当时，令，得，  若，，若，， 此时函数在上单调递增，在上单调递减；综合得：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2），即对任意的恒成立，令则令，则在上单调递增，又，，，使，在上单调递减，在上单调递增，由得，设，，即在上单调递增，由得，，即有，.【点睛】关键点点睛：1.对于利用导数研究函数问题，当一次求导不能解决问题的时候，我们需要进行二次求导来研究函数性质；2.对于导函数的零点我们无法求出时，我们可以应用零点存在性定理，找到零点所在去区间，然后设出零点，进而可以写出函数的单调性.